2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要

【答案】B

【解析】先化简条件“方程表示焦点在轴上的椭圆”，结合的范围进行判定.

【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，

所以，解得；

因为，反之不成立，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要非充分条件.

故选：B.

【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.

2．开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点处.从行星位于长轴端点这一位置开始计算，它再次运行到点所经过的时间为.根据开普勒第二定律，从开始经过时间，行星的位置可能在（    ）

A．点处 B．点处 C．点处 D．点处

【答案】A

【解析】根据开普勒第二定律即可得

【详解】因为在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等，点到F的距离较远，经过时间，，所以时间后未到点，可能在A处

故选：A.

【点睛】本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.

3．曲线Γ：，要使直线与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】根据曲线Γ的方程，得到曲线表示是一个圆与双曲线的一部分，画出曲线的图象，结合图象，即可求解.

【详解】由曲线Γ：，可知，

如图所示，曲线表示是一个圆与双曲线的一部分，

由，解得，

要使直线与曲线Γ有四个不同的交点，

结合图象，可得.

故选：C．

4．已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（    ）

A．0个 B．2个 C．有限个，但多于2个 D．无限多个

【答案】A

【分析】首先判断出为的重心，根据重心坐标公式可得，结合基本不等式可得出，结合抛物线的定义化简得出，同理得出，进而得出结果.

【详解】设，先证，

由知，为的重心，

又，，

，，

，，，

同理，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出点为三角形的重心，属于中档题.

二、填空题

5．直线的倾斜角的大小为___________.

【答案】##

【分析】根据直线与倾斜角的关系可求解.

【详解】因为直线方程为：，

即，此直线与轴垂直，

所以此直线的倾斜角为.

故答案为：.

6．抛物线的准线方程为__________.

【答案】

【分析】根据抛物线标准方程直接求解即可.

【详解】由可知，，焦点在轴的正半轴上，

所以准线方程为：，

故答案为：.

7．已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为__________.

【答案】.

【分析】根据双曲线方程，求出，直接求解即可.

【详解】由双曲线方程可知，焦点在轴上，，

即，

所以渐近线方程为，

故答案为：.

8．已知直线过点，且与向量垂直，则直线的点法向式方程为__________.

【答案】

【分析】设直线上点，直线的向量可用，由已知，代入即得结果.

【详解】设为直线上异于的任意一点，则，

由已知，，即，所以直线的点法向式方程为.显然满足该方程.

故答案为：.

9．若直线与互相垂直，则实数的值为________．

【答案】

【分析】由两直线互相垂直，建立关于实数的方程，解方程即可得到答案.

【详解】两直线与互相垂直.

所以，解得

故答案为：

【点睛】本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.

10．已知点和到直线的距离相等，则的值为________；

【答案】或

【分析】根据点到直线的距离公式，列出等式即可求解.

【详解】∵两点和到直线距离相等，

∴，解得或，

故答案为:或.

11．已知圆和圆内切，则m的值为___________．

【答案】##3.5

【分析】首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出的值.

【详解】解：圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

所以两圆的圆心距，

又因为两圆内切，有，

解得.

故答案为：.

12．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则线段的长度为__________．

【答案】8

【分析】确定，设直线方程并和抛物线方程联立，求得，进而求出，根据抛物线的弦长公式求得答案.

【详解】由题意知,故，其焦点为，

设直线l的方程为 ，联立，得: ,

,由于，，

则，而，

故 ，

故的长为，

故答案为：8

13．已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.

【答案】

【分析】因为是等边三角形，可得轴，再根据椭圆的定义可得，进而求得，再根据椭圆中的关系求解即可

【详解】因为是等边三角形，故，故关于轴对称，故轴.故，，故，又，故，故，即，所以，

故答案为：

14．已知､､，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是___________.

【答案】

【分析】设，由得点轨迹为；由可知当三点共线且在线段上时取得最小值，联立圆的方程和直线方程即可求得结果.

【详解】设，则，整理可得：；

，

当三点共线且在线段上时，取得最小值，

又直线方程为：，即，

由得：或，

又在线段上，.

故答案为：.

15．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴交于点M，过F且斜率大于0的直线l与C交于A，B两点，若，则l的斜率为______．

【答案】1

【分析】设直线的方程为，，联立，利用韦达定理求得，证明，再根据求得，再结合抛物线的定义即可得出答案.

【详解】解：设直线的方程为，，

联立，消得，

则，

，

所以，

则，

又因为锐角，所以解得，

如图，作轴于点，

根据抛物线得定义可得，

则，

又为锐角，所以，

所以直线l的斜率为.

故答案为：1.

16．已知点P （0，2），圆O∶x2 +y2=16上两点，满足 ，则的最小值为___________.

【答案】48

【分析】将原式化为，而分别表示到直线的距离，取的中点，设在直线的射影为，则原式=，根据圆的性质可以知道在以为直径的圆上，其中，进一步即可得到答案.

【详解】由题意，三点共线，设为的中点，在直线的射影分别为，点O到直线的距离，

∴与圆相离 ，如图：

而

，

易得，即，∴在以为直径的圆上，其中.

∵，当共线，且在之间时取“=”.

∴的最小值为.

故答案为：48.

【点睛】本题突破口有两点，一是将原式转化为距离的问题，这需要我们对距离公式非常熟悉；二是取的中点，这就需要对圆的性质要敏感，提到弦立马要想到弦心距，进而问题才能得解.

三、解答题

17．已知点，直线，直线.

(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；

(2)求直线关于直线的对称直线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，

（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程

【详解】（1）设点，则由题意可得，

解得，

所以点B的坐标为，

（2）由，得，所以两直线交于点，

在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则

，解得，即，

所以，

所以直线为，即，

所以直线关于直线的对称直线方程为

18．已知圆经过两点，且圆心在直线上.

(1)求圆的标准方程；

(2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）设圆的方程为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）由圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离为，分类直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，即可求得直线的方程.

【详解】（1）解：圆经过两点，且圆心在直线上，

设圆的方程为，

可得，解得，

所以圆的方程为，即.

（2）解：由圆，可得圆心，半径为，

因为直线过点，且被圆截得的弦长为，

可得，解得，即圆心到直线的距离为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时圆心到直线的距离为，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，可得直线的方程为，

即

由圆心到直线的距离为，解得，

所以直线的方程为，即，

综上可得，所求直线方程为或.

19．直线与抛物线相交于，两点，

（1）若，求的值；

（2）弦长的最小值．

【答案】（1）；（2）4．

【分析】（1）代入，联立直线与抛物线的方程得到关于的二次方程，然后使用韦达定理并结合数量积计算公式计算即可.

（2）联立直线与抛物线的方程得到关于的二次方程，令求得范围，然后根据弦长公式进行计算可得结果.

【详解】（1）由题，，联立，得，

设，两点坐标，由韦达定理得，

因此，；

（2）联立，得，验证，

因此直线与抛物线恒有两相异交点，，

所以，当，即直线时，弦长取得最小值4．

【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的综合问题一般需要联立直线与圆锥曲线方程并结合韦达定理，着重在于计算，掌握计算中的一般技巧（不等式，换元等）.

20．设分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线与的右支交于M，N两点，过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为．

(1)求双曲线的方程；

(2)当时，求实数m的值；

(3)设点M关于坐标原点O的对称点为P，当时，求△PMN面积S的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；

（2）由点在直线上求得t＝2，根据F1到直线的距离与等腰三角形底边上的高相等，列方程求参数m；

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得，，由向量的数量关系可得，根据对称点，三角形面积公式，可求△PMN面积．

【详解】（1）因为双曲线过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点的距离为，

可得：，解得：，

所以双曲线的方程为．

（2）因为直线，且过点F2（2，0），

则，解得：，

由得：三角形为等腰三角形，

所以等腰三角形底边上的高的大小为，

又因为点F1到直线的距离等于等腰三角形底边上的高，

则，

化简得：，即．

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），

由直线与双曲线联立得：，

化简得：，

由韦达定理得：，，

又，即，则，，

即，则，

又点M关于坐标原点O的对称点为P，则：

．

则所求的△PMN面积为．

21．椭圆C：的离心率为，短轴长为4．左右顶点分别为、

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l：与x轴交于点D，P点是椭圆C异于，的动点，直线，分别交直线l于E，F两点，求证：为定值．

(3)如图，原点O到：距离为1，直线与椭圆C交于A，B两点，直线：与平行且与椭圆C相切于点M（O，M位于直线的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为，，若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据题意得到方程组，解之即可求出结果；

（2）设，依次求出直线，的方程即可求出的坐标，进而表示出的长度，从而结合化简整理即可求出结果；

（3）利用点到直线的距离公式得到，再联立直线与椭圆可得到，即，结合平行线间的距离公式表示出三角形的面积，然后转为，求出的范围即可求出结果.

【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆C的方程为；

（2）由题意知，设，且，

直线的方程为，令，则，则,

直线的方程为，令，则，则,

因此，

又因为，则，所以；

（3）因为原点与直线的距离为1，则，即，

联立直线与椭圆的方程，得，

因为直线与椭圆相切，所以，即，

直线与直线间的距离为，所以

所以，

又因为，因为，所以，

又位于直线的两侧，所以同号，故，因此，故实数的取值范围为.

【点睛】求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．