2022-2023学年上海市闵行中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市闵行中学高二上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市闵行中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根据题意，由求解.【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得：，故选：B.2．“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可.【详解】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与进行平行.故充分性不满足；必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件.故选：B3．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.4．关于曲线，则以下结论正确的是（    ）①曲线关于原点对称；②曲线中；③曲线是不封闭图形，且它与圆有四个公共点；④曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形.A．①② B．①②③ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】以替换，以替换，方程不变判断①；求出，的范围判断②；联立方程组判断③；由两曲线的对称性判断④．【详解】解：在曲线中，以替换，以替换，方程不变，则曲线关于原点对称，故①正确；由，得，得，即或，同理求得或，即，故②正确；由求得的、的范围可得曲线不是封闭图形，联立，得，方程的判别式，解得，，，，故曲线与圆有四个公共点，故③正确；当，时，方程化为，即且，又是方程的一个解，且中，当时，，而时，，所以在时，与有交点，且与均关于直线对称，所以与在上至少有2个交点；与还关于和原点对称，所以方程组至少有8组解，则曲线与曲线不可能有4个交点，故④错误．故答案为：B． 二、填空题5．经过、两点的直线斜率为______.【答案】【分析】利用斜率公式可求得结果.【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.故答案为：.6．直线的倾斜角为______．【答案】【详解】 设直线的倾斜角为直线，直线的斜率为，即，，故答案为.7．抛物线的准线方程是_______【答案】【分析】根据抛物线的标准方程形式求出，再根据开口方向，写出其准线方程.【详解】对于抛物线，，，又抛物线开口向右，准线方程为.故答案为：.8．椭圆的焦距为______.【答案】【分析】根据椭圆的标准方程及间的关系求解.【详解】由椭圆可知，，所以，解得，所以焦距为.故答案为：9．双曲线的渐近线方程是___________．【答案】【分析】直接根据渐近线方程公式计算得到答案.【详解】，，，故渐近线方程为：.故答案为：.10．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，若，则点的横坐标为______.【答案】【解析】根据抛物线的定义，得到，即可求得的横坐标.【详解】设点，因为，根据抛物线的定义，可得，解得，即点的横坐标为.故答案为：211．已知直线，则直线恒过定点___________.【答案】【分析】本题主要考查直线过定点问题，将直线方程进行整理变形即可求解.【详解】因为直线可化为，令，解得：，所以直线过定点，故答案为：.12．若直线l经过点，且与圆相切，则直线l的方程是___________.【答案】【分析】分析可得点在圆上，故直接根据过圆心与切点的直线与直线l垂直即可求得直线l的斜率，进而求得方程【详解】因为，故点在圆上，又圆心到的斜率为，故直线l的斜率，故直线l的方程是，化简可得故答案为：13．已知直线与椭圆交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________.【答案】##.【分析】利用点差法求解即可.【详解】设，则，，所以，所以，因为的中点为，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，经检验满足题意，故答案为：.14．设、，是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，且，，则__________.【答案】4【分析】先由椭圆的方程求出的值，进而可以求出点到椭圆的两个焦点的距离之和，再由已知分析出点，分别为，的中点，利用中位线定理即可求解．【详解】解：由椭圆的方程可得：，所以，则由椭圆的定义可得：，由，，可得：点为的中点，点为的中点，由中位线定理可得，，所以，故答案为：4．15．直线与曲线的公共点的个数是___________.【答案】【分析】本题主要考查直线与曲线的位置关系，根据曲线方程，分情况进行讨论即可求解.【详解】当时，曲线可化为，表示椭圆的右半部分，因为直线过点，所以此时直线与曲线曲线有两个交点，当时，曲线可化为表示双曲线的上支和下支的左半部分，此时直线与曲线没有交点，综上可知：直线与曲线的公共点的个数是.故答案为：.16．已知定圆，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的结果有___________.【答案】①②④⑥【分析】是线段的中垂线上的点，可得．对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论．【详解】解：是线段的中垂线上的点，，（1）若在圆内部，且不为圆心，则，，点轨迹是以，为焦点的椭圆．（2）若在圆外部，则，，点轨迹是以，为焦点的双曲线．（3）若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点．（4）若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点，点轨迹是以为圆心，以2为半径的圆．综上，点轨迹可能是①②④⑥四种情况．故答案为：①②④⑥． 三、解答题17．已知直线.(1)若直线与直线垂直，且过点，求直线的方程；(2)若直线与直线平行，且过点，求直线的方程.【答案】(1)；(2)不存在. 【分析】（1）由直线与直线垂直，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）由直线与直线平行，可得直线方程结合条件即得.【详解】（1）由直线，可得，因为直线与直线垂直，所以，可得，又因为直线过点，可直线的方程为，即，所以直线的方程为；（2）因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，可化为，与直线重合，所以直线不存在.18．已知圆C：，其中．(1)已知圆C与圆：外切，求m的值；(2)如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）解方程即得解；（2）解方程即得解.【详解】（1）解：由圆，可得，则圆心，半径，由圆，可得圆心，半径，因为两圆外切，则，解得．（2）解：圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离，又直线与圆相交所得的弦长为，，解得．的值为．19．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，两个信号源相距10米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号早秒（注：信号每秒传播米），在时刻时，测得机器鼠距离点为4米.(1)以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时机器鼠所在位置的坐标；(2)游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【答案】(1)(2)没有“被抓“风险 【分析】（1）设机器鼠位置为点，由双曲线的定义和方程可得的轨迹和方程，及时刻时的坐标；（2）设直线的平行线的方程为，联立双曲线方程，由判别式为0，解得，再求平行线的距离，结合题意即可判断．【详解】（1）解：设机器鼠位置为点，由题意可得，即，可得的轨迹为双曲线的右支，且，，即有，，，则的轨迹方程为，时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；（2）解：设直线的平行线的方程为，联立双曲线方程，可得，即有，且，可得，即与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离最近的点，此时与的距离为，即机器鼠距离最小的距离为，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．20．已知椭圆，椭圆的长轴长为6，离心率为，为椭圆上一动点.(1)求椭圆的方程；(2)若点，求的最小值；(3)已知，椭圆上的两点满足，求直线的方程.【答案】(1)(2)当时,；当时，(3) 【分析】(1)由已知条件列方程组解出和，得到椭圆方程.(2) 设，则，由和的取值范围讨论最小值.(3)设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，利用韦达定理和，解出直线方程.【详解】（1）依题意有：，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，有，得，，则，当时，，当，；当时，，当，.（3）依题意，直线过点且斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程消去，得，设，，则有，由，有，则，所以，解得，即，所以直线的方程为.21．已知，动点满足与的斜率之积为3，记动点的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)已知，过的直线交曲线在轴右侧的图像于两点，求面积的最小值；(3)若直线过交曲线图像于两点，是否存在定点，使得恒成立，若存在，请求实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)9(3)存在， 【分析】(1)设，由题目条件列等式求方程.（2）设直线方程，与曲线方程联立方程组，利用韦达定理和弦长公式，得到面积表达式，讨论最小值.（3）恒成立，转化为求解.【详解】（1）设，由与的斜率之积为3，有，得到轨迹的方程.（2）过的直线斜率不存在时，有，，；过的直线斜率存在时，设直线方程为，由双曲线方程可得双曲线渐近线方程为，直线交曲线在轴右侧的图像于两点， 有或，即.由消去得，设，，有，，，到直线的距离为，，由，，综上，直线斜率不存在时，面积的最小值为9.（3）假设存在定点，使得恒成立，即，由（2）可得，过的直线斜率存在时，化简得，当时等式恒成立，解得，即定点.当过的直线斜率不存在时，有，，点也满足，即.综上，存在定点，使得恒成立，实数的值为-1.