2022-2023学年上海市松江二中高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市松江二中高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．关于直线、及平面、，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】B

【解析】根据已知条件判断直线、的位置关系，可判断ABC选项的正误；根据已知条件判断与的位置关系，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，若，则与平面内的直线平行或异面，

因为，则与平行或异面，A选项错误；

对于B选项，，过直线的平面与的交线满足，

，，，故，B选项正确；

对于C选项，若，，则与平行、相交或异面，C选项错误；

对于D选项，若，，则、或与相交，D选项错误.

故选：B.

【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．

2．与空间不共面的四个点距离相等的平面有（    ）

A．3个 B．4个 C．7个 D．无数个

【答案】C

【分析】根据题意，分一个点在夹面一边，另外三个点在另一边和当两个点在平面一边，另外两个点在平面另一边，两种情况讨论，即可求解.

【详解】如图（1）所示，一个点在夹面一边，另外三个点在另一边，由这点向其余三点确定的而作重线，则垂线的中垂面满足要求，这样的平面有4个；

如图（2）所示，当两个点在平面一边，另外两个点在平面另一边，异面直线的公垂线的中垂面满足要求，而异面直线有3对，所以这祥的平面有3个，

综上可得，共有（个）．

故选：C.

【点睛】3．正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱侧面面积最大值为                                                                   

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设正三棱柱高为h，底面正三角形边长为a，则三棱柱侧面面积为 ，因为 ，所以，当且仅当等号成立

因此三棱柱侧面面积最大值为 ，选A

点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

4．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据新定义，逐一检验即可

【详解】由知，序列的周期为m，由已知，，

对于选项A，

，不满足；

对于选项B，

，不满足；

对于选项D，

，不满足；

故选：C

【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.

二、填空题

5．一条直线与一个平面所成角的取值范围是___________.（用区间表示）

【答案】

【分析】根据线面角的概念直接得解.

【详解】由线面角的概念知，一条直线与一个平面所成角的取值范围是.

故答案为：

6．若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为___________.

【答案】平行或异面

【分析】由直线平面，直线在平面内，知，或与异面．

【详解】解：直线平面，直线在平面内，

则直线与平面内任意直线无交点，

，或与异面.

故答案为：平行或异面.

7．记等差数列的前项和为，若，则___________.

【答案】

【分析】根据等差数列性质：若，则运算求解.

【详解】∵数列为等差数列，则，即，

∴.

故答案为：70.

8．若一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的表面积等于___________.

【答案】

【分析】根据球的性质，建立方程，可得答案.

【详解】由题意，设球的半径为，则球心到所截圆面的距离为，则，解得，即该球的表面积，

故答案为：.

9．设数列的前项和为，且，则数列的通项公式为___________.

【答案】

【分析】先根据可求得，然后求出首项即可写出通项公式.

【详解】解：由题意得：

则当时，

于是

又当时，

故数列是首项为公比为的等比数列

所以

故答案为：

10．若干个正方体形状的积木按如图所示摆成塔型：上方正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，最下面的正方体的棱长为1，平放于桌面上.如果所有正方体能直接看到的表面积超过，则正方体的个数至少是___________个.

【答案】6

【分析】根据题意可知最下面的正方体的棱长为1，上面的正方体的棱长是下面棱长的，故所有的正方体的表面积比是，然后列出能看到的表面积即可求解

【详解】解：由题意得：

从上方垂直向下往桌面看，最下面的正方体的棱长为1，上面的正方体的棱长是下面棱长的，故所有的正方体的表面积比是

所以前个正方体能直接看到的表面积和

解得：

故答案为：

11．设正四面体的棱长为1，棱上一点满足，且到面的距离分别为，则___________.

【答案】

【分析】求得四面体的高，再利用，代入棱锥的体积公式即可求得.

【详解】解：由题意得：

如图：平面，

由根据等体积法，由正四面体可知

故答案为：

12．如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点，与相切于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为___________.

【答案】

【分析】根据旋转的定义，直观想象旋转后的几何体，利用圆锥的体积与球的题意，可得答案.

【详解】由题意，在中，，连接作图如下：

由半圆与相切于点，与相切于点，则，

在中，，

绕旋转成圆锥，底面为以为圆心，以为半径，圆锥的高为，

圆锥的体积.

半圆绕旋转可得以为球心，为半径的球，

球的体积为，

则阴影部分绕旋转后，其体积.

故答案为：

13．如图所示，在大小为的二面角中，是二面角的棱上的一点，B、D在平面内，在平面内，直线，直线，且，，直线满足直线且线段的长为3，则异面直线与所成角的大小为______（结果用反二角函数值表示）．

【答案】

【分析】由二面角平面角的定义，结合余弦定理，可得线段的长，根据正切函数，可得答案.

【详解】由题意，，为二面角的平面角，则，

由，为异面直线与所成角或其补角，连接，

在中，，则，

在CDB中，可得．

所以异面直线CD与l所成角的大小为．

故答案为：.

14．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________

.

【答案】

【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥侧面展开图的问题，转化为平面上两点的距离问题即可.

【详解】解：由题意得：

圆锥的底面周长是，则，解得：

可知圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示：

则圆锥的侧面展开图中：，，

所以在圆锥侧面展开图中：

故答案为：

15．已知正四面体的棱长为2，棱平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是___________.

【答案】

【分析】正四面体在平面内的射影图形面积最小时，平行于的平面经过和的中点，故射影图形为，计算其面积即可.

【详解】如下图

取中点，连接、，

当平面平面时，正四面体在平面内的射影图形面积最小，为

易得，

则

所以.

故答案为：

三、双空题

16．在棱长为1的正方体中,是的中点,分别为线段和上的动点,点为底面上的动点,则到的距离为___________， 的最小值为___________.

【答案】     ##0.5    

【分析】以为原点,建立如图所示坐标系,取的中点为M,证明出,即可得到的长为到的距离,计算出结果即可.

分别为线段和上的动点,点为底面上的动点,当平面时,有最小值,当为的中点时,有最小值,所以通过把平面绕旋转到与平面在同一平面内,求出点到直线的距离即为最小值.

【详解】以为原点,建立如图所示坐标系,取的中点为,连接,

则,,,,

是的中点,为的中点,

,,

,,

则,

,

即的长为到的距离,

,

即到的距离为.

为线段上的动点,点为底面上的动点,

当平面时,有最小值,

即在上.

四边形为正方形,

,

平面,平面,

,

又,平面,平面,

平面,

当为的中点时,有最小值.

把平面绕旋转到与平面在同一平面内,如图所示,为的中点,

过点作于,,

则的最小值即为的长.

,

在中,,

又,

,

在中,

,

即 的最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD．

(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；

(2)若AB＝1，CD＝BC＝，求直线AD与平面ABC所成的角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）先由线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得证；

（2）由（1）可知线面角为，解三角形即可得解.

【详解】（1）∵AB⊥面BCD，   ∴AB⊥CD，

又∵BC⊥CD且AB∩BC＝B，平面，

∴CD⊥面ABC，∵平面ACD

∴平面ACD⊥平面ABC．

（2）∵DC⊥面ABC，∴∠CAD即为直线AD与平面ABC所成的角，且，

∵BC＝CD＝，∠BCD＝90°，∴BD＝，

又AB＝1，∴AD＝，∴AC＝2，

∴在中，.

即直线AD与平面ABC所成角的余弦值为．

18．（1）求的二项展开式中的常数项；

（2）记的二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出，从而可求出常数项，

（2）根据题意在中，令，可求出结果.

【详解】解：（1）的二项展开式的通项为，

令，得，

所以的二项展开式中的常数项为；

（2）因为的二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，

所以在中，令，得.

19．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.

(1)求这种“笼具”的体积（，结果精确到）；

(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（，结果精确到1元）

【答案】(1)（）

(2)（元）

【分析】（1）由题意即可求出底面半径，圆锥的高，则可计算出“笼具”的体积；

（2）由底面半径，圆锥的高，则可计算出“笼具”的表面积，则可计算出50个“笼具”的造价.

【详解】（1）设圆柱的底面半径为，圆锥的高为.

由题意得，，

所以，，

所以“笼具”的体积为（）.

（2）圆柱的侧面积为（），

圆柱的底面积为（），

圆锥的侧面积为（），

所以“笼具”的表面积为（），

故制作50个“笼具”共需（元）.

20．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正切值；

(3)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）设，连接，先证明，再由线面平行的判定定理，即得证；

（2）过点作垂直于点，连接，由线面垂直的判定可得平面，平面，得到二面角的平面角为，求解直角三角形得答案；

（3）在底面作，垂足为，根据平面可知点到平面的距离就是点到平面的距离，求出即可求出点到平面的距离．

【详解】（1）证明：设，连接，

是菱形，是中点.

为的中点，.

平面内，平面，

平面；

（2）过点作垂直于点，连接，

平面平面.

又平面，所以，

又平面平面，

因为平面，所以平面平面.

即为二面角的平面角.

因为底面是边长为1的菱形，，则为等边三角形，

所以，又，所以，

所以，在直角中

.

（3）在底面作，垂足为，

平面平面，所以，

平面，所以平面，

平面，所以点到平面的距离就是点到平面

的距离，

在Rt中，

所以，即点到平面的距离为.

21．若数列满足:对任意，都有,则称为“紧密”数列.

(1)设某个数列为“紧密”数列，其前项依次为，求的取值范围；

(2)若数列的前项和，判断是否为“紧密”数列，并说明理由；

(3)设是公比为的等比数列，前项和为，且与均为“紧密”数列，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）是 “紧密”数列，理由见详解；（3）

【分析】（1）根据题意，得到，且，求解，即可得出结果；

（2）根据，求出，计算的范围，即可得出结论；

（3）先讨论，易得满足题意；再讨论，得到，，根据为“紧密”数列，得到或，分别根据这两种情况，计算的范围，即可得出结果.

【详解】（1）若数列为“紧密”数列，则，且，解得：；

即的取值范围为；

（2）数列为“紧密”数列；理由如下：

数列的前项和，

当时，；

当时，，

又，即满足，

因此，

所以对任意，，

所以，

因此数列为“紧密”数列；

（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，

当时，有，，

所以，，满足题意；

当时，，，因为为“紧密”数列，

所以，即或，

当时，，

，

所以，满足为“紧密”数列；

当时，，不满足为“紧密”数列；

综上，实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.