2022-2023学年四川省成都市成都市第八中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市成都市第八中学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出直线的斜率，即可求出倾斜角；

【详解】解：设直线l的倾斜角为，则，所以.

故选：A.

2．已知圆的一般方程为 ​， 其圆心坐标是（    ）

A．​ B．​ C．​ D．​

【答案】D

【分析】由圆的一般方程化为标准方程即得.

【详解】​圆​的方程为​，

​，

​圆心​的坐标为​.

故选： D​.

3．与直线关于轴对称的直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为，将其代入中化简可得答案.

【详解】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为，

由题意可得点在直线上，

所以，即，

所以与直线关于轴对称的直线的方程为，

故选：B

4．下列说法正确的是（    ）

A．调查长江的水质适合用全面调查

B．两个互斥事件一定是对立事件

C．标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度

D．若某种奖券的中奖率为0.1，则抽奖10次必有一次中奖

【答案】C

【分析】根据抽样调查的适用条件、互斥事件的性质、标准差的含义以及概率的意义逐项判断即可.

【详解】对于A，长江的水质调查最适合使用抽样调查，故A错误；

对于B，互斥事件未必对立，但对立事件一定互斥，故B错误；

对于C，方差和标准差都刻画了一组数据的离散程度或波动幅度，故C正确；

对于D，中奖率是中奖的概率，只是反映了中奖的可能性大小，故抽奖10次未必有一次中奖，故D错误.

故选：C.

5．已知直线与 平行 ， 则​（    ）

A．​ B．1 或 ​ C．​或 2 D．​

【答案】D

【分析】根据两直线平行时斜率相等但截距不同即可求解.

【详解】因为直线 ​与​:​平行，

所以 ​，解得 ​或​，

当 ​时， 直线​与​:​重合， 不符合题意，

故 ​；

故选：D.

6．如图为甲、乙两位同学在 5 次数学测试中得分的茎叶图，则平均成绩较小的那位同学的成绩的方差为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据平均数及方差的定义运算即得.

【详解】由题意，​，​，

​​​.

故选：B.

7．已知某产品的营销费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表所示：

根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为（   ）A．40.5万元              B．41.5万元              C．42.5万元              D．45万元

【答案】C

【分析】利用平均数的公式及样本的中心在回归直线方程上，求出回归直线方程，再将代入回归直线方程即可求解.

【详解】由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得，

所以回归直线方程为，将代入，得.

所以当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元.

故选:C.

8．图1是某小区100户居民月用电等级的条形图，记月用电量为一级的用户数为，月用电量为二级的用户数为，…，以此类推，月用电量为六级的用户数为，图2是统计图1中居民月用电量在一定级别范围内的用户数的一个算法流程图.根据图1提供的信息，则图2中输出的S值为（    ）

A．82 B．70 C．48 D．30

【答案】A

【分析】根据条形图得到的值，运行程序框图即可求解.

【详解】解：根据条形图可得：,

第一次：，因为，则，

第二次：，因为，则，

第三次：，因为，则，

第四次：，因为，则，

四五次，,因为，则输出.

故选：A.

9．已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过定点且点在直线上， 则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据圆和的方程得到公共弦所在的直线方程，可得点，进而可得，再利用基本不等式即可得到的最大值.

【详解】由圆 ​， 圆​:​，

得圆 ​与圆​的公共弦所在直线方程为:​，

由​， 解得​， 即​，

又​在直线​上，

​， 即​，

所以，当且仅当时等号成立，

​的最大值为​.

故选: D​.

10．圆上任意一点到直线的距离大于2的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对圆心角为，则圆上到直线距离大于2的点构成的弧所对圆心角为，再用几何概型的概率公式代入即可得出答案.

【详解】圆心到直线的距离为，圆上到直线距离小于2的点构成的弧所对的弦的弦心距是1，设此弧所对的圆心角为，则，所以，即，所以所求概率为.

故选：C.

11．在 ​中，​为​内（包括边界) 的动点， 且​， 则​的取值范围是 （    ）

A．​ B．​

C．​ D．​

【答案】B

【分析】利用坐标法，由题可设，利用向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得.

【详解】如图以为原点建立平面直角坐标系，

则 ，

为所在平面内的动点，且PC

可设，

则 ，，

， 其 中，

的取值范围是.

故选： B.

12．已知平面内到两个定点 的距离之比为定值的点的轨迹是圆. 在平面直角坐标系中， 已知， 若， 则下列关于动点的结论正确的个数是（    ）

①点 的轨迹所包围的图形的面积等于

②当 不共线时，面积的最大值是 6

③当 三点不共线时， 射线是的平分线

④若点 ， 则的最小值为

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【分析】由题可得点的轨迹方程进而可判断①，根据圆的性质可判断②，根据角平分线定理可判断③，利用数形结合结合条件可判断④.

【详解】对于选项①， 设 ， 因为满足， 所以，化简得，

即，所以点 的轨迹所包围的图形的面积等于， 故①正确；

对于选项②，由选项①可知， 点的轨迹方程 ，即点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，

又， 且点在直径上，故当点到圆的直径距离最大的时候，的面积最大，

因为圆上的点到直径的最大距离为半径， 即的高的最大值为 4 ，

所以面积的最大值为， 故②错误；

对于选项③，由题可知，，故，即，

所以射线是的平分线，故③正确；

对于选项④，因为 ， 所以， 所以，

又点在圆上， 如图所示，

所以当 三点共线时取最小值，

此时， 故④正确.

故选：B.

二、填空题

13．在空间直角坐标系中，点的坐标为，则关于平面的对称点的坐标为___________.

【答案】，4，

【分析】可知点关于面的对称点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，从而得出答案．

【详解】点关于坐标面对称的点的横坐标和竖坐标不变，纵坐标变成原来的相反数，

关于平面的对称点的坐标为：，4，．

故答案为：，4，．

14．若 ​与​相外切， 则实数​____________.

【答案】11

【分析】两圆外切时圆心距等于两圆的半径之和，据此可以求解.

【详解】对于 ： ，即 ；

对于 ： ，即 ；

当 外切时，圆心距 ， ；

故答案为：11.

15．抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，则的概率为_________.

【答案】

【分析】确定基本事件数量，再求对应的基本事件数量，利用对立事件的概率求法求概率.

【详解】基本事件有36个，而满足，即的基本事件有，，共3个，

所以所求概率为.

故答案为：

16．已知圆为圆上两个动点，且为弦AB的中点，，，当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【分析】由题知的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，且是以为圆心的直径的两个端点，若始终有为锐角，只需要两圆相离即可，故得到圆心距和半径和的不等关系，求解即可.

【详解】

如图，连接，则 ，

所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上，

设的中点为，则 ，且 ，

因为当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，

所以以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相离，

故 ，解得 或 ，即

故答案为：

三、解答题

17．直线与直线相交于点P，直线l经过点P.

(1)若直线，求直线l的方程；

(2)若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解，

（2）由题意得过原点或斜率为后求解

【详解】（1）联立得即.

因为，不妨设直线l的方程为，

将点代入，得，

所以直线l的方程为.

（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；

当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，

将点代入，得，

所以直线l的方程为，即.

综上所述，直线l的方程是或.

18．随科技创新方面的发展，我国高新技术专利申请数也日益增加，2015年到2019年我国高新技术专利申请数的数据如表所示（把2015年到2019年分别用编号1到5来表示）.

(1)求高新技术专利申请数y关于年份编号x的回归方程；

(2)由此线性回归方程预测2022年我国高新技术专利申请数.

附：，.

【答案】(1)

(2)2022年我国高新技术专利数为4.01万件.

【分析】（1）结合表格数据，题干附录公式即可求出回归方程；

（2）结合（1）中回归方程，带入2022年对应的年份编号x即可.

【详解】（1）由已知可得，，于是，

，所以回归方程为.

（2）由（1）知，又2022年对应的是编号8，

所以2022年我国高新技术专利申请数（万件），

即可以预测2022年我国高新技术专利数为4.01万件.

19．已知以点为圆心的圆与直线相切，，与相交于，两点.

(1)求的方程；

(2)若，求直线与之间的距离，

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据直线与圆的位置关系可得圆的半径，进而可得圆的方程；

（2）由，设直线方程为，根据弦长可得圆心到直线距离，进而可得的值.

【详解】（1）由与直线相切可知，的半径，

所以的方程是；

（2）因为，设直线的方程为，

所以圆心到直线的距离，

由，

解得或，

所以直线的方程为或，

当直线的方程为时，直线与直线的距离为；

当直线的方程为时，直线与直线的距离为，

所以直线与直线的距离为或.

20．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）

(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.

【答案】(1)，中位数为，平均数为72

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质以及中位数和平均数的概念，进行计算即可得解；

（2）根据分层抽样在[60，70）内的有人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有人分别记为a，b，C，从中任意抽取2人，列出实验的样本空间，再利用概率公式，进行计算即可得解.

【详解】（1）由图可知，，解得.

设中位数为x，则，所以.

这100人问答成绩的平均数约为.

（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60，80）内的人中抽取一个容量为5的样本，

则问答成绩在[60，70）内的有人，分别记为A，B；

问答成绩在[70，80）内的有人分别记为a，b，C.

从中任意抽取2人，则实验的样本空间

{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10个样本点.

设事件A为2人的问答成绩均在[70，80）内的概率，

则，

所以这2人的间答成绩均在[70，80）内的概率.

21．已知圆 ​， 点​是直线​上一动点， 过点​作圆​的切线​， 切点分别是​和​.

(1)当点​的横坐标为 3 时， 求切线的方程;

(2)试问直线​是否恒过定点， 若是求出这个定点， 若否说明理由.

【答案】(1)或；

(2)直线​恒过定点​，理由见解析

【分析】（1）分斜率存在，不存在讨论，根据直线与圆的位置关系即得；

（2）设​，由题可得以​为直径的圆的方程，结合条件可得公共弦​的方程进而即得.

【详解】（1）由题可知，由圆 ​，可知圆心为，半径为1，

当切线的斜率不存在时，满足题意，

当切线的斜率存在时，可设切线为，

则，解得，

所以切线为，即，

所以切线的方程为或；

（2）直线​恒过定点​，

设​， 由题意知​在以​为直径的圆上， 又​，

 则以​为直径的圆的方程为​，

即​，

又圆 ​， 即​，

两式相减， 故直线​的方程为​，

即​，

由​， 解得​，

即直线​恒过定点​.

22．已知点是圆上一点，过点作直线与圆交于另一点，线段的中点为点

(1)求动点的轨迹；

(2)记动点的轨迹为曲线，若点，设点为曲线上一动点.（i）求面积的最大值，并求出取最大值时点的坐标;

（ii）在（i）的结论下，过点作两条相异直线分别与曲线相交于两点，若直线的倾斜角互补，问直线PQ与直线GH是否垂直?请说明理由.

【答案】(1)，动点 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆， 并除去点

(2)（i）最大值为12， （ii）直线 与直线 垂直，理由见解析

【分析】（1）设 ，再得出 ，代入圆方程化简求解即可；

（2）（i）根据面积公式可得取最大值时点到的距离最大，进而根据点到圆上距离最值公式求解即可；（ii）设直线 的方程为，联立曲线的方程可得，同理可得，进而求得判断即可.

【详解】（1）设 ( 点与 点不重合)，则 ，又点 在圆 上， 则，，故动点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，并除去点

（2）（i） ， 设到的距离为，则

当 最大时， 最大， 易得直线 PQ 的方程为

故 ， 由 得

（ii）由已知， 直线TG、TH的斜率都存在， 设直线 的方程为

则直线 TH 的方程为

由 消去 得:

则

同理可得:

又 ，故直线 与直线 垂直