2022-2023学年四川省成都市第七中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市第七中学高二上学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设直线的倾斜角为，根据直线的方程求出直线的斜率 ，再由结合即可求解.

【详解】设直线的倾斜角为，

由可得，

所以直线的斜率，则，

因为，所以，

故选：C.

2．原命题为 “若，则​且​”，则其否命题为（    ）

A．若 ​，则​，且​

B．若 ​，则​，且​

C．若 ​，则​，或​

D．若 ​，则​，或​

【答案】C

【分析】根据否命题的定义即可判断.

【详解】由原命题的否命题的形式可知：

否命题为“若 ​，则​，或​”.

故选：C

3．双曲线 ​的左、右焦点分别为​点​位于其左支上，则​（    ）

A．​ B．​ C．​ D．​

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义求解即可.

【详解】由题意得，，，所以 .

故选：D.

4．曲线​（    ）

A．关于​轴对称 B．关于​轴对称 C．关于原点对称 D．不具有对称性

【答案】C

【分析】将点，，分别代入方程，即可检验对称性.

【详解】对于A，将点代入曲线方程得：，

所以曲线不关于轴对称，A错误；

对于B，将点代入曲线方程得：，

所以曲线不关于轴对称，B错误；

对于C，将点代入曲线方程得：，

所以曲线关于原点对称，C正确，D错误.

故选：C

5．若抛物线 ​的准线方程为​，则实数​（    ）

A．​ B．​ C．​ D．​

【答案】A

【分析】先将抛物线方程化为标准方程，求得准线方程为，由题意可得的方程，解得即可求解.

【详解】因为抛物线 ​的方程可化为：，

所以准线方程为：，由题意可知：，

解得：，

故选：A.

6．已知，直线与平行，则​是​的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据两直线平行的斜率关系即可求解.

【详解】充分性：

时，直线：和直线：，

有，，且两直线不重合，

所以有，满足充分性；

必要性：

直线：的斜率，显然存在，

若两直线平行，则有，解得：或，

经检验，或时，两直线不重合，

故或，不满足必要性.

所以是的充分不必要条件.

故选：A

7．过点且横、纵截距的绝对值相等的直线其条数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别讨论直线过坐标原点、横纵截距相等且不为零、横纵截距互为相反数且不为零的情况，结合直线截距式和所过点坐标求得直线方程，由此可得结果.

【详解】当过点的直线过坐标原点时，直线方程为，满足题意；

当过点的直线的横、纵截距相等且不为零时，设其方程为：，

则，直线方程为；

当过点的直线的横、纵截距互为相反数且不为零时，设其方程为：，

则，直线方程为.

综上所述：满足题意的直线条数为.

故选：C.

8．若椭圆​的动弦​斜率为​，则弦中点坐标可能是（    ）

A．​ B． C．​ D．​

【答案】B

【分析】已知弦中点的斜率，用点差法求中点的坐标.

【详解】设，，则由已知得，，，

两式作差可得，，整理可得.

中点D的坐标为，则有.

又点D在椭圆的内部，所以

故选：B.

9．从平面 ​内、外分别取定点，使得直线​与​所成线面角的大小为​，若平面​内一动点​到直线​的距离等于​，则​点的轨迹为（    ）

A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆

【答案】D

【分析】先找到空间中所有满足直线​的距离等于​的点的空间图形，然后看该图形与平面相交部分的图形即可.

【详解】在空间中，所有到直线的距离等于的点的集合是一个圆柱面，因为直线​与​所成线面角的大小为​，所以平面与该圆柱面的交线为椭圆.

故选：D

10．椭圆​的离心率为​，其左、右焦点分别为​，上顶点为​，直线与椭圆另一交点为​，则内切圆的半径为（    ）

A．​ B．​ C．​ D．​

【答案】B

【分析】先根据离心率求出椭圆方程，再求出直线的方程，联立方程求出的坐标，从而可得的面积，再根据等面积法即可求得内切圆半径.

【详解】因为椭圆​的离心率，

所以有，解得或（舍），

椭圆方程为：.

如图所示：

则有，，，

易得直线的方程为，

联立，解得或，

则点的坐标为，而，

所以，

又根据椭圆定义可知：

，，

设内切圆半径为，

则，

所以有，解得.

故选：B

11．过点 的直线与曲线交于两点，且满足，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据曲线的解析式得到曲线为半圆，然后结合图象得到直线的斜率的范围，根据得到，然后列方程求解即可.

【详解】

曲线，可整理为，所以曲线为半圆，图象如上所示，，，直线与曲线有两个交点，所以直线的斜率，

取中点为，连接，，所以，

设直线的方程为，则，，，，

因为，所以，，解得或1（舍去）.

故选：B.

12．已知双曲线 的右焦点为，以坐标原点为圆心、为 半径作圆与双曲线的渐近线在第一象限交于点，设为的垂心，恰有，则双曲线的离心率应满足（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据为垂心，且得到，利用渐近线的斜率为和得到，，然后利用余弦的二倍角公式列等式得到，构造函数，利用单调性和零点存在性定理确定的范围.

【详解】

连接交于，由题意知，，，，，，

在中，，，，所以，，

因为，，所以，

，，所以，整理得，即，整理得，

设，，则，对称轴为，所以在单调递增，又，所以当时，，即在上单调递增，又，，所以.

故选：B.

【点睛】方法点点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

二、填空题

13．在空间直角坐标系中，​轴上与点​和点​距离相等的点的坐标为___________.

【答案】

【分析】设，利用空间两点间距离公式可构造方程求得，从而得到所求点坐标.

【详解】设所求点，由得：，

解得：，.

故答案为：.

14．命题 “ ” 是假命题，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】写出特称命题的否定，可得全称命题为真命题，所以问题转化为恒成立，利用基本不等式求得的取值范围.

【详解】因为是假命题，则为真命题，所以，设函数，则函数，当且仅当，即时，等号成立.，即，所以的取值范围是.

故答案为：

15．圆与圆的公切线方程为___________.

【答案】或

【分析】易得公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径列方程组可解得结果即可求解

【详解】圆即，圆心，半径为，

圆即，圆心，半径为，

因为，所以，

所以两圆相交，故公切线有两条，

易得公切线的斜率存在，可设公切线方程为，即，

则可整理得，所以或，

当时，，解得或；

当时，，解得无解；

故两圆的公切线方程为即或即，

故答案为：或

16．关于直线​，有下列说法:

①对任意​，直线​不过定点；

②平面内任给一点，总存在​，使得直线​经过该点；

③当​时，点​到直线​的距离最小值为​；

④对任意​，且有​，则直线​与​的交点轨迹为一直线.

其中正确的是___________.

【答案】①③

【分析】①变形为，可得到直线不过定点；

②可举出反例；

③利用点到直线距离公式和基本不等式进行求解；

④联立两直线方程，求出交点坐标，结合，得到交点轨迹方程.

【详解】①对任意，随着的变化，也随之变化，故直线不过定点，①正确；

平面内取点，则，即，无解，故②错误；

点到直线的距离，令，

则，

因此，

当且仅当，即时，等号成立，③正确；

联立直线与，得到，

故交点坐标为，

又因为，

所以交点坐标满足方程，

但当时，，不合题意，所以交点取不到，

所以交点轨迹为一直线的一部分，④错误.

故答案为：①③.

三、解答题

17．已知命题 ​: “方程​表示双曲线”，命题​: 方程​表 示椭圆”

(1)若 ​为真命题，求​的取值范围;

(2)若 ​为真命题，求​的取值范围.

【答案】(1)​

(2)​

【分析】(1)先分别求出命题​为真，​为真的条件，然后根据​为真命题求出结果即可；

(2) 先分别求出命题​为真，​为真的条件，然后根据​为真命题求出结果即可.

【详解】（1）若 ​为真，有​，即​;

若​为真，则有​，即 ​.

若 ​为真，则有​，即​.

（2）若 ​为真，有​，即​;

若​为真，则有​，即 ​.

若 ​为真，则有​，即​.

18．已知直线​的方程为​，点​的坐标为​.

(1)若直线与​关于点​对称，求​的方程;

(2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由直线与直线互相平行，且点到两直线距离相等，列方程即可求解；

（2）由直线垂直平分线段，列方程组即可求解.

【详解】（1）易知直线与直线互相平行，

设的方程为​，点到两直线距离相等，

有​，

即​，或​(舍去)，

故​的方程为​.

（2）设点​的坐标为​，

直线，且的中点在直线上，

而直线的斜率为，，

故有​，解得 ，

​故​的坐标为.

19．已知曲线 ​的参数方程为​(​为参数).

(1)求曲线​的轨迹方程，并判断轨迹的形状;

(2)设​为曲线​上的动点，且有​，求​的取值范围.

【答案】(1)​，轨迹是以​为圆心，​为半径的圆.

(2)

【分析】（1）消参即可求得曲线的轨迹方程；

（2）设，结合三角函数值域的求法即求解.

【详解】（1）消去参数，有，

则曲线的轨迹方程为，

轨迹是以为圆心，为半径的圆.

（2）设的坐标为，

则

而，其中为锐角，且，

故的取值范围为.

20．设双曲线​的上焦点为​，过​且平行于​轴的弦其长4 .

(1)求双曲线​的标准方程及实轴长;

(2)直线与双曲线​交于​两点，且满足，求实数​的取值.

【答案】(1)​的标准方程为​，双曲线​的实轴长也为​；

(2).

【分析】（1）由弦长为4，可得，从而得知标准方程及实轴长；

（2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得值.

【详解】（1）双曲线的上焦点的坐标为，

令 ，代入，得，

而，可知，

故的标准方程为，双曲线的实轴长也为.

（2）联立 ,

可得，且，

将代入①式，可知，即,

再代入②式，有，

计算可得，且满足.

21．设抛物线 ​的准线为l，A、B为抛物线上两动点，，​为垂足，已知​有最小值​，其中​的坐标为​.

(1)求抛物线的方程;

(2)当（​，且）时，是否存在一定点​满足​为定值? 若存在，求出​的坐标和该定值; 若不存在，请说明理由.

【答案】(1)​

(2)存在定点 ​，使得​为定值​

【分析】（1）由抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离转化成，再由两点间线段最短可得，得到p的值进而得结果.

（2）由题意知：K、A、B三点共线，又因为抛物线与直线交于两点，所以设直线AB方程为（避免讨论斜率存在与斜率不存在），联立直线与抛物线方程消元可得，设，计算，因为恒过定点，所以与t无关，所以令t与前的系数为0可得m、n的值，进而代入可得结果.

【详解】（1）设抛物线焦点为​，有​，得​，则抛物线的方程为​.

（2）存在一定点T使得为定值.

∵

∴K、A、B三点共线.

∴设直线​方程为​

设 ​，

联立 ​得​，

且有 ​，

而 ​

​

​

​

为满足题设，取 ​

可得 ​

即存在定点 ​，使得​为定值​.

【点睛】（1）抛物线上的点到定点与到准线的距离之和的最小值转化为抛物线上的点到定点与它到焦点的距离之和的最小值.

（2）求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

22．设椭圆 ​的右焦点为​，右顶点为​，上顶点为​. 已知椭圆 的短轴长为​，且有​.

(1)求椭圆的方程;

(2)设 ​为该椭圆上两动点，​分别为​在​轴上的射影，而直线​、​的斜率分别为、​，满足​，其中​为原点. 记​和​的面积之和为​，求​的最大值

【答案】(1)​

(2)​.

【分析】（1）根据列方程，解方程得到，即可得到椭圆方程；

（2）联立椭圆和直线方程，得到，，利用三角形面积公式得到​的面积为​，同理可得，​的面积为​，即，然后利用换元法和基本不等式求最值即可.

【详解】（1）由题设知 ​，设椭圆半焦距为​，则，，，，又,则​，

又​，可得​，则椭圆的方程为​.

（2）联立 ​，得，

可得 ​，，而​的面积为

​，同理，​的面积为​，故​，

而 ​

​

令 ​，则​，

故当 ​，即​或​时，​取到最大值​.