2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高二上学期期中监测数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高二上学期期中监测数学（文）试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．不存在

【答案】A

【分析】直线的斜率不存在，即得倾斜角

【详解】∵直线的斜率不存在，直线与轴垂直,

∴其倾斜角为，

故选：A

2．已知命题：，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即得.

【详解】∵命题：，，

∴为：，.

故选：B.

3．某校高二年级甲、乙两位同学开展了核酸检测．设命题p为“甲同学核酸检测结果为阴性”，命题q为“乙同学核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位同学核酸检测结果不是阴性”可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知命题写出命题的否定，结合复合命题的含义写出命题表达式.

【详解】由题设，为甲同学核酸检测结果不是阴性，为乙同学核酸检测结果不是阴性，

所以“至少有一位同学核酸检测结果不是阴性”可表示为.

故选：D

4．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（    ）

A． B．2 C． D．1

【答案】D

【分析】求得双曲线的，，，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．

【详解】解：双曲线的，，，

所以，一个焦点设为，一条渐近线设为，

所以，焦点到渐近线的距离为.

所以，根据双曲线的对称性可知, 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是.

故选：D.

5．直线与圆的位置关系为（    ）

A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定

【答案】C

【分析】由题知直线过定点，且在圆内，进而得直线与圆的位置关系.

【详解】解：将直线变形为，

所以直线过定点，

圆化为标准方程得，

因为

所以，点在圆内，

所以，直线与圆的位置关系为相交.

故选：C

6．“”是“直线与直线垂直”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两直线垂直可求得的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】若直线与直线垂直，则，

即，解得或，

因为，所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.

故选：A.

7．设、为不相等的正实数，椭圆的焦点分别为与．若此椭圆上存在点P使得为正三角形，则（    ）

A． B． C．28 D．36

【答案】C

【分析】由题设可得且求参数值，即可得结果.

【详解】要使为正三角形，则，

由椭圆的对称性且焦点在y轴上，要使，则必在左右顶点上，

所以，即，故，则.

故选：C

8．直线与曲线（m，n为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由，得，然后根据所给图形逐个分析即可

【详解】解：由，得，

对于A，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、三象限，所以A错误；

对于B，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、三、四象限，所以B正确；

对于C，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、四象限，且由图可知两图在轴上有公共点，则可得，从而有，直线方程为，由，可得或，则交点应在第一象限，所以C错误；

对于D，若曲线的图像正确，则，所以直线过一、二、四象限，所以D错误，

故选：B

9．设A（1，1），B（3，5），C（5，3），D（0，－7），E（2，－3）及F（8，－6）为坐标平面上的六个点．若直线l分别与△ABC及△DEF各恰有一个交点，则l的斜率的最小值为（    ）

A．－4 B．－3 C． D．－1

【答案】B

【分析】由题意可知，直线l只能过两三角形的顶点，由此可得答案.

【详解】因直线l分别与△ABC及△DEF各恰有一个交点，则直线只能过三角形的顶点，注意到，则D，C，E三点共线，又结合图形，可知直线只能是AD，AF，CF中的一条

又，，.则斜率最小值为.

故选：B

10．设，，则的最大值与最小值之和等于（    ）

A．4 B．6 C． D．

【答案】B

【分析】根据等式得出代入原式，构造二次函数即可找到最大值，最小值.

【详解】由得，且，代入

得：，令，

在单调递增，故，

故选:B

11．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定的条件，结合直角三角形性质可得半焦距c与短半轴长b的关系，再求解作答.

【详解】令椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，依题意，是直角三角形，而坐标原点O为斜边的中点，

则，而，即有，，，即，于是得，

所以椭圆离心率的取值范围是.

故选：D

12．已知直线l1：，l2：，动点P在椭圆（a＞b＞0）上，作PM //l1交l2于点M，作PN //l2交l1于点N．若 为定值，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，表示出点的坐标满足，根据点在椭圆上，得出关系，进一步可得出的值.

【详解】设，由题意四边形为平行四边形

 设，则

由，则

设，即

所以

由为椭圆上任意一点，即

所以，即

故选：C

二、填空题

13．双曲线的实轴长为__________．

【答案】

【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求出的值，即可得出该双曲线的实轴长.

【详解】双曲线的标准方程为，则，因此，该双曲线的实轴长为.

故答案为：.

14．若直线与平行，则与之间的距离为____．

【答案】##

【分析】由直线平行求出，再用平行线距离公式求出答案.

【详解】由直线平行的充要条件可得：，

由解得：或，

由可得：，

所以，

所以直线方程为：，

则与之间的距离为 .

故答案为：

15．已知，，若是的充分不必要条件，则m的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由题设是的充分不必要条件，根据已知条件列不等式求参数范围.

【详解】由是的充分不必要条件，

所以是的充分不必要条件，则（等号不同时成立），可得.

故答案为：

16．平面上两点、满足．设为一实数，令表示平面上满足的所有点所成的图形，又令为平面上以为圆心﹑6为半径的圆．给出下列结论：

① 当时，为直线；

② 当时，为双曲线；

③ 当时，与圆交于两点；

④ 当时，与圆交于四点；

⑤ 当时，不存在．

其中正确的结论序号有：__________．

【答案】①②⑤

【分析】由双曲线的定义对选项逐一判断，

【详解】① 当d = 0时，  P点所形成的图形为F1F2的中垂线，故 为直线．

② 当d = 1时，    P点所形成图形为双曲线．

③ 当d = 2时，   P点所形成图形为双曲线，与圆C交于4点．故③错误，

④ 当d = 4时，   P点所形成图形为以为起点的两条射线，与圆C交于2点．故④错误，

⑤ 当d = 8时，   P点所形成的图形不存在．

故答案为：①②⑤

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点Q．

(1)求交点Q的坐标；

(2)若直线l经过点Q，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标；

（2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出方程，代入点Q坐标，求出直线方程.

【详解】（1）联立直线与直线，

得到，解得：，则；

（2）①当截距为0时，直线l过原点，设，

将代入，则，这时直线l为x－2y = 0；

②当直线l截距都不为0时，设，

将代入，则m = 3，故直线为．

综上，直线l的方程为：或.

18．命题 “方程表示圆”，命题 “方程表示双曲线”．

(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(2)若为真命题，为真命题，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据圆的一般式方程的约束条件解不等式即可得答案；

（2）根据为假命题，为真命题求解即可.

【详解】（1）解：因为“方程表示圆”，

所以，，即，解得．

所以，实数的取值范围是.

（2）解：若q为真命题，则，解得 或．

因为为真命题，为真命题，

所以，为假命题，为真命题，

所以，或或或

因此，实数m的取值范围是或

19．已知圆的圆心在直线上，并且经过点和点．

(1)求圆的方程；

(2)若直线过点且与圆相切，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据题意设圆心，进而结合得，再求解方程即可；

（2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：因为圆的圆心在直线上，

所以，设圆心，

因为圆经过点和点，

所以，，即，解得，

所以，圆心为，半径为，

所以，圆的方程为．

（2）解：① 当直线的斜率不存在时，方程为，

此时到的距离是，等于半径，故符合题意；

②当直线的斜率存在时，设直线为，即，

所以，圆心到直线的距离为，解得，

所以，所求直线为．   

综上，直线的方程为或．

20．已知双曲线的渐近线方程为，且过点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若直线l与双曲线相交于两点，若的中点为，求直线l的方程．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由题意可设双曲线方程为，将点代入即可求解；

（2）利用点差法求出直线l的方程，再检验即可求解

【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，即，

所以设双曲线的方程为，

将点代入，可得解得，

因此双曲线的标准方程为；

（2）设，则，，

两式相减，得，

则，

因为的中点为，所以等式可得，得，

则直线为即，

联立双曲线的方程和直线，消去x，可得，

此时，

则直线与双曲线有两个交点，符合题意，

故直线l的方程为

21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e =，经过了点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点Q与点P关于x轴对称，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，直线的斜率为，求四边形面积的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设出椭圆方程，利用给定的条件，列出方程组并求解作答.

（2）设出直线AB方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理列出四边形面积的函数关系，求出函数最大值作答.

【详解】（1）设椭圆C的方程为（a>b>0），则，且，解得a2 = 16，b2 = 9，

所以椭圆C的方程为.

（2）由点Q与点关于x轴对称，得，设，直线AB的方程为，

由消去y并整理，得，则，解得，

，，而线段PQ⊥x轴，|PQ|= 6，且点A，B位于直线两侧，

因此四边形APBQ的面积

， 于是当t = 0时，，

所以四边形面积的最大值是.

22．已知椭圆C上任意一点P（x，y）到点F（－1，0）的距离与到直线x =－4的距离的比等于．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l与椭圆C相交于M，N两点，A（2，0），记直线AM，AN的斜率分别为kAM，kAN，且满足kAM·kAN =－1．证明：直线l过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先分别求出点P到点F的距离和到直线x =－4的距离,然后由根据条件得到方程，化简即可得到答案.

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l为y = kx + m，与椭圆方程联立得出韦达定理，表示出kAM·kAN =－1，将韦达定理代入，得出的关系，得到答案，再验证直线l的斜率不存在的情况.

【详解】（1）因为点P（x，y）到点F（－1，0）的距离为，

点P（x，y）到直线x=－4的距离，

所以 4（x2+2x+1+y2）=x2+8x+163x2+4y2=12，

因此，可得椭圆C的标准方程为．

（2）① 当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立

消去y，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2－12=0，

则 =48（4k2+3－m2）＞0，，，

于是 ，              

即（kx1+m）（kx2+m）+（x1－2）（x2－2）= 0，

即（k2+1）x1x2+（km－2）（x1+x2）+（m2+4）=0，

化简，得4k2+16km+7m2=（2k+m）（2k+7m）=0．            

（i）当2k+m=0时，直线为y=kx－2k，过点（2，0），舍去；

（ii）当2k+7m=0时，直线为，过点（，0）．

② 当直线l的斜率不存在时，x =，经检验，符合题意．           

综上，则直线l过定点R（，0）．