2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二上学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为8，则m＝（    ）

A．4 B．8

C．16 D．18

【答案】C

【解析】根据椭圆的标准方程以及焦点可得，由2a＝8，从而求出.

【详解】椭圆的焦点在y轴上，则

由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.

故选：C.

【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，需熟记椭圆的性质，属于基础题.

2．已知两直线与平行，则a等于（    ）

A．-7或-1 B．7或-1 C．-7 D．-1

【答案】C

【分析】根据两直线与平行，得到，解得或，再进行验证，即可求解.

【详解】由题意，两直线与平行，

则满足，即，解得或

当时，直线与平行，此时两直线重合，舍去；

当时，直线与平行，满足题意,

综上可得：.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线平行的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

3．已知方程表示椭圆，则的取值范围为（    ）

A．且 B．且

C．  D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的标准方程可得，即得.

【详解】因为方程表示椭圆，

所以，

解得且.

故选：B.

4．直线与圆的位置关系是

A．相交且直线过圆心 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相离

【答案】D

【详解】圆心（1，-1）到直线3x+4y-14=0的距离为,所以直线与圆相离，

故选;D

5．若焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得，再结合渐近线方程求解即可.

【详解】解：因为双曲线的焦点在轴上，故双曲线的方程为，

所以渐近线方程为，

因为双曲线的离心率为，即，

所以，所以渐近线方程为.

故选：C

6．直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据直线方程求出直线的斜率，再由的范围即可求解.

【详解】直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，

因为α∈，所以≤≤，

因此k＝2cos α∈．

设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈．

又θ∈[0，π)，且正切函数在上单调递增，在上为单调递增函数，

结合正切函数的图像可知

所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.

故选：B

【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.

7．过点作与圆相切的直线l，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据直线与已知圆相切，讨论切线斜率情况，设切线方程并结合点线距离公式求参数，即可写出切线方程.

【详解】由题设，圆的圆心为，半径为1，

∴在圆外，显然是其中一条切线，

当切线斜率存在时，设切线方程为，则，可得，

∴切线方程为.

综上，切线方程为或.

故选：C

8．动圆过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合圆相切时满足的条件以及双曲线的定义即可求出结果.

【详解】设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为．

动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，

当两圆相内切时，定圆在动圆的内部，此时，

当两圆相外切时，此时，

所以，即动点到两定点、的距离之差的绝对值为常数，且，

所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，

所以动圆的轨迹方程是．

故选：C.

9．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若为钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据为钝角三角形，得到，从而由求解.

【详解】因为为钝角三角形，

所以，即，

即，

即，

即，

又因为，

所以

所以椭圆的离心率的取值范围为，

故选：A

【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】B

【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.

【详解】由已知，不妨设，

则，因为，

所以点在以为直径的圆上，

即是以P为直角顶点的直角三角形，

故，

即，又，

所以，

解得，所以

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

11．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河“，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤5，若将军从点A（4，0）出发，河岸线所在直线方程为x+y＝8，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出A关于x+y＝8的对称点B，根据题意，|BO|为最短距离，求出即可．

【详解】解：设点A关于直线x+y＝8的对称点B（a，b），设军营所在区域的圆心为O，

根据题意，|BO|为最短距离，

AB的中点为（，），直线AB的斜率为1，

由，解得a＝8，b＝4，

所以|BO|3．

故选：B．

12．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线相交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】先由2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．

【详解】如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，又因为2，所以A为线段FB的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，

∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2+∠4＝2∠2＝∠3．

故∠2+∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒．

∴，e2＝4⇒e＝2．

故选：B．

【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．

二、填空题

13．点到直线的距离等于______．

【答案】7

【分析】直接由点到直线的距离公式求解即可.

【详解】由题意知点到直线的距离为.

故答案为：7.

14．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B两点，若使|AB|最小，则直线l的方程是________________．

【答案】x－y＋3＝0

【详解】易知点P在圆的内部，根据圆的性质，若使|AB|最小，则AB⊥CP，因为圆心C(0,1)，所以kCP＝＝－1，kl＝1，因此直线l的方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.

15．曲线C的方程为x2＋＝1，其上一点P(x，y)，则3x＋y的最大值为_________.

【答案】

【分析】令3x＋y＝n，与椭圆联立得12x2－6nx＋n2－3＝0，，由Δ≥0即可得最值.

【详解】令3x＋y＝n，代入x2＋＝1，消去y化简整理，得12x2－6nx＋n2－3＝0，

Δ＝36n2－4×12(n2－3)≥0，解得－2≤n≤2.

答案：2.

【点睛】本题主要考查了由联立处理直线与椭圆的位置关系，属于基础题.

三、双空题

16．已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若且，则______，C的离心率为______．

【答案】     ##0.25    

【分析】根据双曲线的定义结合条件可得相关线段的长度，进而可得，然后利用余弦定理可得，即得.

【详解】由双曲线的定义，可知，

因为，所以，，

又，

所以，

因为，

所以，

又，

所以，

在中，，

在中，由余弦定理可得，

所以，

所以.

故答案为：；.

四、解答题

17．求满足下列条件的曲线的标准方程：

(1)两个焦点坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10的椭圆方程；

(2)已知双曲线的渐近线方程为，焦距为10．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）结合椭圆的定义求得，由此求得椭圆的标准方程；

（2）分焦点在轴，轴讨论，结合条件即得.

【详解】（1）因为椭圆的焦点在x轴上，

∴设它的标准方程为，

又椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10，故，

∴，又∵，

∴，

∴所求椭圆的标准方程为；

（2）当双曲线的焦点在轴时，可设双曲线标准方程为，

则，解得，

所以双曲线的标准方程为；

当双曲线的焦点在轴时，可设双曲线标准方程为，

则，解得，

所以双曲线的标准方程为；

所以双曲线的标准方程为或.

18．如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.

（1）求边所在直线的方程；

（2）求矩形外接圆的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1) 直线AB斜率确定，由垂直关系可求得直线AD斜率，又T在AD上，利用点斜式求直线AD方程；

（2）由AD和AB的直线方程求得A点坐标，以M为圆心，以AM为半径的圆的方程即为所求.

【详解】（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，

所以直线的斜率为-3.

又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，

即.

（2）由，解得点的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为.

所以为矩形外接圆的圆心.

又，

从而矩形外接圆的方程为.

【点睛】方法点睛：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

19．如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的中点．

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

(2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设，，则，代入，整理得；

（2）由题意可求得直线方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理法及弦长公式即得．

【详解】（1）设点的坐标为，点的坐标为，

由题可得，即，

因为在圆上，得，

故，整理得，

故的方程为；

（2）由点斜式知，过点且斜率为的直线方程为，

设直线与的交点为，，

由，可得，

所以，，

故线段的长度为，

所以直线被所截线段的长度为.

20．已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为．

(1)求圆的标准方程；

(2)设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．

【答案】(1)

(2)5，或

【分析】（1）根据题意，过点的直径所在直线方程为，进而与直线联立方程即可得圆心，进而求解方程；

（2）要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，再根据三角形面积公式计算，且所在直线方程为，再与圆的方程联立即可求得的坐标为或，再分别讨论求解方程即可.

【详解】（1）解：由题意，过点的直径所在直线方程为，即．

联立，解得，

∴圆心坐标为，半径，

∴圆的方程为；

（2）解：，要使最大，

则点满足所在直线与所在直线垂直，

此时的最大值为；

∵，

∴所在直线方程为，即，

联立，得或，

即的坐标为或，

当时，的方程为，即；

当时，的方程为，即．

综上所述，所在直线方程为或．

21．已知椭圆：的离心率为，且点为椭圆上一点.

(1)求椭圆的方程.

(2)已知，直线：交椭圆于A，B两点，证明：直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据条件可得，，解出即可；

（2）设，，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理得到，，然后由算出答案即可.

【详解】（1）由题意，，，

解得，，

因此椭圆的方程为；

（2）证明：直线的方程为，

设，，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为.

由消去，得，

易知，得，，

所以直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.

22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，左焦点为，且过点.O为坐标原点，与的面积的比值为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线与椭圆C交于P，Q两点，记直线，的斜率分别为，，若k为，，的等比中项，求面积的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由与的面积的比值为，得到，再将代入椭圆C的方程得到，结合，求得的值，即可求解；

（2）联立方程组，得到，，根据，求得，再结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得，即可求解.

【详解】（1）由题意，椭圆的左焦点为，

因为与的面积的比值为，即，

解得，即，

将代入椭圆C的方程，可得，又由，

解得，所以椭圆C的标准方程为.

（2）设，，且，

联立方程组，整理得，

则，可得

又由，，

因为，，所以，所以，

因为的斜率，的斜率，

则

把，代入上式并化简得，

因为，所以，又因为，所以，

当，时，，

所以直线l的方程为，此时由，可得

因为，所以，且，可得，，

所以，

点到直线的距离

所以

因为，所以，，所以面积的取值范围为.

【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：

（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；

（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.