2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知直线和直线互相平行，则的值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用两条直线平行的充要条件进行求解即可．

【详解】解：因为直线和直线互相平行，

所以，解得．

故选：．

2．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用特殊值，判断选项，利用作差法判断选项，利用指数函数的单调性判断选项，利用对数的定义判断选项，

【详解】解：因为，若，，则，故选项错误；

因为，当时，，故选项错误；

因为在上为增函数，若，则，故选项正确；

若，则和无意义，故选项错误．

故选：．

3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数应为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】B

【分析】由分层抽样的概念求解，

【详解】设从高二学生中抽取的人数为，则，得，

故选：B

4．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，为非零常数，则这两组样本数据（    ）

A．平均数相同 B．中位数相同 C．标准差不相同 D．极差相同

【答案】D

【分析】由各个统计量的概念判断，

【详解】对于A，设的平均数为，则的平均数为，

对于B，设的中位数为，则的中位数为，

对于C，由方差与标准差的计算公式，可得，

对于D，，两组样本数据极差相同

故选：D

5．现有以下两项调查：①从台刚出厂的电视机中抽取台进行质量检查；②某社区有户家庭，其中高收入家庭户，中等收入家庭户，低收入家庭户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ）

A．①②都采用简单随机抽样

B．①②都采用分层随机抽样

C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样

D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样

【答案】C

【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特点，判断选项.

【详解】①的总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样，

②中1000户家庭中收入存在较大差异，层次比较明显，宜采用分层抽样.

故选：C

6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为

A．6 B．21 C．27 D．54

【答案】C

【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可.

【详解】结合三视图,还原直观图为

已知,则该四面体

,故选C.

【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.

7．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：，共7种，

故所求概率.

故选：D.

8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则. D．若，，则.

【答案】C

【解析】A选项可能，B选项两条直线位置关系不能确定，C选项正确，D选项两个平面相交也能满足，.

【详解】A选项，当可能，所以该选项不正确；

B选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，所以该选项不正确；

C选项，根据面面平行的性质，说法正确；

D选项，当两个平面相交，且平行于交线，也满足，，所以不能推出面面平行.

故选：C

【点睛】此题考查空间点线面位置关系的辨析，根据已知条件判断线面平行，线线平行和面面平行，关键在于熟练掌握相关定理公理.

9．在一个实验中，某种豚鼠被感染病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出，之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：

192   907   966   925   271   932   812   458   569   683

257   393   127   556   488   730   113   537   989   431

据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（    ）

A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75

【答案】A

【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量，结合题意，求解即可.

【详解】组数据中，都不含的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989；

故三只豚鼠都没被感染的概率为：.

故选：.

10．若正数，满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由基本不等式求解，

【详解】由题意得，则

，

当且仅当即时等号成立，

故选：D

11．在如图的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”．设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据计算即可．

【详解】解：记此点取自等腰直角中（阴影部分）为事件A，

此点取自梯形为事件，

在中，

，，

，

，

，

．

故选：A．

12．若满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由基本不等式求解，

【详解】由题意得，即，得，当且仅当时等号成立，故C错误，

而时满足题意，故A，B错误，

故选：D

二、填空题

13．若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．

【答案】7

【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.

【详解】不等式组所表示的可行域如图

因为，所以，易知截距越大，则越大，

平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，

由，得，，

所以.

故答案为：7.

【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.

14．从甲、乙等5名同学中随机选3名组成校庆志愿小分队，则甲、乙都不入选的概率为 ________.

【答案】##

【分析】由组合数与古典概型求解，

【详解】由题意得甲、乙都不入选的概率为，

故答案为：

15．某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表：

若与之间是线性关系，且根据上表可得回归直线方程，现发现表中有一个数据模糊看不清，该数据是___________.

【答案】31

【分析】根据回归方程过样本中心点可得答案.

【详解】设表中模糊不清数据为，由表知，

代人回归方程中，得，解得

故答案为：31.

16．在三棱锥中，平面平面，与都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.

【答案】

【分析】取的中点为分别是正三角形和正三角形的重心，是该三棱锥外接球的球心，连接,可证明，通过几何关系可得到外接球的半径为，即可得到答案

【详解】

取的中点为分别是正三角形和正三角形的重心，

是该三棱锥外接球的球心，连接,

则分别在上，平面，平面，，，

因为平面平面，，平面平面，平面

所以平面，所以，同理可得，所以四边形是平行四边形，

因为，，，平面，

所以平面，又平面，所以，

因为平面，平面，

所以，

∵，

∴，

∴四边形为正方形，∴，

在直角三角形中，球半径

∴外接球体积为，

故答案为：

三、解答题

17．求下列不等式的解集：

(1)；

(2).

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解，

（2）移项，通分后化简求解，

【详解】（1）由，得

解得或.

所以不等式的解集为或；

（2）由，可得，

等价于，解得，

所以不等式的解集为．

18．某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格：

已知与线性相关.

(1)求关于的线性回归方程；

(2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，

【答案】(1)

(2)万人

【分析】（1）根据已知数据，先求得，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程；

（2）利用回归方程估计.

【详解】（1）解：由

有，

故关于的线性回归方程为；

（2）解：由（1）知回归方程为，当时，，

所以预测该月的用户数量为万人.

19．已知某保险公司的某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：

该保险公司这种保险的赔付规定如下：

将所抽样本的频率视为概率．

（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；

（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付元；若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）得出保费，，，，对应的概率，即可得出本年度续保人保费的平均值的估计值；

（2）先计算出每个赔偿金额对应的概率，然后按照平均值的计算公式得出本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；

【详解】（1）由题意可得

本年度续保人保费的平均值的估计值为

（2）由题意可得

本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值

20．某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，，，，，，，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.

(1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值；

(2)试估计这200名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？（参考公式：，其中为各组频数；参考数据：

【答案】(1)，

(2)，进入

【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出的值，再根据平均数的定义可求出；

（2）利用方差公式求出方差，然后计算出，再判断即可.

【详解】（1）．

.

该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：

分.

（2）

．

，

．

得分为52分的同学的成绩没有进入到，内，

得分为94分的同学的成绩进入到了，内．

21．如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．

(1)求证：DE⊥平面PCB；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据条件先证BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可证明DE⊥平面PCB.

（2）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.

【详解】（1）证明:PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥BC，

又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，

∴BC⊥平面PCD，

又∵DE平面PCD，

∴BC⊥DE，

∵PD＝CD，E是PC的中点，DEPC，PCBC＝C，

且面，面

∴DE⊥平面PCB

（2）

以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知：

则，

设平面BDE的法向量为，

则，

令，得到，

又，则，且AC⊥平面PDB，

∴平面PDB的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

则，

所以二面角的余弦值为．

22．已知函数，

(1)求关于x的不等式的解集；

(2)若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】(1)对进行讨论，分别求出其解集即可；（2）先令 由，则可得，再将关于的方程有四个不同的实根，转化为 有两个不同正根，结合根与系数的关系，即可求解.

【详解】（1）当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为 ；

当时，不等式的解集为 或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为 或；

（2）当 时，令 ，当且仅当时取等号，设

，则原方程可化为.

由题意知在有两个不等的实根.

因为，，固有

解得，

故实数的取值范围是.