2022-2023学年新疆生产建设兵团第二中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年新疆生产建设兵团第二中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用并集的定义可得正确的选项.

【详解】，

故选：D.

2．若，，则是的条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用充分性与必要性定义判断即可.

【详解】由题意可得

∴是的充分不必要条件

故选A

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

3．“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】特称命题的否定是全称命题

【详解】因为特称命题的否定是全称命题

所以“，”的否定是“，”

故选：B

【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.

4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

【答案】C

【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.

【详解】由，当时，，

则.

故选：C.

5．设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.

【详解】因为，

，

，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（3）借助于中间值，例如：0或1等.

6．函数与的大致图像是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】本题可根据指数函数和对数函数的图像性质得出结果.

【详解】因为函数是减函数，过点，函数是减函数，过点，

所以A选项中的函数图像符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查函数的图像，主要考查指数函数和对数函数的图像，考查函数的单调性，体现了基础性，是简单题.

7．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

8．已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（    ）

A． B．12 C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合对数的运算法则，得到，代入即可求解.

【详解】由题意，函数为上的奇函数，且，即，

且当时，，

又由.

故选：D.

二、多选题

9．下列函数中，定义域为的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】由题意利用基本初等函数的定义域，得出结论.

【详解】对于A， 函数的定义域为，符合题意；

对于B，函数的定义域为，符合题意；

对于C，函数的定义域为，不符合题意；

对于D，函数的定义域为R，不符合题意.

故选：AB

10．已知关于x的不等式的解集为，则（    ）

A．

B．不等式的解集是

C．

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】根据不等式的解集判断出，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD选项的正确性.

【详解】关于的不等式的解集为选项正确；

且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，

则，则，C选项错误；

不等式即为，解得选项正确；

不等式即为，即，解得或选项正确.

故选：.

11．若，，则下列表达正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．

【详解】解：∵，∴函数在上单调递减，

又∵，

∴，

∴，

即，所以选项A正确，选项B正确，

∵幂函数在上单调递增，且，

∴，所以选项C错误，

∵指数函数在R上单调递减，且，

∴，所以选项D错误，

故选：AB．

12．下列选项中，正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据对数运算法则和对数函数的单调性，结合基本不等式、对勾函数的单调性判断．

【详解】，所以，A正确；

因为，所以，即，B错误；

，C正确；

由于对勾函数在上是减函数，，

所以，即，D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知幂函数的图象过点，则=______

【答案】

【分析】设为常数），幂函数的图象过点，解得，再代值计算即可．

【详解】设为常数），

∵幂函数的图象过点，

∴，解得．

∴

则．故答案为．

【点睛】本题考查了幂函数的解析式以及幂函数的图象，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题．

14．已知，函数若，则___________.

【答案】2

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.

【详解】，故，

故答案为：2.

15．若，则的定义域为____________.

【答案】

【解析】使表达式有意义，解不等式组即可.

【详解】由题，解得，即，

故答案为：.

【点晴】此题考函数定义域的求法，属于简单题.

16．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若，则的解集为______________．

【答案】或

【解析】分析出函数在、上的单调性，分和两种情况解不等式，即可得出原不等式的解集.

【详解】是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，

所以，函数在上为减函数，且.

当时，可得，此时；

当时，可得，此时.

因此，不等式的解集为或.

故答案为：或.

【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)65；

(2)0.

【分析】（1）利用分数指数运算法则进行计算；

（2）利用对数运算法则进行计算.

【详解】（1）

；

（2）

.

18．已知函数是奇函数，且.

(1)求实数和的值；

(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论.

【答案】(1)，

(2)见解析

【分析】(1)结合已知条件，利用奇函数性质即可求解；(2)结合指数函数的单调性可判断的单调性，然后利用单调性定义证明即可.

【详解】（1）由题意，是定义在上的奇函数，

故    ①，

由    ②，

联立①②得，，.

（2）结合(1)中结论，，

则在上单调递增，

证明：不妨设，，且，则，

则，

故，

则在上单调递增.

19．已知集合是函数的定义域，集合，集合.

(1)若“”是“”成立的充要条件，求实数的值；

(2)若“，都有”是真命题，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求解函数定义域和不等式，根据集合相等，即可求得实数的值；

（2）利用指数函数单调性求得集合，根据集合的包含关系，求解即可.

【详解】（1）要使得函数有意义，则，且，解得，即；

令，解得或，根据题意，故.

（2），

根据题意，集合是集合的子集，

当时，，解得满足题意；

当时，要满足题意，则，解得，

综上所述，.

20．某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万元，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润销售额成本）；

(2)2023年产量（千部）为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)2023年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元.

【分析】（1）根据已知条件求得分段函数的解析式.

（2）结合二次函数的性质、基本不等式求得的最大值以及此时的产量.

【详解】（1）解：根据题意，每生产（千部）手机，所获的销售额为万元，

所以，

（2）解：由（1）知，

所以，当时，，

所以，当时，有最大值；

当时，，当且仅当，即时等号成立.

所以，当，有最大值.

综上，2023年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元.

21．已知函数，函数，其中.

(1)若关于的不等式的解集是，求实数的值；

(2)若，都有恒成立，求实数的取值范围；

(3)若，解关于的不等式.

【答案】(1)或2

(2)

(3)见解析

【分析】(1)结合不等式的解集即可求解；

(2)构造函数，然后对参数进行分类讨论并求即可求解；

（3）对a分类讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】（1）因为的解集是，

所以和2为的两个解，且，

故且，解得或.

从而实数的值为或2.

（2）由题意，，

则，都有恒成立可转化为：，恒成立，

①当时，即时，在上恒成立，满足题意；

②当时，即时，

由于在上有最小值，且的对称轴为，

故且，

解得，.

综上所述，实数的取值范围为.

（3）由可知，，

(i)当时，恒成立，

故此时解集为；

(ii) 当时，恒成立，

故可得，；

则的解集为；

(iii)当时，

解得，，

则的解集为；

(iv)当时，，

解得，，

则的解集为；

(v)当时，，

解得，或，

则的解集为或.

综上所述，当时，解集为；

(ii) 当时，的解集为；

(iii)当时，的解集为；

(iv)当时，的解集为；

(v)当时，的解集为或.

22．定义在上的函数满足，且，其中且.

(1)求实数的值；

(2)已知：当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为；解关于的不等式；

(3)若函数，.是否存在实数，使得函数的最小值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)1

(2)见解析

(3)存在，.

【分析】(1)利用偶函数性质即可求解；(2)结合偶函数性质以及的单调性即可求解；(3)利用换元法将转化为一元二次函数，然后利用对称轴与闭区间的位置关系进行分类讨论即可求解.

【详解】（1）因为，即，

所以为偶函数，

因为，，

所以，

即.

（2）①当时，函数的单调递增区间为，

由偶函数性质可知，在上单调递减，

故，解得或；

②当时，函数的单调递增区间为，

故，解得.

综上所述，当时，所求不等式解集为或；

当时，所求不等式解集为.

（3）结合(1)中结论，，

当时，，则；

当时，，则，

不妨令，则，

由二次函数性质可知，的图像开口向上，且对称轴轴，

(i)当时，在上单调递增，

则，这与矛盾，不合题意；

(ii)当时，在上单调递减，

则，这与矛盾，不合题意；

(iii)当时，在上单调递减，在上单调递增，

则，满足题意.

综上所述，存在实数，使得函数的最小值为，且.