湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

华中师大一附中2022-2023学年度上学期高二期中检测

数学试题

考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：审题人：

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若直线的方向向量是，则直线的倾斜角是（）

A． B． C． D．

2．直线，若，则m的值为（）

A．0 B．1 C．2 D．0或1

3．在下列四个命题中，正确的是（）

A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大

B．过点的直线方程都可以表示为：

C．经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为：

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

4．已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（）

A． B． C． D．

5．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（）

A．  B．

C．  D．

6．已知椭圆，点关于直线的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为(   )

A． B． C． D．

7．过椭圆左焦点F作倾斜角为的直线，与椭圆C交于A，B两点，其中P为线段AB的中点，线段PF的长为，则椭圆C的离心率为（）

A． B． C． D．

8．已知过定点的直线与圆C：相交于A，B两点，当线段的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（）

A．11 B．20 C．21 D．22

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．对于曲线，下面说法正确的是（）

A．若，曲线C的长轴长为4

B．若曲线是椭圆，则的取值范围是

C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是

D．若曲线是椭圆且离心率为，则的值为

10．已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（）

A．若两圆外切，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则

C．若两圆的公共弦长为，则 D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则

11．已知两点的距离为定值，平面内一动点，记的内角的对边分别为，面积为，下面说法正确的是（）

A．若，则最大值为2 B．若，则最大值为

C．若，则最大值为 D．若，则最大值为1

12．已知分别为椭圆的左、右焦点，下列说法正确的是（）

A．若点的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为

B．若椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是

C．若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是

D．若点的坐标为，椭圆上存在点P使得，则椭圆的离心率的取值范围是

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则______.

14．写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可）

15．已知椭圆的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，点坐标是，则的最大值是______.

16．已知直线与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，若A，B，C，O四点共圆，则的值为______.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17．（10分)直线过点，且倾斜角比直线的倾斜角大.

（1）求直线的方程；

（2）若直线与直线平行，且距离为，求直线的方程.

18．（12分）已知三点都在圆上.

（1）试求圆C的方程；

（2）若斜率为1的直线与圆交于不同两点，且以为直径的圆恰好过点，求直线的方程.

19．（12分）已知圆.

（1）求过点且与圆相切的直线方程；

（2）已知点．则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由．

20．（12分）如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点

（1）若是线段的中点，试证明平面；

（2）已知直线与平面所成角为.

①若和的面积分别记为，试求的值；

②求三棱锥的体积.

21．（12分）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为其左焦点，过的直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试求面积的最大值以及此时直线的方程.

22．（12分）椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，满足，且的面积为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.过点作直线的垂线，垂足为，问：在平面内是否存在定点使得为定值，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

华中师大一附中2022-2023学年度上学期高二期中检测

数学答案

一、选择题

二、填空题

13.1    14.，3，（写出一个即可）   15.1316.4

三、解答题

17. (1) 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则题意得，所以，所以直线的方程为，即

（2）由题意可设直线m的方程为，因为直线m与直线l的距离为，所以，解得或，所以直线m的方程为和.

18.（1）由题意知三点，，构成的是以PQ为斜边的直角三角形，所以覆盖它且面积最小的圆是的外接圆，故圆心是PQ的中点，半径，所以圆C的方程是

（2）设直线l的方程是：.

因为，所以圆心C到直线l的距离是，

即解得：.

所以直线l的方程是：或

19.（1）由题意圆C：，圆心，半径，

1）当直线l的斜率不存在时，直线l：，符合题意；

2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程l：即，

则圆心C到直线l的距离，解得，

所以直线l的方程为即

综上，直线l的方程为或；

（2）假设圆C上存在点P，设，则C：，

又，

即，P的轨迹是圆心为，半径为3的圆.

因为，

所以圆C：与圆相交，

所以点P的个数为2

20.（1）∵，分别为线段，，∴，

又∵，∴，面PAD，面PAD，∴面PAD.

（2）分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

，，，，，，，，，设平面AEF的法向量

，则，所以，取，

设，则

则，

整理得，解得或（舍去)，

①

②∵，且

∴

21.（1）根据题意可得：，，

又，解得，，，

故椭圆C的标准方程为：.

（2）①当直线l斜率为零时，显然不满足题意；

②直线l的斜率不为零，设其方程为：，

联立椭圆方程：可得：，

设A，B的坐标分别为，，则，，

，

点O到直线AB的距离，

，

令，则，

故

对函数，，易知在单调递增，

在单调递减，故，当且仅当，即时取得等号；

故面积的最大值为，此时直线l的方程.

22.（1）因为，所以，即，所以

，所以，

又，，，

所以，即，所以，

所以，所以椭圆方程为.

（2）依题意，，设，，

若直线PQ的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意.

所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为，

与椭圆C联立，整理得：，

所以，

且，因为是粗圆上一点，即

所，

则，即，

因为，得

即

因为

，

整理得，解得，直线PQ恒过定点.

所以点H在以BM为直径的圆上，点为BM的中点。