2021-2022学年广东省潮州市饶平县第二中学高二下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广东省潮州市饶平县第二中学高二下学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的二项展开式中的常数项为（ ）
A．1B．6C．15D．20
【答案】D
【解析】化简得到展开式的通项为，令，即可求得展开式的常数项.
【详解】由题意，二项式展开式的通项为，
令，可得展开式的常数项为.
故选：D
【点睛】本题主要考查了二项展开式的常数项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了计算能力.
2．下列说法中正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布.则
B．“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件
C．已知随机变量的方差为，则
D．已知随机变量服从正态分布且，则
【答案】D
【分析】按照有关定义以及数学期望和方差的计算公式即可.
【详解】对于A，已知随机变量，则，故A错误；
对于B，根据互斥事件和对立事件的定义，
“与是互斥事件”并不能推出“与互为对立事件”，
相反“与互为对立事件”必能推出“与是互斥事件”，
故B错误；
对于C，根据方差的计算公式，，故C错误；
对于D，根据正态分布的对称性，随机变量，，
所以，所以，
故D正确；
故选：D.
3．从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，不同方法的种数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，该问题为排列问题，由排列数公式计算可得答案．
【详解】解：根据题意，从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，是排列问题，
有种不同方法，
故选：A．
4．随机变量的分布列如下表所示：
则（ ）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】C
【分析】利用分布列的性质求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可．
【详解】解：由分布列的性质可得，，可得，
所以．
故选：C．
5．已知随机变量，，则（ ）
A．0.16B．0.42C．0.5D．0.84
【答案】A
【分析】利用正态分布的对称性以及参数的含义进行分析求解即可．
【详解】解：因为随机变量，则，
又，
所以．
故选：．
6．随机变量的可能值有1，2，3，且，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】求出的值，求出期望，得到方差的表达式，然后求解最值即可．
【详解】随机变量的可能值有1，2，3，且，，
可得：，
由，可得
所以．
，
当时，的最大值为1．
故选：D．
【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查转化思想以及方差思想的应用，是中档题．
7．甲和乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么摸出红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】摸出红球有两种情况，第一种：从甲箱中摸出红球，第二种：从乙箱中摸出红球，两种情况概率相加即可求解．
【详解】解：由题可知，摸出红球有两种情况，
第一种：从甲箱中摸出红球，概率为，
第二种：从乙箱中摸出红球，概率为，
所以摸出红球的概率为，
故选：B．
8．已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（ ）
A．16B．8C．0D．
【答案】D
【分析】根据系数和为4，令x=1代回原式，可求得n值，利用二项式展开式的通项公式，分析计算，即可得答案.
【详解】因为各项系数和为4，
所以令x=1，代入可得，解得，
所以原式为，
又展开式的通项公式为，
令k=3，则，所以可得一个的系数为，
令k=0，则，
又展开式的通项公式为，
令，，所以可得一个的系数为，
令，，所以可得一个的系数为，
令k=1，，所以可得一个的系数为，
综上：的系数为.
故选：D
【点睛】解题的关键是分析题意，要求的系数，则展开式中，需要出现、和的项，求得这些项的系数，再与相乘，可求得的系数，考查分析理解，计算求值的能力，属难题.
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．随机变量，则
B．某人在10次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大；
C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；
【答案】AC
【分析】A应用二项分布概率公式求概率即可；B由二项分布知，应用不等式法：当求的解集即可判断正误；C根据互斥事件的定义判断正误；D由超几何分布的性质判断正误.
【详解】A：由二项分布的概率公式得: ，故错误;
B：在10次射击中击中目标的次数为，当时对应的概率，所以当时，，由得：，即，，则且，即时概率最大，故正确．
C：至少有一个黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故错误；
D：设摸出红球的个数为，则，故满足超几何分布，故正确；
故选：AC
10．湖北潜江素有“中国小龙虾之乡”之称，是我国小龙虾的主要产区．已知某种饲料的投放量单位：吨与小龙虾的产量单位：吨的统计数据如表：
由表中的数据，得到回归直线方程为，则下列结论正确的是（ ）A．
B．产量y与投放量x正相关
C．回归直线过点
D．当时，小龙虾产量的预报值是
【答案】BC
【分析】先由表格求出样本中心点，代入回归直线方程求出的值，再结合回归直线方程可判断选项A，D错误；B，C正确.
【详解】由表可知，投放量的平均值，
小龙虾的产量的平均值，
样本中心点为.故选项C正确；
代入回归直线方程，解得，故选项A错误；
回归方程为，故选项B正确；
当时，，故选项D错误.
故选：BC.
11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼” “乐” “射” “御” “书” “数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（ ）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“乐”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】CD
【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，某学生从中选3门，6门中选3门共有种，故A错误；
对于B，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，
在其中任选2个，安排“射”“御”，共有种排法，故B错误；
对于C，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，
由捆绑法：将“礼”“书”“数”看成一个整体，
与其他3门课程全排列，共有种排法，故C正确；
对于D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论，
若课程“乐”排在最后一周，有种排法，
若课程“乐”不排在最后一周，有种排法，
所以共有种排法，故D正确．
故选：CD．
12．2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模的国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（ ）
A．设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则
B．设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则
C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
【答案】BD
【分析】理解题意，利用超几何分布，求概率，求期望，求方差即可.
【详解】对于A：从7名志愿者中抽取3人，所有可能的情况有（种），其中恰有1名女志愿者的情况有（种），故，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：由题意知X的可能取值为0，1，2，3，则，，，，
所以，故C错误.
对于D：由题可知Y的可能取值为0，1，2，3，则，，，，
则，
，
则，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．___________.
【答案】4
【分析】根据排列与组合数的计算求解即可
【详解】.
故答案为：4.
14．在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感假设这三个地区的人口比例为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为______
【答案】
【分析】根据概率的意义计算．假设三个地区总人口为200人，然后求出患流感的总人数后可得．
【详解】假设三个地区总人口为2000人，
因为A、B、C三个地区人口比例为5：7：8，因此可得A、B、C三个地区人口数分别为500、700、800，
又这三个地区分别有，，的人患了流感，所以这三个地区患了流感的人数分别为，，，
所以所求概率为．
故答案为：0.0485．
15．有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，其中甲同学不能参加跳舞比赛，则参赛方案的种数为___________．
【答案】
【分析】先排甲同学有2种方案，另外四名同学要么只参加甲参赛后剩余的两项比赛要么参加三项比赛，对每种情况先分组后分配，最后根据两个基本原理计算总数.
【详解】甲同学有2种参赛方案，其余四名同学，若只参加甲参赛后剩余的两项比赛，则将四名同学先分为两组，人数分配为1：3与2：2，分组方案有，再将其分到两项比赛中去，共有分配方案数为;
若剩下的四名同学参加三项比赛，则将其分成三组，人数分配为2：1：1，分组方法数是，分到三项比赛上去的分配方法数是，故共有方案数.
根据两个基本原理共有方法数(种).
故答案为：100.
16．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式的展开式的各项系数之和．现从中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为__________．
【答案】
【分析】先求得二项式的展开式的各项系数之和为.然后在一共个数字中任选两个共有种，和为的只有两种情况，由此得出该图形为“和谐图形”的概率.
【详解】令代入得，即二项式的展开式的各项系数之和为.
从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：共种，
其中和为的有共两种，
所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为，
故答案为：
四、解答题
17．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出与；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.
【详解】解：（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，
则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为.
（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.
18．某一厂家将其生产的糖果批发给当地一家商场，商场根据这批糖果的品质将其分为A，B，C三个等级，批发单价分别为6元/､5元/和4元/.
(1)根据以往的经验，该厂家生产的糖果为A，B，C等级的比例分别为50%，30%，20%，估计这批糖果的批发单价的平均值；
(2)为了对糖果进行合理定价，商场对近5天的日销量y和单价进行了统计，得到一组数据如表所示：
根据表中所给数据，用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程，并预测当糖果单价为12元/时，该商场糖果的日销量.
参考公式：线性回归方程中，，.
参考数据：，，.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据平均数的定义求解即可，
（2）先求出，然后根据公式和已知的数据求出回归系数，从而可求得回归方程，将代入回归方程中可估计出超市西红柿的日销量
【详解】（1）解：由题得这批糖果的批发单价的平均值为.
（2）解：由表知，，
所以，
，
故y关于x的线性回归方程为．
当时，，
即当西红柿单价为12元/时，预测该超市西红柿的日销量为
19．设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
【答案】（1）；
（2）-32.
【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；
(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；
解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.
【详解】（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．
【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.
20．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．
【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为．
（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
21．2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根据调研结果数据显示，我国大中小学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：
(1)根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否依据小概率值的独立性检验下认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）
(2)体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列及数学期望.
附：
【答案】(1)表格见解析，可以认为该市学生体质测试达标与性别无关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题中的数据填写列联表，根据公式计算，再根据临界值表中数据比较大小，即可判断；
（2）首先由题意得到男生体质测试优良率，女生体质测试优良率，，利用独立事件概率公式求概率，并写出分布列，计算数学期望.
【详解】（1）
假设：该市学生体质达标与性别无关
由题得列联表如下：
χ2
根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为该市学生体质测试达标与性别无关…
（2）由题意男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.
的所有可能取值为0，1，2，3，4.
的分布列为：
22．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
【答案】（1）见解析.
（2）见解析.
（3）见解析.
【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．
【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而
；
；
；
；
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，，故的最小值为19．
（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.
当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040；
当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．
【解析】离散型随机变量及其分布列
1
2
3
4
0.1
0.3
投放量吨
2
3
4
5
6
产量吨
31
42
52
64
73
销售单价（元/kg）
6
7
8
9
10
日销量（kg）
150
135
110
95
75
X
0
1
2
3
P
优秀
良好
及格
不及格
男生
100
200
780
120
女生
120
200
520
120
达标
不达标
合计
男生
女生
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
达标
不达标
合计
男生
1080
120
1200
女生
840
120
960
合计
1920
240
2160
0
1
2
3
4
16
17
18
19
20
21
22