2021-2022学年广东省潮州市饶平县第二中学高二下学期月考（二）数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广东省潮州市饶平县第二中学高二下学期月考（二）数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意设直线方程为，根据点在直线上求参数即可得方程.
【详解】由题设，令直线方程为，所以，可得.
所以直线方程为.
故选：A.
2．在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（ ）
A．12B．32C．36D．37
【答案】C
【分析】直接按照等差数列项数的性质求解即可.
【详解】数列的前6项之和为.
故选：C.
3．在的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中常数项为.
故选：D.
4．已知随机变量，且，则（ ）
A．B．12C．3D．24
【答案】C
【分析】结合，求得，即可求解．
【详解】由题意，随机变量，可得，
又由，解得，
即随机变量，可得，
故选：C．
5．某市一次高三模拟考试一共有3.2万名考生参加，他们的总分服从正态分布，若，则总分高于530分的考生人数为（ ）
A．2400B．3520C．8520D．12480
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的对称性，得到，即可求解.
【详解】由题意，总分服从正态分布，且，
根据正态分布曲线的对称性，可得，
所以总分高于530分的考生人数为.
故选：B.
6．已知抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】有几何关系，圆与抛物线交点的坐标与圆半径满足勾股定理，可求得准线，即可求得p
【详解】由题，圆与抛物线都关于x轴对称，故所截得的弦AB与x轴垂直，圆心为原点，圆半径为2，则有，解得，故，得，
故选：C
7．根据教育部的规定，从2021年9月1日以来，全国各地的中小学都开展了课后延时服务．各个学校都及时安排老师参加课后延时服务工作，学校要求张老师在每个星期的周一至周五要有三天参加课后延时服务．若张老师周五一定参加课后延时服务，则他周四也参加课后延时服务的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设事件A为张老师“周五参加课后延时服务”，事件B为张老师“周四参加课后延时服务”，利用古典概型求出，和的值，再根据条件概率公式，即可求出结果.
【详解】设事件A为张老师“周五参加课后延时服务”，事件B为张老师“周四参加课后延时服务”，则，，故．
故选:A．
8．已知分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，当时，则点横坐标的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
如上图，假设时，三角形的面积等于
因为点P在椭圆上，故代入椭圆方程得到x=,当点P向上运动时，越靠近上顶点角越大，又因为 椭圆的对称性，得到P点的活动范围应是．
故答案为C．
二、多选题
9．设，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．展开式中二项式系数最大的项是第5项
【答案】AC
【分析】利用赋值法判断A、B；写出展开式的通项，即可求出、，进而判断C；根据二项式系数的性质判断D.
【详解】因为，令得，故A正确；
令得，所以，故B错误；
二项式展开式的通项为，
所以，，所以，故C正确；
因为二项式展开式共项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为，故D错误；
故选：AC.
10．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，短轴长等于，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的方程为B．椭圆的离心率为
C．D．
【答案】AD
【分析】求出、、的值，可判断AB选项的正误；设点为椭圆的左焦点，将代入椭圆方程，可求得的长，可判断C选项的正误；利用椭圆的定义可判断D选项的正误.
【详解】对于椭圆，由已知可得，则，，.
对于A选项，因为椭圆的焦点在轴上，故椭圆的方程为，A对；
对于B选项，椭圆的离心率为，B错；
对于C选项，设点为椭圆的左焦点，易知点，
将代入椭圆方程可得，故，C错；
对于D选项，，故，D对.
故选：AD.
11．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(，)，N(，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
附:若随机变量X服从正态分布N(，)，则.
A．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩甲
B．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
C．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587
D．若，则乙同学成绩低于80分的概率约为0.3174
【答案】BC
【分析】根据正态曲线的对称轴，以及正态曲线的性质，结合，即可判断选项.
【详解】A.甲同学的平均成绩是75，乙同学的平均成绩是85，，故A错误；
B. 甲同学的图象“瘦高”，乙同学的图象“矮胖”，所以甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，故B正确；
C.，故C正确；
D.，故D错误.
故选：BC
12．如图，菱形边长为2，，E为边AB的中点.将沿DE折起，使A到，且平面平面，连接，.则下列结论中正确的是（ ）
A．B．四面体的外接球表面积为
C．BC与所成角的余弦值为D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】BCD
【分析】将沿折起，使到，且平面平面，连接，，则，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【详解】解：将沿折起，使到，且平面平面，连接，
，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
对于，，0，，，，，，0，， 2，，，
，，，，，，
，与不垂直，故错误；
对于，取中点，连接，
，，
过作平面，四面体的外接球球心在直线上，
设，由，得，解得，，
四面体的外接球表面积为：，故正确；
对于，，，，，，，
设与所成角的为，
则，
与所成角的余弦值为，故正确；
对于，，0，，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
直线与平面所成角的正弦值为：
，故正确．
故选：．
三、填空题
13．如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则___________．
【答案】18
【分析】由图案规律得通项公式后求解，
【详解】由题意得，故，
故答案为：18
14．如图,空间四边形的对角线,,分别为的中点,并且异面直线与所成的角为90°,则等于_______.
【答案】5
【解析】取的中点P,连接,，中求 的长度.
【详解】解析如图,取的中点P,连接,，则, ,即为异面直线与所成的角(或其补角).
.又, ,.
故答案为：5
【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，意在考查空间想象能力，属于基础题型.
15．已知直线与抛物线相交于A，B两点，且，则抛物线C的准线方程为___________.
【答案】
【分析】将直线与抛物线联立结合抛物线的定义即可求解.
【详解】解：直线与抛物线相交于A，B两点
设，
直线与抛物线联立得：
所以
所以
即
解得：
所以抛物线C的准线方程为：.
故答案为：.
16．某年数学竞赛邀请了一位来自星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题目就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题，然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答得题目则跳过（例如，他可以按照9、8、7、4、3、2、1、5、6、10的次序答题），这样所有题目均有作答，则这位选手可能的答题次序有______种.
【答案】512
【分析】按照规则，相当于将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按照规则排序，要求放在1左侧的数字从大到小，右侧从小到大（1可以在两端），可以设1左侧个数字，不同的排序方法种，一共有种.
【详解】设从最后一题（第10题）开始往前看直到第2题（含第2题），做了道题，这道题的顺序只能从大到小或者不答题（），则不同的答题情况种，
按照规则：接下来无论他是否会第一题，都必须做第一题，剩下的题目只有一种做题顺序.
则剩下的道题只能一种答法，
所以可能的答题次序一共有种.
故答案为：512
【点睛】此题考查分步计数原理，其中涉及组合知识，关键在于等价转化，以比较简单的方式完成题目要求的事件.
四、解答题
17．已知为等差数列的前项和，若，．
(1)求；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)＝
(2)
【分析】（1）设出公差，列出方程组，求出数列的通项公式；
（2）再第一问的基础上求出，，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，
解得 ，
故；
（2）因为，
所以，
故.
18．电信诈骗具有手段多样、犯罪组织性强、犯罪涉案区域辐射广泛等特点，严重危害群众财产安全，扰乱正常生产生活秩序，已成为影响社会稳定的突出问题.为此公安机关多次组织反诈骗宣传，力求使人民群众的损失降到最低，下面是某市连续四年电信犯罪案件的统计数据.
(1)请利用所给数据求电信诈骗案件数y与年度序号x之间的回归直线方程.并估算2022年诈骗案件数；
(2)公安机关按统计学的方法从2018~2021年电信犯罪案件中抽取100个案例，分析了参与反诈骗意识宣传教育与是否被电信诈骗的关系，得到下表，则能否有99.5%的把握认为不参与反诈骗安全教育与被电信诈骗有关.
参考公式：，其中，
参考公式：
参考数据
附表
【答案】(1)回归直线方程，2022年诈骗案件数为.
(2)有99.5%的把握认为不参与反诈骗安全教育与被电信诈骗有关.
【分析】根据题中的数据及公式可求解.
【详解】（1）由题意得，，，
由公式及题中所给的数据有，
又，有.
电信诈骗案件数y与年度序号x之间的回归直线方程，
要求2022年诈骗案件数，即将时代入回归直线方程中，
可得.
即2022年诈骗案件数为.
（2）由题中的数据可得列联表如下：
根据列联表可得：
，
所以有99.5%的把握认为不参与反诈骗安全教育与被电信诈骗有关.
19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，．
(1)证明：平面；
(2)已知，，，且，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别证得又，进而结合线面垂直的判定定理即可得出结论；
（2）以原点，以、、分别为轴建立空间直角坐标系，进而结合空间向量求二面角的计算公式即可求出结果.
【详解】（1）证明：因为平面平面且交线为，又，平面
所以平面，又平面
所以又，且，AD.AC含于面ABCD
所以平面
（2）由（1）知，平面且
所以、、两两垂直
因此以原点，以、、分别为轴
建立如图所示的空间直角坐标系
因为，，，，所以，，，，，所以，，，
设平面与平面的法向量分别为：，
所以，
令，则
令，则，，即
则，
结合图形可知平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
20．2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求这3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人的概率；
(2)“单板滑雪”参与人数超过45人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记为选出可作“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；
(3)
【分析】（1）利用古典概型结合组合公式求解；（2）写出的可能取值，利用超几何分布求得分布列，利用数学期望公式求得期望；（3）先计算得小明同学一轮测试得“优秀”的概率，再利用二项分布的期望公式列不等式求解.
【详解】（1）记“从10所学校中随机选取3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”为事件A，
参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，
随机选择3所学校共种，所以.
（2）的所有可能取值为，
参与“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所，
所以，，
，，
所以的分布列如下表：
所以.
（3）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件B，
则，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意列式，得，
因为，所以的最小值为，
故至少要进行轮测试.
【点睛】超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
21．已知椭圆，A､B分别为椭圆C的右顶点､上顶点，F为椭圆C的右焦点，椭圆C的离心率为，的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P为椭圆C上的动点（不是顶点），点P与点M，N分别关于原点､y轴对称，连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，定值为
【分析】（1）根据椭圆的离心率可得到a,b,c的关系，再结合的面积可得到，由此解得a,b，可得答案.
（2）设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积，代入化简可得答案.
【详解】（1）由题意得，则，.
的面积为，则.
将，代入上式，得，则，，
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可知直线PQ的斜率一定存在，
设直线PQ的方程为，设，，则，，，
联立方程，得，
∴，
∴，
∴， ，
∵，
∴
∴为定值.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系，综合考查了学生分析问题，解决问题以及计算方面的能力和综合素养，解答的关键是理清解决问题的思路，并能正确地进行计算.
22．已知是函数的一条切线，，且是的导数．
(1)求的值；
(2)证明：当，时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设与直线的切点为，由导数的几何意义可得，又，联立即可求解；
（2）由题意可得，在上单调递增， ， 在上单调递增，进而分析：要证，即证，只需证，即证，只需证，
然后构造函数（其中即可证明.
【详解】（1）解：，
设与直线的切点为，则，
所以，解得，
所以；
（2）解：由（1）可知，，，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
所以在上单调递增，
又因为，且，所以，
因为，所以当时，，在上单调递增，
要证，即证，
只需证，即证，
因为，所以，
所以只需证，
设（其中，
因为，
所以在上为增函数，
所以，
故式成立，从而得证.
【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题的关键是，分析要证，即证，只需证，即证，只需证，从而构造函数即可证明.
年度
2018
2019
2020
2021
年度代号x
1
2
3
4
电信诈骗案件数y
280
250
210
180
不参与反诈骗安全教育
参与反诈骗安全教育
被诈骗
14
6
未被诈骗成功
26
54
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.7066
3.841
6.635
7.879
10.828
不参与反诈骗安全教育
参与反诈骗安全教育
合计
被诈骗
14
6
20
未被诈骗成功
26
54
80
合计
40
60
100