2021-2022学年广东省潮州市饶平县第二中学高二下学期月考（一）数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广东省潮州市饶平县第二中学高二下学期月考（一）数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一条直线过原点和点，则这条直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可求得所求直线的倾斜角.
【详解】设这条件直线的倾斜角为，则，
，因此，.
故选：C.
2．双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据双曲线方程得，结合离心率列方程，解得结果.
【详解】因为双曲线，所以
因为的离心率为，所以，
故选：C
【点睛】本题考查双曲线离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上是增函数
B．函数在上是减函数
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
【答案】A
【分析】根据图象，结合导函数的正负性、极值的定义逐一判断即可.
【详解】由图象可知，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，可知B错误，A正确；
是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C，D错误．
故选：A
4．三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于( )
A．－2B．2C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：
【解析】平面向量数量积的运算
5．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙被选中为事件，分别求得，，再结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，
设男生甲被选中为事件，其概率为，
设女生乙被选中为事件，
则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
故选：B.
6．二项式的展开式中的项的系数为（ ）
A．240B．80C．D．
【答案】C
【分析】写出二项式的展开式，从而可得的展开式中的系数.
【详解】因为二项式的展开式为：，
所以的展开式中含的项为，
则的系数为，
故选：C.
7．已知两点，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．10
【答案】C
【分析】根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
【详解】依题意，若关于直线的对称点，
∴，解得，
∴，连接交直线于点，连接，如图，
在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，
则有，当且仅当点与重合时取等号，
∴，故 的最小值为.
故选：C
8．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，
∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：上，
∴，
∵，∴，∴，
∴
∴椭圆方程为：.
故选D.
【解析】椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.
二、多选题
9．设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．数列单调递减D．对任意，有
【答案】BCD
【分析】由可得，而，从而可判断ABCD.
【详解】，
，，B正确；
而，故无法判断的正负，A错误；
，数列单调递减，C正确；
当时，有最大值，即，D正确.
故选：BCD
10．、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若、两人站在一起有种方法B．若、不相邻共有种方法
C．若在左边有种排法D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法
【答案】AC
【分析】根据分类加法，分步乘法原理，结合排列的相关知识点，对选项一一分析.
【详解】对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，
一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A正确；
对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，
所以共有种，所以B不正确；
对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，
所以A在B的左边的排法有种，所以C正确；
对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种，
另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，
然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列，
即，由分类加法原理可知共有种，所以D不正确，
故选：AC.
11．直线与圆C：相交于A、B两点,则AB长度可能为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】BC
【解析】先求得圆心到直线的距离最大值,再利用垂径定理求得弦长的范围即可.
【详解】因为直线过定点,故圆的圆心到直线的距离的最大值为.又圆的半径为6,故弦长的最小值为.
又当直线过圆心时弦长取最大值为直径12,故.
故选：BC
【点睛】本题主要考查了直线过定点以及垂径定理的运用,需要根据定点求出圆心到直线的距离最值,进而得出弦长的最值与范围.属于中档题.
12．已知曲线在点处的切线为，且与曲线也相切．则（ ）
A．
B．存在的平行线与曲线相切
C．任意，恒成立
D．存在实数，使得任意恒成立
【答案】AC
【分析】由得，求出切线，与联立，由可得，由此判断A；由反证法可判断B；构造函数，通过研究其最小值和极限可判断C和D.
【详解】对于选项A：由得，所以，则，所以切线的斜率为，所以切线的方程为.
又直线也与相切，联立得，由得，故A正确；
对于选项B：假设存在与平行的直线与曲线相切于点，则，显然.令（）,则，所以当时，即单调递增，又，所以，即与重合，这与与平行矛盾，故B错误；
对于选项C：构造函数（），则，由得.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.
所以对，即恒成立. 故C正确；
对于选项D：因为在上单调递增，又时，，所以不存在实数，使得即对任意恒成立.故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若，则m=______
【答案】6
【分析】排列数和组合数的计算公式，化简方程，求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
解得.
故答案为：.
14．已知数列满足，则＝________.
【答案】4
【分析】由等比数列的性质求解，
【详解】由题意得，
故答案为：4
15．将5名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰､短道速滑､高山滑雪3个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，并且甲､乙两名志愿者必须分配在一起，则共有种不同的分配方式___________.
【答案】36
【分析】将分组方式分、两类，结合排列组合数计算不同的分配方式.
【详解】由题设，5名北京冬奥会志愿者分配到3个项目进行培训的有两类分组：
1、各组人数以分组，共有种；
2、各组人数以分组，共有种；
∴共有种分配方式.
故答案为：.
16．知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【分析】根据分段函数的性质，结合幂函数、一次函数的单调性判断零点的分布，进而求m的范围.
【详解】由解析式知：在上为增函数且，
在上，时为单调函数，时无零点，
故要使有两个不同的零点，即两侧各有一个零点，
所以在上必递减且，则，可得.
故答案为：
四、解答题
17．设
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）写出的展开式的通项即可得到答案；
（2）令，求出的值，然后再令，求出的值，从而可求出的值.
【详解】（1）的展开式的通项为
所以
（2）当时，，
当 时，，得 ，
所以
【点睛】本题考查了二项式展开式系数的求法，考查了赋值法，属于基础题
18．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
(1)求取出的4个球均为黑球的概率.
(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率.
【答案】(1) (2)
【详解】(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A,“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A,B相互独立,
且P(A)==,P(B)==.
所以取出的4个球均为黑球的概率为
P(AB)=P(A)·P(B)=×=.
(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件C,“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C,D互斥,
且P(C)=·=,
P(D)=·=.
所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
P(C+D)=P(C)+P(D)=+=.
19．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面，，为中点，且.
(1)求；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据可求得，即为长；
（2）利用二面角的向量求法直接求解即可.
【详解】（1）由题意平面，为矩形，
故可以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
，，解得：，即，
.
（2）由（1）知，，，，，
，
设平面AMP的法向量为，
则，
令，得，
设平面BMP的法向量为，则，
令，得，
又，
所以平面与平面夹角的余弦值为
【点睛】20．已知数列的前n项和为，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系，等比数列的通项公式求解，
（2）参变分离后转化为最值问题，由作差法判断数列单调性后求解，
【详解】（1）数列的前n项和为，，，
当时，，则，
而当时，，即得，
因此，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则，
所以数列的通项公式是：
（2）由(1)知，，对任意恒成立
设，则，
当，，单调递减，当，，单调递增，
显然有，则当时， 取得最大值，即最大值是，
因此，，所以实数k的取值范围是
21．已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设直线与轨迹交于两点，在轨迹上是否存在一点，使得直线与直线的斜率之和与无关，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)动点的轨迹的方程为
(2)时，存在点；时，不存在满足要求的点，理由见解析
【分析】（1）设设点，则，利用数量积，即可求动点的轨迹的方程；
（2）根据（1）中曲线方程设，由直线斜率，可得，设存在点满足要求，通过计算，使其与无关即可确定是否存在这样的点.
【详解】（1）解：设点，则，由得：
，化简得
动点的轨迹的方程为.
（2）解：设，，故
设存在点满足要求，则

设为定值，即，故
因为常量，为变量，故
从而有，代入方程得，于是点为.
当时，直线恰好经过点C，此时点A、B与C重合，故此时结论不成立
综上，当时，不存在满足要求的点；时，存在点
22．已知函数.
(1)讨论函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的最大整数值.
【答案】(1)极大值，无极小值
(2)2
【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对分和两种请假讨论，求出函数的单调区间，即可得到函数的极值；
（2）由（1）可得当时，恒成立，当时，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再由，即可得解；
【详解】（1）解：函数的定义域为，
所以
①当时，函数在上单调递减，函数无极值
②当时，由得
当时，，单调递增，时，，单调递减，
所以有极大值，无极小值；
（2）解：由（1）知：①当时，函数在上单调递减，
当时，成立，
所以当时，由题意不需要考虑，
②当时，，
令，，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴
又，又在上单调递增，
∴的最大整数值为2.