2021-2022学年青海省海东市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年青海省海东市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的四则运算进行展开计算即可选出选项.
【详解】解:原式为
.
故选:A
2．点的极坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直角坐标和极坐标的关系确定的极坐标.
【详解】由题设，且在第四象限，
所以极坐标为.
故选：B
3．关于下面演绎推理：
大前提：指数函数均为单调函数．
小前提：是指数函数．
结论：是单调函数．
下列表述正确的是（ ）
A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误D．此推理结论正确
【答案】B
【分析】判断大前提和小前提的正误后能求出结果．
【详解】解：是幂函数，而非指数函数，
是因为小前提错误导致结论错误．
故选：B．
4．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题知，进而求解虚部即可.
【详解】解：因为，所以，所以的虚部为.
故选：D
5．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据程序框图及其执行逻辑得到周期为3，并求出前3个值，利用周期性确定输出值.
【详解】由题设，且，
时，，
时，，
时，，
…
所以周期为3，而当时输出.
故选：B
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用不等式的性质及对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.
【详解】由，得，则；
由，得，但不能得到
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7．给出下列类比推理命题，其中类比结论正确的是（ ）
A．由“已知a，b为实数，若，则”类比推出“已知a，b为复数，若，则”
B．由“已知a，b，c为实数，若，则”类比推出“已知，，为平面向量，若，则”
C．由“在平面内，若直线a，b，c满足，，则”类比推出“在空间内，若直线a，b，c满足，，则”
D．由“若圆O的半径为r，则圆O的面积为”类比推出“若球O的半径为R，则球O的表面积为”
【答案】B
【分析】A由复数的性质判断；B利用作差法及向量数量积运算律判断；C由线线垂直判断线线位置关系；D根据球体表面积公式判断.
【详解】A：若，则，但不能比大小，错误；
B：由，则，故，正确；
C：空间中，，则可能异面、相交或平行，错误；
D：对于半径为R的球体，其表面积为，错误.
故选：B
8．已知直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角是（ ）
A．10°B．100°C．110°D．170°
【答案】B
【分析】将直线参数化为标准形式即可得出斜率，求出倾斜角.
【详解】因为，
所以直线的斜率为，所以的倾斜角是.
故选：B.
9．已知函数在上有零点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由参变量分离法可知关于的方程在上有解，令，利用导数求出函数的最小值，即为实数的最小值.
【详解】函数在上有零点，
等价于关于的方程在上有解，
即在上有解.
令，则.
由，得；由，得.
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，，
所以，则，
即的最小值为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
10．若复数z满足，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由得到，再将的最大值转化为圆上的点到的距离的最大值，由圆心到的距离加半径求出最大值即可.
【详解】设，则．
因为表示以为圆心，以2为半径的圆，所以可理解为
圆上的点到的距离，最大值为圆心到的距离加半径，即，
故的最大值为．
故选：B.
11．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为，转盘乙得到的数为，构成数对，则所有数对中满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】列举出数对所有可能的结果，并确定满足的数对个数，根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】数对所有可能的结果有：，，，，，，，，，共个；
其中满足的数对有：，，，共个；
所求概率.
故选：C.
12．已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（ ）
A．4B．12C．4或16D．4或12
【答案】A
【分析】利用焦半径将线段比转化，设出直线方程，联立得两根之积，列出方程，求出的值.
【详解】如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.
设，，因为，，
所以.因为，所以，.
设直线的方程为，
联立方程组得，则.
因为，
所以或.
因为，所以，故.
故选：A
二、填空题
13．曲线上任意一点P到直线的距离的最大值为________．
【答案】5
【分析】将曲线、直线化为普通方程，利用点到直线距离求圆上点到直线距离的最大值即可.
【详解】由题设，对应普通方程为，即为圆心，半径为2的圆；
对应普通方程为，
所以到直线的距离为，
故上点到距离的最大值为.
故答案为：5
14．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于_________.
【答案】10
【解析】求得双曲线的，由双曲线的定义可得，代入已知条件解方程即可得到所求值．
【详解】解：双曲线的，
由双曲线的定义可得，
由，可得，
解得舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．
15．已知某商品的广告费（万元）与销售额（万元）之间的数据如下：
根据上表数据可得线性回归方程为,则当投入8万元广告费时,销售额约为_______万元.
【答案】8.64
【分析】根据线性回归方程过点,求出点的坐标,代入回归方程求出后,将代入方程即可.
【详解】解:由题意可得,,
则,解得,
故.
当时,.
故答案为: 8.64
16．小张、小明、小红三人去选报课外社团活动，每人选报的活动不是篮球就是围棋，且每人只能选报其中一种．
①如果小张选报的是篮球，那么小明选报的是围棋．
②小张或小红选报的是篮球，但是不会两人都选报篮球．
③小明和小红不会两人都选报围棋．
同时满足上述三个条件的不同选报方案有________种．
【答案】
【分析】利用假设法，假设小张选报的是篮球，推出矛盾，即可得到小张选报的是围棋，同时得到小红选报的一定是篮球，从而得解；
【详解】解：根据题意，如果小张选报的是篮球，由①可得小明选报的是围棋，
由于③，则小红选报的是篮球，
此时小张和小红选报的都是篮球，与②矛盾，即小张不能选报篮球，故小张选报的是围棋，
故符合题意的选报有小张报围棋，由②知小红选报的一定是篮球，
小明选报篮球或围棋均可，故同时满足①②③三个条件的不同选报方案有2种；
故答案为：．
三、解答题
17．“双十一”发展至今,已经从一个单纯的网络促销活动变成社会经济重大现象级事件.为了了解市民“双十一”期间网购情况,某统计小组从网购的消费者中,随机抽取了当天100名消费者,其中男女各半.若消费者当天消费金额不低于1000元,则称其为网购达人.已知抽取的100名消费者中,网购达人中女性消费者人数是男性消费者人数的2倍,且女性消费者中,网购达人占.
(1)请完成答题卡上的列联表；
(2)能否有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关？
参考公式：,其中
参考数据：
【答案】(1)表格见解析
(2)有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关联.
【分析】(1)根据比例和总人数得出网购达人中男性和女性消费者各多少人,再求出女性消费者中,网购达人的数目,因为消费者中男女各半,补全联表中其他数据即可;
(2)根据(1)中表格数据,计算的值,对应表中的数据,判断是否有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关联即可.
【详解】（1）解:由题意可得女性消费者中,网购达人有人,
非网购达人有人,
则男性消费者中,网购达人有人,
非网购达人有人,
故得列联表如下：
（2）由(1)可得,
则有99%的把握认为是否为网购达人与性别有关联.
18．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于，两点，点，求的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）消去参数得曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式得直线的直角坐标方程.
（2）求出直线的参数方程，再利用参数的几何意义求解作答.
【详解】（1）由消去参数，得，
把代入，得，
所以曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.
（2）依题意，点在直线上，其参数方程为（为参数），
将直线的参数方程代入曲线的普通方程并整理得，
设，对应的参数分别是，，则，，
所以.
19．随着人们生活水平的提高，私家车占比越来越大，汽车使用石油造成的空气污染也日益严重．新能源汽车不仅降低了对石油进口的依赖，也减少了对整个地球环境的污染．某新能源车2016〜2021年销量统计表如下：
通过数据分析得到年份编号x与对应的新能源车销量y（单位：万辆）具有线性相关关系．
(1)求该新能源车销量y（单位：万辆）关于年份编号x的线性回归方程；
(2)根据（1）中的线性回归方程预测2025年和2026年该新能源车销量的平均值．
参考公式：，．
【答案】(1)
(2)万辆
【分析】（1）根据表中数据及参考公式，求出，，进而求得回归直线方程；
（2）将和代入上式的线性回归方程中及平均数的定义即可求解.
【详解】（1）由题意可得，．
，，
则，
从而，
故该新能源车销量y关于年份编号x的线性回归方程为．
（2）当时，；
当时，．
则2025年和2026年该新能源车销量的平均值为万辆．
20．在各边长均不相等的中，内角的对边分别为，且满足．
(1)用分析法证明；
(2)用反证法证明为锐角．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）将所证不等式转化为证明，对已知等式应用基本不等式即可得到结论；
（2）假设，可知；利用余弦定理和基本不等式可得，由此可知假设错误，得到结论.
【详解】（1）要证，只需证：，
为三边，只需证，即证，
即证，又（当且仅当时取等号），
互不相等，成立，.
（2）假设，则；
由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），互不相等，，
，与矛盾，假设不成立，为锐角.
21．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为．
(1)求椭圆C的焦距；
(2)若，求椭圆C的方程．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）设出直线方程，利用点到直线距离公式得到，求出椭圆焦距；
（2）联立直线方程和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据向量的线性关系得到，代入两根之和，两根之积，求出，求出椭圆方程.
【详解】（1）由题意知直线l的方程为．
因为到直线l的距离为，所以，解得：，
所以椭圆C的焦距为2．
（2）由（1）知直线l的方程为，设，，
联立方程组消去x得，
所以，．
因为，所以，
所以，，
消去得，
解得：，从而，
所以椭圆C的方程为．
22．已知函数
(1)当时，求的最大值；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求得函数的最大值；
（2）由参变量分离法可得对任意的恒成立，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为，
则，
由，得；由，得.
则在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为.
（2）解：对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立.
设，其中，则，
由，得；由，得.
则在上单调递增，在上单调递减.
从而，故，即的取值范围是.
3
4
5
6
7
5.2
5.9
6.8
7.1
8
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
网购达人
非网购达人
合计
男性
15
35
50
女性
30
20
50
合计
45
55
100
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份编号x
1
2
3
4
5
6
销量y/万辆
2.7
3.3
3.6
4
4.6
5.2