2021-2022学年上海市宝山中学高二下学期线上期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市宝山中学高二下学期线上期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
【答案】B
【分析】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.
【详解】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线与的斜率相等，则必有直线与平行，故必要性成立；
综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的必要非充分条件.
故选：B
2．设是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．直线C．线段D．射线
【答案】D
【分析】由条件可得，即可得答案．
【详解】因为，所以动点M的轨迹是射线．
故选：D
3．若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解．
【详解】化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，
则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，
圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．
要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，
则|C1C2|或|C1C2|，
即5或5，
解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．
∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．
故选：D．
【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题．
4．已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（ ）
A．B．F为的中点
C．D．
【答案】D
【分析】设出直线的方程，并与抛物线方程联立，求得两点的坐标，根据求得，求得点的坐标，从而确定正确选项.
【详解】依题意，设直线的方程为，
由消去并化简得，
解得，
所以，
所以，A选项正确.
直线的方程为，
令，则，故，
由于，，所以是的中点，B选项正确，
，，
，C选项正确，D选项错误.
故选：D
二、填空题
5．直线x+y+1=0的倾斜角是_____．
【答案】135°
【详解】试题分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1，
∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°．
故答案为135°．
【解析】直线的一般式方程．
6．若双曲线的一个焦点坐标为，实轴长为6，则它的标准方程是_______.
【答案】
【分析】求得，由此求得双曲线的标准方程.
【详解】由于双曲线的一个焦点坐标为，
所以双曲线的焦点在轴上，，
实轴长，，
所以双曲线的标准方程是.
故答案为：
7．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_______；
【答案】
【分析】根据椭圆的焦点在轴上列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以，解得.
故答案为：
8．直线与圆相交于A，B两点，则______．
【答案】6
【分析】利用弦心距、半径与弦长的几何关系，结合点线距离公式即可求弦长.
【详解】由题设，圆心为，则圆心到直线距离为，
又圆的半径为，故.
故答案为：
9．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是_____．
【答案】
【详解】双曲线的渐近线为 的焦点到渐近线距离为.
10．已知直线与，若，则实数a的值为______．
【答案】
【分析】由可得，从而可求出实数a的值
【详解】因为直线与，且，
所以，解得，
故答案为：
11．与直线平行且与它的距离为的直线方程是______；
【答案】或
【分析】设所求直线方程为，根据平行直线间的距离公式列方程，化简求得的值，从而求得正确答案.
【详解】设直线平行的直线方程为，
依题意，解得或，
所以所求直线方程为：或.
故答案为：或
12．已知斜率为2且与圆相切的直线方程是_______；
【答案】或
【分析】设所求直线方程为，根据直线和圆相切列方程，化简求得，进而求得所求直线方程.
【详解】圆，即，
所以圆心为，半径为.
设所求直线方程为，即，
由于直线和圆相切，所以，
解得或，
所以所求直线方程为或.
故答案为：或
13．椭圆的焦点为为椭圆上一点,若,则_________.
【答案】
【解析】根据椭圆定义可得:, ,在三角形中由余弦定理,即可求得答案.
【详解】椭圆
可得:,,.
根据椭圆定义可得:, ,
可得
解得:.
在三角形中由余弦定理:,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了由余弦定理解三角形,解题关键是掌握椭圆基础知识和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
14．已知定点，是圆上的动点，则当取到最大值时，点的坐标为______.
【答案】
【分析】连接和圆心，交圆于点，作出图像.求得直线的方程，联立直线的方程和圆的方程，求得交点的坐标.
【详解】连接和圆心，交圆于点，作出图像如下图所示.此时取得最大值.圆心坐标为，故直线的方程为，即.由解得，（点舍去）.
故填：.
【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，考查直线和圆的交点坐标的求法，考查圆的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
15．一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为_____米（精确到0.01米）.
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，根据题意求得限高.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
依题意抛物线过点，则，
所以抛物线的方程为，
车的截面为矩形，
设，则，
所以米，
即限高为米.
故答案为：
16．如图，F1、F2分别是双曲线C：y2＝1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两点，若，•0，则双曲线C的焦距|F1F2|为_____．
【答案】
【分析】由渐近线方程设A（m，）（m＞0）,根据可得B为（2m﹣c，）,代入渐近线方程可得m,由•0,代入可得,从而求出焦距
【详解】由题,渐近线方程为,
设A（m，）（m＞0）,F2（c，0）,,
因为,所以为的中点,由中点坐标公式可得B为（2m﹣c，）,
代入渐近线方程y,得,解得m,
因为,,
由•0,则,
将m代入,得,解得,
所以
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的应用,考查双曲线焦距,考查运算能力
三、解答题
17．求解下列问题：
(1)已知两点，求线段的中垂线所在直线方程；
(2)已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据中点和斜率求得线段的中垂线所在直线方程.
（2）设，根据直线与两坐标轴所构成的三角形的面积求得，从而求得直线的方程.
【详解】(1)线段中点的坐标为，
线段所在直线的斜率为，
所以线段的中垂线所在直线的斜率为，
所以线段的中垂线所在直线方程为，
即.
(2)设，则直线过点，
所以，
所以直线的方程为：.
18．已知离心率的椭圆：的一个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由离心率求出，再求出，可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，点，，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，然后代入弦长公式可求得参数值得直线方程．
【详解】（1）由题意知，，，∴，，
∴椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，点，，联立方程组，
化简，得.
由已知得，，即，
∴，且，.
∴，
解得，符合题意，
∴直线的方程为或.
【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设出直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得，代入弦长公式求解．
19．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得，则抛物线方程可求；
（2）由（1）求出，的坐标结合，求出的坐标，代入抛物线方程求得值．
【详解】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为，，故直线的方程为，
联立，可得．
，，△，
解得，．
经过抛物线焦点的弦，解得．
抛物线方程为；
（2）由（1）知，，，代入直线，
可求得，，即，，，
，，，，
，，
点在抛物线上，故，
解得：或．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属于中档题．
20．如图:双曲线:的左、右焦点分别为,,过作直线交轴于点.
(1)当直线平行于的一条渐近线时,求点到直线的距离;
(2)当直线的斜率为时,在的右支上是否存在点,满足？若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若直线与交于不同两点、,且上存在一点,满足(其中为坐标原点),求直线的方程.
【答案】（1）（2）在双曲线的右支上不存在点，满足，详见解析（3）
【分析】(1) 双曲线:的左、右焦点分别为,,,,的渐近线方程为,由对称性可知:,根据点到直线的距离公式,即可求得答案;
(2) 直线的斜率为时,的方程为,设右支上的点的坐标为,则,由,得,结合已知,即可求得答案;
(3) 设:,联立与的方程,得,根据韦达定理,结合已知,即可求得答案.
【详解】(1) 双曲线:的左、右焦点分别为,
,,的渐近线方程为,
由对称性可知：,即,
到的距离.
（2）当直线的斜率为时,的方程为,故,
又 ,故,
设右支上的点的坐标为,则,
由,得,即:
由消去
得,
由根与系数的关系知,此方程无正根
在双曲线的右支上不存在点,满足.
（3）设,,则,
由点在曲线上,故①
设:.
联立与的方程,得,
由于与交于不同两点,
,
,
从而①即为,
解得.
即直线的方程为.
【点睛】本题的解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识,考查了分析能力和计算能力.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
21．已知二次曲线的方程：．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若双曲线与直线有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
（3）为正整数，且，是否存在两条曲线，其交点P与点满足，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）时，方程表示椭圆，时，方程表示双曲线；（2）；（3）存在，且或或.
【分析】（1）当且仅当分母都为正，且不相等时，方程表示椭圆；当且仅当分母异号时，方程表示双曲线．
（2）将直线与曲线联立化简得：，利用双曲线与直线有公共点，可确定的范围，从而可求双曲线的实轴，进而可得双曲线方程；
（3）由（1）知，，是椭圆，，，，是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点，从而可求．
【详解】（1）当且仅当时，方程表示椭圆；
当且仅当时，方程表示双曲线．
（2）化简得：
△或所以
双曲线的实轴为，当时，双曲线实轴最长为
此时双曲线方程为
（3）由（1）知，，是椭圆，，，，是双曲线，结合图象的几何性质
任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点
设，，，2，，，6，7，
由椭圆与双曲线定义及；所以
所以这样的，存在，且或或
【点睛】方法点睛：曲线方程的确定可分为两类：若已知曲线类型，则采用待定系数法；若曲线类型未知时，则可利用直接法、定义法、相关点法等求解或者利用分类讨论思想求解.