2022-2023学年四川省达州市开江县讲治中学八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年四川省达州市开江县讲治中学八年级（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题（每小题3分，共18分，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省达州市开江县讲治中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）数，3.14，，，1.732，，，，﹣0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）已知P（﹣4，3），与P关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3）
3．（3分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
4．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是（　　）

A．45° B．50° C．60° D．75°
7．（3分）已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m D．m
8．（3分）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式a﹣2b的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
9．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE长为（　　）

A．4.8 B．5 C．5.8 D．6
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，M在BA的延长线上，PA平分∠MAO，PB平分∠ABO，则∠P的度数是（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°
二、填空题（每小题3分，共18分
11．（3分）　 　，　 　．
12．（3分）点（﹣2，3）在正比例函数y＝kx的直线上，则k＝　 　．
13．（3分）已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么ab的值是　 　．
14．（3分）已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），则二元一次方程组的解是　 　．

15．（3分）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每幅羽毛球拍为x元，每幅乒乓球拍为y元，列二元一次方程组为　 　．
16．（3分）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点且PCBC．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）（1）
（2）．
18．（6分）解方程组：
（1）．
（2）．
19．（6分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝34°，且∠ACD＝47°，求∠3的度数．

20．（6分）随机抽取某城市一年（以365天计）中的30天的日平均气温状况统计如下：温度（℃）
温度（℃）
10
14
18
22
26
30
32
天数
3
5
5
7
6
2
2
请根据上述数据回答下列问题：
（1）估计该城市年平均气温大约是多少？
（2）写出该数据的中位数、众数；
（3）计算该城市一年中约有几天的日平均气温为26℃？
（4）若日平均气温在17℃～23℃为市民“满意温度”，则这组数据中达到市民“满意温度”的有几天？
21．（8分）已知关于x、y的方程组的解x，y都是正数，求m的取值范围．
22．（8分）列方程组解应用题：打折前，买10件A商品和5件B商品共用了400元，买5件A商品和10件B商品共用了350元．
（1）求打折前A商品、B商品每件分别多少钱？
（2）打折后，买100件A商品和100件B商品共用了3800元．比不打折少花多少钱？
23．（10分）A、B两城相距600千米，甲、乙两车从A城出发驶向B城，乙车的速度为75千米/时，甲车先走100千米乙车才出发，甲车到达B卸完货后立即返回A城，如图它们离A城的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求两车相遇时两车距B城多远？
（3）甲车从B城返回A城的过程中，再经过几小时与乙车相距75千米？

24．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝ɑ，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠DAC＝180°．
（1）若α＝46°，求∠ADE的度数；
（2）以AB、AE为边作平行四边形ABFE．
①如图2，若点F恰好落在DE上．求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上．求证：BD＝CF．


25．（12分）如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△AOC＝10．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QAO的面积等于△BOD面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年四川省达州市开江县讲治中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）数，3.14，，，1.732，，，，﹣0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据无理数的定义以及无理数的常见形式判断并选择．初中常见的无理数有三类：①π类；②开方开不尽的数，如；③有规律但无限不循环的数，如0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）．
【解答】解：数，3.14，，，1.732，，，，﹣O.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，
无理数有：数，，，﹣O.1010010001…共计4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数的分类．本题容易出现的错误是把3.14当成π，当成无理数，这是一个有限小数，是一个有理数．
2．（3分）已知P（﹣4，3），与P关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3）
【分析】P点关于x轴对称的点，根据点的对称规律，可知对称点为（﹣4，﹣3）．
【解答】解：根据题意，点P（﹣4，3）关于x轴对称的点为（﹣4，﹣3）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了点关于坐标轴的对称问题；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变号；
3．（3分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（　　）
A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、22+32≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、42+52≠62，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、52+112≠122，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、82+152＝172，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵，
∴选择甲参赛，
故选：A．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
5．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；
B、没有意义，故B选项错误；
C、正确；
D、不是同类二次根式，不能合并，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确理解同类二次根式的定义是关键．
6．（3分）将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是（　　）

A．45° B．50° C．60° D．75°
【分析】本题主要根据直角尺各角的度数及三角形内角和定理解答．
【解答】解：∵∠C＝30°，∠DAE＝45°，AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝30°，∠FAD＝45﹣30＝15°，
在△ADF中根据三角形内角和定理得到：∠AFD＝180﹣90﹣15＝75°．
故选：D．
【点评】本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理．
7．（3分）已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　）
A．m B．m C．m D．m
【分析】根据一次函数的性质解题，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么k＜0．
【解答】解：函数值y随自变量x的增大而减小，那么1+2m＜0，
解得m．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小是解题的关键．
8．（3分）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式a﹣2b的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
【分析】将代入原方程组，可得出关于a，b的二元一次方程组，利用①﹣②，可求出代数式a﹣2b的值．
【解答】解：将代入原方程组得，
①﹣②得：a﹣2b＝2，
∴代数式a﹣2b的值是2．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
9．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE长为（　　）

A．4.8 B．5 C．5.8 D．6
【分析】设DE＝EB＝x，在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形EFCD是由四边形EFCB翻折得到，
∴可以假设DE＝EB＝x，
在Rt△ADE中，∵∠A＝90°，AD＝4，DE＝x，AE＝10﹣x，
∴x2＝42+（10﹣x）2，
∴x＝5.8．
∴DE＝5.8，
故选：C．

【点评】本题考查翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，M在BA的延长线上，PA平分∠MAO，PB平分∠ABO，则∠P的度数是（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO＝90°、∠AOB＝90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠AOB＝90°．
∵PA平分∠MAO，
∴∠PAO∠OAM（180°﹣∠OAB）．
∵PB平分∠ABO，
∴∠ABP∠ABO，
∴∠P＝180°﹣∠PAO﹣∠OAB﹣∠ABP＝180°（180°﹣∠OAB）﹣∠OAB∠ABO＝90°（∠OAB+∠ABO）＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠P＝90°（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键
二、填空题（每小题3分，共18分
11．（3分）　3　，　　．
【分析】依据算术平方根、立方根的定义求解即可．
【解答】解：3．
（）．
故答案为：3；．
【点评】本题主要考查的是算术平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
12．（3分）点（﹣2，3）在正比例函数y＝kx的直线上，则k＝　　．
【分析】直接把点（﹣2，3）代入正比例函数y＝kx，求出k的值即可．
【解答】解：∵点（﹣2，3）在正比例函数y＝kx的直线上，
∴3＝﹣2k，解得k．
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（3分）已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么ab的值是　39　．
【分析】直接利用的取值范围，得出a，b的值，进而求出答案．
【解答】解：∵34，且a是实数的整数部分，b是的小数部分，
∴a＝3，b3，
∴ab＝3×（3）＝39．
故答案为：39．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键．
14．（3分）已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），则二元一次方程组的解是　　．

【分析】函数图象的交点坐标即是方程组的解，有几个交点，就有几组解．
【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），
∴点P（﹣4，﹣2），满足二元一次方程组；
∴方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题不用解答，关键是理解两个函数图象的交点即是两个函数组成方程组的解．
15．（3分）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每幅羽毛球拍为x元，每幅乒乓球拍为y元，列二元一次方程组为　　．
【分析】设每幅羽毛球拍为x元，每幅乒乓球拍为y元，根据购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍共用320元，列方程组即可．
【解答】解：设每幅羽毛球拍为x元，每幅乒乓球拍为y元，
由题意得，．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
16．（3分）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点且PCBC．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是　5cm　．

【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′＝6cm，PCBC，求出PC′6＝4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．
【解答】解：侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′＝3cm，
∵PC′BC′，
∴PC′6＝4cm，
在Rt△AC′P中，
AP2＝AC′2+CP2，
∴AP5．
故答案为：5cm．

【点评】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分）
17．（6分）（1）
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把分子部分合并后进行二次根式的除法运算；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式

＝5；
（2）原式＝32
．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
18．（6分）解方程组：
（1）．
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
②﹣①×2得：13y＝65，
解得：y＝5，
把y＝5代入①得：2x﹣25＝﹣21，
解得：x＝2，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×3+②×2得：13x＝32，
解得：x，
把x代入②得：3y＝13，
解得：y，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（6分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝34°，且∠ACD＝47°，求∠3的度数．

【分析】（1）先根据垂直定义得出∠CDF＝∠EFB＝90°，根据平行线判定可得出CD∥EF，故可得出∠2＝∠BCD，推出∠1＝∠BCD，根据平行线的判定即可得出结论；
（2）先根据CD⊥AB得出∠BDC＝90°，由直角三角形的性质得出∠BCD的度数，故可得出∠ACB的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）DG∥BC．
理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF＝∠EFB＝90°，
∴CD∥EF．
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；

（2）∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°．
∵∠B＝34°，
∴∠BCD＝90°﹣34°＝56°．
∵∠ACD＝47°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝47°+56°＝103°．
∵由（1）知DG∥BC，
∴∠3＝∠ACB＝103°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的判定与性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
20．（6分）随机抽取某城市一年（以365天计）中的30天的日平均气温状况统计如下：温度（℃）
温度（℃）
10
14
18
22
26
30
32
天数
3
5
5
7
6
2
2
请根据上述数据回答下列问题：
（1）估计该城市年平均气温大约是多少？
（2）写出该数据的中位数、众数；
（3）计算该城市一年中约有几天的日平均气温为26℃？
（4）若日平均气温在17℃～23℃为市民“满意温度”，则这组数据中达到市民“满意温度”的有几天？
【分析】（1）先计算样本的平均数，再估计年平均气温；
（2）根据中位数、众数的概念求值；
（3）由图可知，一月有6天温度为26℃，则一年中日平均气温为26℃的天数为6×12天；
（4）读图可知，这组数据中达到市民“满意温度”的天数为5+7．
【解答】解：（1）30天的日平均气温20.8
估计该城市年平均气温大约是20.8℃；

（2）将这组数据按从小到大排列为，由于有30个数，取第15、16位都是22，则中位数为22；
因为22出现的次数最多，则该组数据的众数为22；

（3）一年中日平均气温为26℃的天数为365÷30×6≈73天；

（4）这组数据中达到市民“满意温度”的天数为5+7＝12天．
【点评】此题主要考查学生读图获取信息的能力，以及平均数、众数、中位数的求法．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
21．（8分）已知关于x、y的方程组的解x，y都是正数，求m的取值范围．
【分析】根据解二元一次方程组的方法可以用m的代数式分别表示出x、y，然后根据方程组的解都是正数，从而可以得到m的取值范围．
【解答】解：，
解得，，
∵关于x、y的方程组的解x，y都是正数，
∴，
解得，，
即m的取值范围是．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程组的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．（8分）列方程组解应用题：打折前，买10件A商品和5件B商品共用了400元，买5件A商品和10件B商品共用了350元．
（1）求打折前A商品、B商品每件分别多少钱？
（2）打折后，买100件A商品和100件B商品共用了3800元．比不打折少花多少钱？
【分析】（1）本题的等量关系可表示为：打折前：10件A商品的钱数+5件B商品的钱数＝400元；5件A商品的钱数+10件B商品的钱数＝350元．据此列出方程组求出打折前A商品、B商品每件分别多少钱；
（2）先由（1）得出的打折前A商品、B商品每件分别多少钱计算出买100件A商品和100件B商品共用多少钱与打折后，买100件A商品和100件B商品共用了3800元进行比较．
【解答】（1）解：设打折前A商品每件x元、B商品每件y元，根据题意，得 …（1分）
由题意得（2分）
解之得（3分）
答：打折前A商品每件30元、B商品每件20元．…（4分）
（2）解：打折前，买100件A商品和100件B商品共用：
100×30+100×20＝5000 （元）…（5分）
比不打折少花：5000﹣3800＝1200 （元）…（6分）
答：打折后，买100件A商品和100件B商品比不打折少花1200元．…（7分）
【点评】此题考查的知识点是二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
23．（10分）A、B两城相距600千米，甲、乙两车从A城出发驶向B城，乙车的速度为75千米/时，甲车先走100千米乙车才出发，甲车到达B卸完货后立即返回A城，如图它们离A城的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求两车相遇时两车距B城多远？
（3）甲车从B城返回A城的过程中，再经过几小时与乙车相距75千米？

【分析】（1）根据待定系数法分别求AC、CD、DG的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）计算OE的解析式，与DG的解析式组成方程组解出y＝525，即此时距A城的距离为525千米，所以600﹣525＝75，距B城75千米；
（3）根据OE的解析式与DG的解析式，由两车相距75千米列方程可得结论即可．
【解答】解：（1）设AC的解析式为：y＝kx+b，
把A（0，100）、C（5，600）代入得：，
解得：，
∴AC的解析式为：y＝100x+100（0≤x≤5），
CD的解析式为：y＝600（5＜x＜6），
设DG的解析式为：y＝kx+b，
把D（6，600）、G（14，0）代入得：，
解得，
∴DG的解析式为：y＝﹣75x+1050（6≤x≤14），
∴甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式为：y，
（2）600÷75＝8，
∴E（8，600），
同理求得OE的解析式为：y＝75x，
则，
解得：，
600﹣525＝75，
答：两车相遇时两车距B城75千米；
（3）∵OE的解析式为：y＝75x，
DG的解析式为：y＝﹣75x+1050，
∴﹣75x+1050﹣75x＝75或75x﹣（﹣75x+1050）＝75，
x＝6.5或7.5，
6.5﹣6＝0.5，7.5﹣6＝1.5，
答：再经过0.5小时或1.5小时与乙车相距75千米．

【点评】本题考查了一次函数的运用．关键是读懂题意，正确理解分段函数对应的自变量的取值范围，找到对应一次函数的两个点的坐标，利用待定系数法求解析式．
24．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝ɑ，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠DAC＝180°．
（1）若α＝46°，求∠ADE的度数；
（2）以AB、AE为边作平行四边形ABFE．
①如图2，若点F恰好落在DE上．求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上．求证：BD＝CF．


【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝α，由三角形的内角和可得∠DAE＝2∠ABC＝92°，由等腰三角形的性质可求∠ADE的度数；
（2）①由平行四边形的性质可得AB∥EF，可得∠ABC＝∠EDF＝α，由三角形的内角和定理可求∠EDF+∠ADE＝90°，由等腰三角形的性质可得BD＝CD；
②由平行四边形的性质可得AE∥BF，AE＝BF，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得BF＝AE＝AD＝CD，可证BD＝CF．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠BAC+2×∠ABC＝180°，
∵∠DAE+∠BAC＝180°
∴∠DAE＝2∠ABC＝92°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED44°；
（2）证明：①∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，
∴∠ABC＝∠EDF＝α，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，2∠ABC+∠BAC＝180°，2∠ADE+∠DAE＝180°，
∴∠ABC+∠ADE＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴AD⊥BC，且AB＝AC，
∴BD＝CD；
②∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠EAC＝α，
∵∠DAE＝2∠ABC＝2α，
∴∠DAC＝∠ACB＝α，
∴AD＝CD，且AD＝AE，
∴BF＝AE＝AD＝CD，
∴BD＝CF．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
25．（12分）如图，A，B是分别在x轴上的原点左右侧的点，点P（2，m）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S△AOC＝10．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线AP上是否存在一点Q，使△QAO的面积等于△BOD面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用三角形的面积求出OA，进而确定出点A的坐标，再利用待定系数法求直线AC的解析式，即可得出m的值；
（2）方法1、先设出直线BD解析式，进而得出点B，D坐标，利用两三角形面积相等建立方程即可得出结论；
方法2、设出点B，D坐标，利用点P是BD的中点，利用中点坐标公式求出点B，D坐标，即可得出结论；
（3）先求出三角形BOD的面积，设出点Q坐标，表示出三角形QAO的面积，进而建立方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵C（0，2），
∴OC＝2，
∵S△AOC＝10，
∴OA•OC＝10，
∴OA×2＝10，
∴OA＝10，
∴A（﹣10，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为yx+2，
∵点P（2，m）在直线AC上，
∴m2+2；

（2）方法1、设直线BD的解析式为y＝k'x+b'（k'＜0），
∵P（2，），
∴2k'+b'，
∴b'＝﹣2k，
∴直线BD的解析式为y＝k'x﹣2k'，
令x＝0，
∴y＝﹣2k'，
∴D（0，﹣2k'），
令y＝0，
∴k'x﹣2k'0，
∴x＝2，
∴B'（2），∴OB＝2，
∵S△BOP（2），S△DOP（﹣2k'）×2，
∵S△BOP＝S△DOP，
∴（2）（﹣2k'）×2，
∴k'（舍）或k，
∴直线BD的解析式为yx

方法2、设点D（0，m），B（n，0），
∵S△BOP＝S△DOP，
∴点P（2，）是线段BD的中点，
∴n＝4，m，
∴直线BD的解析式为yx

（3）由（2）知，直线BD的解析式为yx，
∴D（0，），B（4，0），
∴OB＝4，OD，
∴S△BODOB•OD4
由（1）知，A（﹣10，0），直线AC的解析式为yx+2，
设Q（a，a+2），
∴S△QAOOA•|yQ|10×|a+2|＝|a+10|，
∵△QAO的面积等于△BOD面积，
∴|a+10|，
∴a或a，
∴Q（，）或（，）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，中点坐标公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/23 16:48:51；用户：单静怡；邮箱：zhaoxia39@xyh.com；学号：39428212