2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二上学期第一次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知点，则直线的斜率是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【分析】直接根据斜率公式即可求出答案.

【详解】因为点，所以.

故选：D.

2．圆的圆心和半径分别是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.

【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.

故选：D.

3．过点且倾斜角为的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程

【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，

所以直线方程为，即，

故选：D

4．无论实数k取何值，直线都过定点，则该定点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由赋值法求解

【详解】令，解得，则直线过定点．

故选：A

5．已知圆与圆，则两圆的位置关系为（    ）

A．内切 B．外切 C．相交 D．外离

【答案】B

【分析】根据圆的标准方程，得到两圆的圆心和半径，求出圆心距，与半径比较，即可得出结果.

【详解】因为圆的圆心为，半径为；

圆的圆心为，半径为，

因此圆心距为，

所以两圆外切.

故选：B.

【点睛】本题主要考查判断两圆位置关系，属于基础题型.

6．已知直线，，若，则(    )

A． B． C．3 D．－3

【答案】A

【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于－1，据此即可列式求出a的值．

【详解】∵，∴．

故选：A．

7．圆 与直线 的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

【答案】C

【解析】求出圆心到直线的距离，与半径大小作比较，得出位置关系

【详解】圆心为，半径

圆心到直线的距离为

所以直线与圆相离

故选：C

【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．

8．已知实数，满足则的最大值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义求解即可.

【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，

由目标函数的几何意义，平移直线至点时，取得最大值，

所以.

故选：C.

【点睛】本题考查了简单的线性规划，重点考查了作图能力，属中档题.

9．已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出关于x轴的对称点，由两点式方程可求.

【详解】可得关于x轴的对称点为，则在反射光线上，

又反射光线经过点，所以反射光线所在直线的方程为，即.

故选：D.

10．已知圆，圆，M、N分别为圆和上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆的方程求出两圆的圆心坐标和半径，由题意知当三点共线时取到最小值，如图，结合两点求距离公式计算即可.

【详解】由，得，

由，得，

由题意知，当三点共线时，取到最小值，如图，

又，

所以.

故选：A

11．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【解析】根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.

【详解】因为，所以，即，

因为，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立.

故选：D

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

12．已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得直线（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．

【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，

由于直线与x轴的交点为M，

由直线将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，

故0，故点M在射线OA上．

设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，

①若点M和点A重合，如图：

则点N为线段BC的中点，故N（，），

把A、N两点的坐标代入直线，求得a＝b．

②若点M在点O和点A之间，如图：

此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，

即，即 ，可得a0，求得 b，

故有．

③若点M在点A的左侧，

则，由点M的横坐标1，求得b＞a．

设直线和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为，

此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，

即，化简可得 ．

由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．

两边开方可得 1，∴，化简可得，

故有1．

综上可得b的取值范围应是 ，

故选：B．

二、填空题

13．与圆同圆心且过点的圆的方程是_____________．

【答案】

【分析】先求出同心圆的圆心，在利用两点间的距离公式的应用求出所求圆的半径，由此即可求出结果．

【详解】圆，即

所以所求圆的圆心坐标为，半径为

所以圆的方程为．

故答案为：．

14．直线被圆截得的弦长为______________.

【答案】

【解析】先根据题意得圆心为，，进而得圆心到直线的距离为：，再根据几何法即可得.

【详解】解：由题知：圆的圆心为，，

故圆心到直线的距离为：，

所以弦长为：.

故答案为：

【点睛】方法点睛：直线与圆相交，弦长的求解常采用几何法求解.即设圆心到直线的距离为，圆的半径为，弦长为，则.

15．若点M与两个定点，的距离之比为，则点M的轨迹方程为_______．

【答案】.

【分析】设，然后根据题意利用两点间的距离公式列方程化简可得结果.

【详解】设，

因为点M与两个定点，的距离之比为，

所以，

所以，

所以

整理得，

即，

所以点M的轨迹方程为，

故答案为：.

16．已知，为实数，代数式的最小值是______.

【答案】

【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案；

【详解】如图所示，

构造点，，，，

，

分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，，，，，

，

当且仅当，分别为与轴､轴的交点时，等号成立，

故答案为：.

三、解答题

17．已知点，直线．

(1)若直线过点P且与直线l平行，求直线的方程；

(2)若直线过点P且与直线l垂直，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据平行直线可设的方程为，将点代入计算即可；

(2)根据垂直直线可设直线 的方程为，将点代入计算即可.

【详解】（1）已知，则可设直线的方程为，

又过点，所以，解得，

所以直线的方程为．

（2）若，则可设直线 的方程为，

又过点，所以，解得，即直线的方程为．

18．已知点，直线，直线.

(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；

(2)求直线关于直线的对称直线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，

（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程

【详解】（1）设点，则由题意可得，

解得，

所以点B的坐标为，

（2）由，得，所以两直线交于点，

在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则

，解得，即，

所以，

所以直线为，即，

所以直线关于直线的对称直线方程为

19．已知直线经过两点，，圆．

(1)求直线的方程：

(2)设直线与圆交于，两点，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由直线过和两点，根据和的坐标，表示出直线的两点式方程，整理可得直线的方程；

（2）由圆的标准方程找出圆心的坐标及半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理及勾股定理，即可求出的长．

【详解】（1）直线经过两点，，

直线的方程为：，即；

（2）由圆的方程得到圆心，半径，

圆心到直线的距离，

弦长．

20．在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知圆E经过点，且______.

(1)求圆E的一般方程；

(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解，

（2）根据相关点法即可求解轨迹方程.

【详解】（1）方案一：选条件①.

设圆的方程为，

则，解得，

则圆E的方程为.

方案二：选条件②.

直线恒过点.

因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，

所以圆心坐标为，

又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.

方案三：选条件③.

设圆E的方程为.

由题意可得，解得，

则圆E的方程为，即.

（2）设.

因为M为线段AP的中点，所以，

因为点P是圆E上的动点，所以，即，

所以M的轨迹方程为.

21．已知圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为.

(1)当切线的长度为时，求点的坐标.

(2)若的外接圆为圆，试问：当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】(1)或；(2)过定点，定点和.

【分析】(1)由切线的性质可得，列方程求P的坐标；(2)由条件求出圆N的方程，根据恒等式的性质确定圆所过定点.

【详解】(1)由题可知圆的圆心为，半径.

设，因为是圆的一条切线，所以.

在中，，故.

又，

所以，解得或.

所以点的坐标为或.

(2)因为，所以的外接圆圆是以为直径的圆，且的中点坐标为，所以圆的方程为，

即.

由，解得或，

所以圆过定点和.

22．已知圆，圆

(1)若圆、相切，求实数的值；

(2)若圆与直线相交于、N两点，且，求的值.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】(1)根据圆的方程求出两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系计算即可求解；

(2)根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式，结合几何法求弦长计算即可求解.

【详解】（1）已知圆，圆，

圆的圆心为，半径，

圆的圆心，半径为，圆心距，

当两圆外切时，有，

即，解得，

当两圆内切时，有，

即，解得，

故m的取值为或.

（2）因为圆与直线相交于、N两点，且，

而圆心到直线的距离，

有，即，

解得：或.