2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．若直线过两点，则此直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系即得.

【详解】因为直线过点，

所以直线的斜率为，

设倾斜角为，则，又，

解得.

故选：B.

2．已知是四个非零向量，下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．如果，那么 D．如果，那么

【答案】D

【分析】向量除法没有定义判断A，根据数量积的定义判断B，利用特例说明C，根据向量垂直说明D；

【详解】解：因为，，，为四个非零向量，设与的夹角为，

对于A：向量没有除法运算，故无意义，即A错误；

对于B：，所以，故B错误；

对于C：若，，则，，故C错误；

对于D：若，则，故D正确；

故选：D

3．已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据，此时样本的平均数为，方差为，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据平均数和方差的计算公式分别进行分析即可.

【详解】设个数据为，

因为，所以；

又因为，

且，

所以，

故选：C.

4．在一次试验中，随机事件A，B满足，则（    ）

A．事件A，B一定互斥 B．事件A，B一定不互斥

C．事件A，B一定互相独立 D．事件A，B一定不互相独立

【答案】B

【分析】根据互斥事件和独立事件的概率的定义进行判断即可

【详解】若事件A，B为互斥事件，则，与矛盾，所以，

所以事件A，B一定不互斥，所以B正确，A错误，

由题意无法判断是否成立，所以不能判断事件A，B是否互相独立，所以CD错误，

故选：B

5．已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【详解】试题分析：数形结合如上图所示．可得，．要使直线过点，且与线段AB相交，由图象知，．故选A．

【解析】直线相交问题求参数范围．

【方法点睛】对于直线的相交问题，常借助数形结合比较直观的研究相交．但要注意特殊位置，如直线斜率不存在时，直线与线段端点相交时，是否取等号问题等．当然本题也可直接设出直线l和直线AB的方程，然后求出交点横坐标，由横坐标大于等于-3且小于等于2求解即可．注意对比两种方法，感受数形结合的魅力．

6．已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由垂心的定义可知，；根据垂直时斜率乘积为可知，，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果.

【详解】为的垂心    ，

又，

直线斜率存在且，

设，则，解得：    

本题正确选项：

【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系.

7．在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.

【详解】设这个二面角的度数为，

由题意得，

，

，

解得，

∴，

∴这个二面角的度数为，

故选：C.

【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角.

8．如图，已知电路中有个开关，开关闭合的概率为，其它开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设开关闭合为事件，，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.

【详解】设开关闭合为事件，，则事件灯不亮可表示为，由已知，，

∴  ，

∴   事件灯亮的概率，

故选：A.

二、多选题

9．已知，若，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据向量平行，由向量共线定理建立方程组求解即可.

【详解】， ，

，

即，

解得或，

所以或2，

故选：BD

10．已知甲袋中有5个大小､质地相同的球，其中有4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小､质地相同的球，其中有4个红球，2个黑球.下列说法中正确的是（    ）

A．从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率为

B．从乙袋中随机摸出1个球是黑球的概率为

C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为

D．从甲､乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是1红1黑的概率为

【答案】ACD

【分析】根据古典概型概率公式可判断ABC，利用互斥事件求和公式及概率的乘法公式可判断D.

【详解】对选项A，从甲袋中随机摸一个球是红球的概率为，故A对；

对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为，故B错；

对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率，故C对；

对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率，故D对.

故选：ACD.

11．如图，正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．直线到平面的距离为2

B．点到平面的距离为

C．点到直线的距离为

D．点与点到平面的距离相等

【答案】ABC

【分析】根据平面平面，可得线段的长度即为直线到平面的距离，即可判断A；以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算即可判断BCD.

【详解】解：对于A，因为平面平面，平面，

则线段的长度即为直线到平面的距离，

所以直线到平面的距离为2，故A正确；

对于B，如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，

则，

设平面的法向量为，

则有，可取，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为，

所以点到平面的距离为，故B正确；

对于C，，

则，，

所以，故，

所以点到直线的距离为，故C正确；

对于D，，

则，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为，

直线与平面所成角的正弦值为，

所以点到平面的距离为，

点到平面的距离为，

所以点与点到平面的距离不相等，故D错误.

故选：ABC.

12．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，是线段上的动点（不包括端点），若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段的长度可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段长的取值范围．

【详解】解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

设，因为与为异面直线，所以，，，

则，

异面直线与成的角，

，

，，

，解得，

，

线段长的取值范围是．

故选：AB．

三、填空题

13．已知三点三点共线，则实数的值为__________.

【答案】6

【分析】依题意可得，根据斜率公式计算可得.

【详解】解：因为三点共线，

所以，即，解得；

故答案为：

14．若事件A与B相互独立，，则_________．

【答案】

【分析】事件A与B相互独立，则，再结合求解即可.

【详解】因为事件A与B相互独立，，

所以，

所以

故答案为：

【点睛】本题考查和事件的概率公式和独立事件的概率公式，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于熟练掌握相应的公式,即，事件A与B相互独立，则

15．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】依题意可得且与不同向，根据数量积的坐标表示得到不等式，解得即可.

【详解】解：因为与的夹角为锐角，

所以，解得，

当时，此时与共线同向，夹角为，故，

综上可得；

故答案为：

16．已知圆柱中，点在圆上，，，点、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为__________.

【答案】

【分析】取中点，连接、，然后以点为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出直线与平面所成角的正弦值关于的表达式，由此可求得结果.

【详解】取中点，则， 以点为坐标原点，为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、，

，，

设平面的法向量为，

则，取，则，，则，

设，直线的方向向量为，

所以直线与平面所成角的正弦值为，

即直线与平面所成角的正弦值的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知的内角的对边分别为，且.

(1)求角的大小；

(2)若，求的最大值.

【答案】(1)；

(2)4.

【分析】（1）利用正弦定理及和角公式可得，进而即得；

（2）利用余弦定理及基本不等式即得.

【详解】（1），

∴由正弦定理得，

∵，

∴，

又,

，即，

又，

所以；

（2）由余弦定理可得，

所以，

即，当且仅当时，取等号，

所以的最大值为4.

18．如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题.

(1)这一组的频数､频率分别是多少？

(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数；

(3)从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率.

【答案】(1)频数､频率分别是

(2)平均数､众数分别是、；

(3).

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出参数的值，再根据频率、和频数公式计算可得；

（2）由平均数、众数的计算公式计算可得；

（3）首先求出成绩在、的人数，利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质知，，解得，

这一组的频率为，频数为．

（2）解：这次竞赛成绩的平均数为，

这一组的频率最大，人数最多，众数为，

（3）解：样本中成绩在的有人，分别记作、、、，

成绩在的有人，分别记作、，

从这人中选人有、、、、、、、、、、、、、、共个结果，

其中满足两人在同一分数段有、、、、、、共个结果，

故他们在同一分数段的概率.

19．已知数列的前n项和为，，且＝1（，）.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件可判断出数列是等差数列，即可计算的表达式，再根据公式，并结合，即可计算出数列的通项公式；

（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式并进行转化，然后两次运用错位相减法即可计算出前n项和Tn的表达式.

【详解】（1）解：由题意，可知

当n＝1时，，

因为当n≥2时，，

所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列，

故，

所以，，

则当n≥2时，，

因为当n＝1时，a1＝3也满足上式，

所以；

（2）解：由（1），可得

，

则，

，

两式相减，可得，

令，

则，

两式相减，可得

，

所以，

即

，

所以.

20．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是矩形，且，点为棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用坐标法，由题可得平面的一个法向量，然后根据向量的关系即得；

（2）利用坐标法，根据线面角的向量求法即得.

【详解】（1）因为侧棱底面，底面是矩形，

以为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，则

.

记平面的一个法向量为，则，

令，可得，

所以，，

所以平面；

（2）因为，

记平面的一个法向量为，则，

令，可得，

又，

所以，

与平面所成角的正弦值为.

21．如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点.

(1)求二面角的平面角的余弦值；

(2)设是线段上的动点，当与所成角取得最小值时，求线段的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）延长，过点作,垂足为，过点作,垂足为,连接,则是二面角的平面角，再解三角形即得解；

（2）连接,以为原点，由题得,以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出当=时，与所成的角最小，即得解.

【详解】（1）解：

由题得.

所以，所以是钝角.

延长，过点作,垂足为，过点作,垂足为,连接,

则是二面角的平面角.

由题得，

所以，

所以,.

所以二面角的平面角的余弦值为.

（2）解：连接,以为原点，由题得,以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由题得设

即,

因为

所以

令，

令

时，函数单调递增，时，，函数单调递减.

所以当=时，取最大值，此时与所成的角最小，

.

22．已知.

(1)若，解关于的方程；

(2)设，若当时，对任意总有，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2)

【分析】（1）代入可得到，令，则可得分和两种情况进行讨论即可求解；

（2）讨论的最值，原不等式等价为当时，，又，运用换元和函数的单调性，解不等式即可得到所求范围

【详解】（1）由题意知，整理得，

令，则

因为所以二次方程的根为，

当时，，故或；

当时，，故；

综上所述，当时，原方程的根为或；

当时，原方程的根为；

（2）由题意得，

令，则，

，

∴当时，设，则即在递增；

当时，设，则，即在递减；

设，则，即在递增，

对任意总有，等价于当时，即恒成立，

①当时，函数在区间上单调递增，

所以

解得，与矛盾，舍去；

②当时，函数，

（i）当时，，则函数在区间上单调递增，

故

解得，所以；

（ii）当时，，

则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，即，

所以

解得，故此时；

综上所述，数的取值范围为

【点睛】关键点点睛：本题考查可化为二次方程的解，注意运用换元法和分类讨论思想,考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想方法,化简整理的运算求解能力，这道题的关键点是，分和进行讨论的单调性