西安市长安区第一中学2023届高三上学期第二次质量检测数学（文）试卷（PDF版）

参考答案

一、选择题

13.       14.     15.     16.

三、解答题

17．解：（1）设的公差为，则

∴，∵，∴，

∴的通项公式为.

（2）由（1）得，

18.（1）证明：如图，连接OE.

因为底面ABCD是菱形，所以.

又OE为的中位线，所以，从而.

因为，，所以平面POE，

所以.

（2）解：因为PO是等腰三角形PAD的中线，所以，由（1）知，所以平面，.

由题可知点O到平面PBD的距离等于点A到平面PBD距离的一半.

设点A到平面PBD的距离为h，在中，，，，

可求，，

所以.

易求.

由，得，解得.

故点O到平面PBD的距离为.

19.(1)解：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机控”有：100×（0.2+0.05）＝25人，非手机控75人，∴x＝30，y＝45，m＝15，n＝45；

(2)：由（1）可得2×2列联表如下：

所以K2＝≈3.030＜3.841，

所以没有95%把握认为“手机控”与性别有关.

20. (1)

(2) 由题意得直线l的方程为：，与椭圆方程联立可得

整理得，

设，则①，②，（8分）

又(−2,0)，所以直线的方程为，令，解得，

同理可得，，

设.因为，所以=3，，

将①②代入上式并化简可得，所以，故，为定值．

21. 解：（1）

当时， 当时，

单调递增 

当时在单调递减，在单调递增

当时，单调递减

综上所述：时，

时，

时，

（2）由（1）知,当

且时,,即,

要证不等式,只需证明,

只需证明,只需证,

设,则,

所以当时,恒成立,故在上单调递增,

又．恒成立,原不等式成立．

22．解（1）依题意：圆的半径，

所以，圆的标准方程为：，得，

由，，，

得的极坐标方程为，

由，得的普通方程为；

（2）由（1）知的极坐标方程为，

的普通方程为，

将代入得，.

设，

则到的距离（其中）,

，当时，等号成立，

23. 解析（1）函数，当时，，

所以.

（2）证明：因为，所以，

所以，

所以，故