第5讲 常规应用题问题综合（讲义）人教版六年级下册数学

第6讲  小升初专项复习（2）

——常规应用题问题综合

思维启航

一、训练目标

知识传递：掌握常规应用题的基本数量关系，并能运用数量关系解答一些常规问题。

能力强化：分析能力、观察能力、作图能力、转化能力、推算能力、综合能力。

思想方法：图形思想、假设思想、循环思想、对比思想、对应思想、代入思想、恒等思想。

二、知识与方法归纳

1.求平均问题解法要点

(1)已知总数求平均值:总数÷总份数=平均值

(2)已知平均值，求总数:平均值×总份数=总数

2.归一问题： 求单一量一般用的关系式:总数量÷计算单位的个数=单一量

有些归一问题，用除法不能求得单一量，需用乘法。

3.和倍问题解法要点：

两数和÷(倍数+I)=小数(1倍数)

小数(1倍数)×倍数=大数      或和-小数(1倍数)=大数(几倍数)

4.差倍问题解法要点

两数差÷(倍数-1)=小数(1倍数)

小数(1倍数)×倍数=大数      或小数(1倍数)+差=大数

5.和差问题解法要点

(两数和+两数差)÷2=大数      大数一差=小数

或(两数和-两数差)÷2=小数      小数+差=大数

6.盈亏问题解法要点

一盈一亏  (盈数+亏数)÷两次分置数量的差=人数

双亏类    (大亏一小亏)÷两次分配数量的差=人数

双盈类    (大盈一小盈)÷两次分配数量的差=人数

7. 植树问题：分为不封闭型和封闭型两种情况。

（1）首先，我们要弄清植树问题中的3个主要概念：

总距离：植树路线的全长；

棵距：两棵树之间的距离；（也称“间隔长”或“株距”）

棵数：植树的总棵数。

（2）不封闭型（如：一条直线、折线、半圆等）：

棵数 = 段数 + 1 = 总距离÷棵距 + 1

（3）封闭型（如：圆、长方形、正方形、闭合曲线等）：

棵数 = 段数 = 总距离÷棵距

8.年龄问题

特点：两个不同年龄的人，年龄差始终不变，年龄的倍数关系却年年不同。

解决关键：抓“变”与“不变”：“变”的是倍数关系，“不变”的是年龄差解决方法：合理利用“和差倍”问题的方法，画图法。

9.鸡兔同笼问题

鸡数=(兔脚数×总头数－总脚数)÷(兔脚数－鸡脚数)

兔数=总头数一鸡数或

兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数－鸡脚数)

10.还原问题：

已知某个数经过加、减、乘、除等运算后所得的结果，反求原数，叫做还原问题。还原问题又叫逆运算问题。解答时，通常利用加与减、乘与除互为逆运算的关系，根据题意的叙述顺序由后向前逆推运算。

解答方法：一是倒推还原；二是图表还原。

11.页码问题：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9是构成十进制数的“零件”。

由一个数字编写的页码是第1页到第9页，共需用到9个数字，

列式是：1×9 = 9

由两个数字编写的页码是第10页到第99页，共需用到180个数字，

列式是：2×(99-10+1)=180。

由三个数字编写的页码是第100页到第999页，共需用到2700个数字，

列式是：3×(999-100+1)=2700。

……依次可类推出其他情况。

页码问题的数学题主要有四类：

（1）知道一本书的页码，求共用了多少个数字；

（2）知道一本书共用了多少个数字编页码，求这本书的页数；

（3）考察页码数的加减是否有误；

（4）考察页码数中出现某特定数字的页数或次数；

12.周期问题：与周期有关的数学问题叫周期问题。

解答关键是发现周期现象和利用周期。

要抓住两点：（1）根据规律，确定周期；

（2）把问题和某一周期的变化相对应，以解决问题。

解决周期问题的步骤：

第一步：确定周期；第二步：有余除法；第三步：看余数。

13.方阵问题

（1）方阵不论那一层，每边的人（或物）数量都相同，每向里一层，每边的人数就减少2。

（2）每边人（或物）数和四周的关系：四周人数=（每边人数-1）×4

                                   每边人数=四周人数÷4+1

（3）中实心方阵的总人数=外层每边人数×外层每边人数

14.牛吃草问题：牛顿问题又称牛吃草问题。因为草每天都在生长，草的数量是不断变化，所以解这类工作总量在均匀变化的问题的关键，就是要想办法从变化中找到不变的量，这样问题就容易解决了。

核心方法：（1）抓不变量；（2）假设法；（3）方程思想。

假设法解答牛吃草问题（四步）：①假设；②新增量；③原有量；④得结果。

思维进阶

例1.填空：

①     一座大桥长500米，若在桥的两边每隔50米安装电杆，从头到尾一共要安装（        ）个电线杆。（植树问题）

②     把化成小数后，其小数点后面第2017位小数是（        ），这2017个数字之和是（        ）。（周期问题）

③     有一条铁丝，第一次剪下它的又1米；第二次剪下剩下的又1米；此时还剩下15米。这条铁丝原来长（        ）米。（还原问题）

④     明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层每边有（        ）个棋子，最里面一层共有（        ）个棋子。（方阵问题）

⑤     给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。有（        ）个小朋友，有（        ）个苹果。（盈亏问题）

例2.两数相除，商3余10，被除数，除数，余数、商的和是163，那么被除数是多少？（和差倍问题）

例3.六年级同学参加植树活动，一共植了540棵树，这样算下来刚好平均每人植树6棵。如果将男女生分开计算，那么男生刚好平均每人植树7棵，女生刚好每人植树4棵，六年级男生有多少人？（平均数、鸡兔同笼）

例4.给一本书编上页码需要366个数字，那么这本书一共有多少页？这本书的页码中，数字1出现了多少次？（页码问题）

例5.5个工人要加工735个零件。前2天加工了135个零件。已知这两天中有1个人因故请加1天。照这样的工作效率，如果以后这几天中无人请假，还要多少天才能完成任务？（归一问题）

例6.（1）一片牧场上的青草到处长势一样。已知70头牛24天把草吃完；30头牛60天把草吃完。如果要96天把草吃完，牛的头数应该是多少？

（2）某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？（牛吃草问题）

思维深化

（训练时间：__________ 满分：120分，训练得分：__________）

1. 计算题。（每小题5分，共20分）

（1）[7.2×（1＋）－8.8]÷（4÷－4）

（2）

（3）(）×（）-（）×

（4）

2.填空题。（每小题6分，共60分）

（1）要砌一个高125厘米的砖垛，每层砖都按下图所示的样子来砌，每块砖的厚度是5厘米，每两块砖之间的灰膏厚1厘米，砌好这个砖垛共需（        ）块砖。

（2）今年儿子的年龄是父亲年龄的，15年后，儿子的年龄是父亲的，今年儿子（        ）岁。

（3）一根木杆，第一次截去了全长的，第二次截去所剩木杆的，第三次截去所剩木杆的，这时量得所剩木杆长为8分米。问：木杆原来长（        ）分米。

（4）一本书共132页，在这本书的页码中，共用了（        ）个数码。

（5） 甲、乙、丙三人一起买了8个面包平均分着吃,甲拿出5个面包的钱,乙付了3个面包的钱,丙没付钱。等吃完结算,丙应付4元钱,那么甲应收回（         ）角钱。

（6）爸爸对儿子说：“当我像你那么大时，你才4岁；当你像我这么大时，我就79岁了。”爸爸现在年龄（        ）岁，儿子现在年龄是（        ）岁。

3.解答题。（每小题10分，共40分）

（1）妈妈给一批上衣缝纽扣，如果每天缝15件，就比规定的工期晚2天完成；如果每天缝18件，就比规定的工期提前3天完成。这批上衣有多少件？

（2）有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元。结果得到运费379.6元，这次搬运中玻璃瓶破损了多少只？

（3）五个数的平均数是30，如果把这5个数从小到大排列，那么前三个数的平均数是25，后三个数的平均数是35。中间那个数是多少？

（4）牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，并且每天新长出的牧草量正好可供8头牛吃一天。如果这片牧场可供32头牛吃18天，那么可供多少头牛吃27天？

思维体操

比赛中的排名问题

汤姆、狄克及亨利一起参加田径比赛，在每一项比赛中只有前3名才获得点数。所有比赛结束时汤姆共得到22点，狄克及亨利皆得到9点，其他的参赛者没有得到任何点数。已知狄克在标枪项目中得到第1名。请问谁在百米竞赛中得到第2名？

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