第9讲 数论综合（讲义）人教版六年级下册数学

第9讲小升初专项复习（6）

——数论综合

思维启航

一、训练目标

知识传递：掌握数论的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。

能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。

思想方法：整除思想、奇偶思想、比较思想、对应思想、恒等思想、同余思想。

二、知识与方法归纳

1．数的整除

（1）熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。

（2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。（4×25=100）

（3）一个数的末三位数能被8或125整除。那么这个数就能被8或125整除。（8×125=1000）

（4）一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。（很常用，请牢记。）（7×11×13=1001）

（5）如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。即如果c︱a，

c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。

（6）如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。

（7）如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。即如果a︱b，b︱c，则a︱c。

（8）如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。

2．奇数和偶数

（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。

（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。

（3）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。

（4）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。

（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。

（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。

     ,；

     。   

（7） 如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。

3.质数与合数

（1）一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。反之，一个数的约数除了1和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫合数。

（2）由于1的约数只有1个，所以1既不是质数，也不是合数。

（3）两个数的公约数只有1，而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。

（4）质数与互质数

　  　这两个概念没有什么联系。两个质数，不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数，才能肯定是互质数。另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不能说两个合数一定不是互质数。

（5）把一个合数分解成几个质数相乘的过程，就叫做分解质因数。

4.公因数和最大公因数

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公因数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。

5.公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。

6.最大公约数与最小公倍数

（1）最大公因数

求两个数的最大公约数一般有以下几种方法：

①分解质因数法

②短除法

③辗转相除法

④小数缩倍法

⑤公式法：a×b = （a,b）×[a,b]，这个公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

（2）最小公倍数

求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种：

①分解质因数法

②短除法

③公式法：a×b=（a,b）×[a,b]，这个公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

④大数翻倍法

思维进阶

例1.有四个小朋友，年龄逐个增加两岁，4个人年龄的乘积是9009，问其中年龄最大的一个是几岁？

例2.要使4个数的乘积135×975×342×（        ）的结果最后5位数字全是0，（        ）内的数最小应是多少？

思维训练1

一个正整数与1080的乘积是一个完全平方数，的最小值与这个完全平方数分别是多少？

例3.求5957与4107的最大公因数。

例4.在2012后面补上3个数字，组成一个七位数，使它能分别被3、4、5整除，这个七位数最大是多少？

思维训练2

一本陈年老账上记着：88只桶，共□67.9□元。这里□处字迹不清。□处数字是多少？桶的单价是多少元？

例5.（1）480有几个因数？

（2）求3715×266+4583×2172-1518×216除以11的余数。

例6.（1）一堆苹果,7个数余6个,9个数余8个,11个数余10个,这堆苹果至少是多少个?

（2）有一堆水果，按3个一堆分多1个，按4个一堆分也多1个，按5个一堆分也多1个。这堆水果至少有多少个？

（3）一个大于1的整数，除300，262，205，得到相同的余数，这个整数是多少？

思维深化

（训练时间：          满分：120分，训练得分：          ）

1.计算题。（每小题5分，共20分）

（1）计算下面各题：

+++++                       1－+－+－

（2）解下列方程：

2.填空题。（每空10分，共60分）

（1）分解质因数：54=（        ）；120=（        ）。

（2）在括号里填上适当的质数：148=（        ）+（        ）+（        ）。

（3）三个连续自然数的积是120，这三个数分别是（        ）、（        ）、（        ）。

（4）一个两位数去除253，得到的余数是43，那么这个两位数是（        ）。

（5）已知六位数33□34□，如果它能被28整除，这个六位数是（        ）。

（6）一堆水果，按3个一堆分少1个，按4个一堆分也少1个，按5个一堆分也少1个。这堆水果至少有（        ）个。

3.解答题。（每小题10分，共40分）

（1）有12张卡片，其中有3张上面写着1，3张写着3，3张写着5，3张写着7.问：能否从中选出5张，使它们上面的数字之和为20？为什么？

（2）现在有100枝玫瑰花，80枝康乃馨和60枝兰花，要配成同样的花束，最多可以配多少束？每束中三种花各有几枝？

（3），积的末尾一共有多少个0？

（4）69，90，125被某个正整数除时，余数相同，试求这个数的最大是多少？

思维体操

猜牌问题

S先生、P先生、Q先生他们知道桌子的抽屉里有16张扑克牌：红桃A、Q、4 黑桃J、8、4、2、7、3 草花K、Q、5、4、6 方块A、5。约翰教授从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉 P先生，把这张牌的花色告诉Q先生。这时，约翰教授问P先生和Q 先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？ 于是，S先生听到如下的对话：

P先生：我不知道这张牌。

Q先生：我知道你不知道这张牌。

P先生：现在我知道这张牌了。

Q先生：我也知道了。

听罢以上的对话，S先生想了一想之后，就正确地推出这张牌是什么牌。

请问：这张牌是什么牌？

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