2022-2023学年重庆市江津区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年重庆市江津区八年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2÷a2＝aB．a2•a3＝a5C．（a3）2＝a5D．（3a2）2＝6a4
4．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，∠AFE＝∠BCD，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．BC＝EFC．∠B＝∠ED．∠A＝∠D
5．（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的内角和一定是180°
B．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
C．任意多边形的外角和都是360°
D．三角形的一个外角的度数等于该三角形两内角度数的和
6．（4分）已知x2+kx+36可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A．±6B．±12C．6D．12
7．（4分）一个凸多边形的内角和与外角和之比为3：2，则这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．（4分）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？设实际每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．3
9．（4分）如图，△ABC中，点D是AC上一点，连接BD，将△ABD沿BD折叠，使点A落在BC边上的点E处，若△CDE的周长为21，AB边的长为6，则△ABC的周长为（ ）
A．27B．30C．33D．36
10．（4分）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点E作EF⊥AB，垂足为F．若∠B＝30°，∠AEF＝52°，则∠CAD的度数为（ ）
A．14°B．15°C．16°D．17°
11．（4分）若整数a满足关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组的解集为y≤2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．5B．8C．9D．12
12．（4分）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比真分数、假分数，我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．假分式也可以化为带分式．如：
；
．
则下列说法中正确的个数是（ ）
①分式是真分式；
②分式是假分式；
③把分式化为带分式的形式为；
④将假分式化为带分式的形式为．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）若分式有意义，则x的取值范围为 ．
14．（4分）分解因式：ax2﹣2axy+ay2＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点A的坐标（0，3），点B的坐标（﹣1，0），则点C的坐标是 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE＝6，∠B＝60°，点P为线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，连接EF＝6，则AB的长为 ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（8分）（1）计算：；
（2）化简：（x+2y）2+（y+3x）（y﹣3x）．
18．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
20．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点F为BC延长线上一点，点E在AC上，且AF＝BE．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）若∠ABE＝23°，求∠BAF的度数．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：做斜边AB的垂直平分线l，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，证明：AD＝2CD．
证明：连接BD，
∵l是AB的垂直平分线，
∴AD＝ ，
∴ ＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝ °，
∵∠C＝90°，
∴＝90°﹣∠BDC＝30°，
∴＝2CD，
∴AD＝2CD．
22．（10分）如图，已知△ABC，
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）已知AB＝5，求△ABC中，AB边上的高．
23．（10分）在全民健身运动中，“万步有约”健步走活动备受市民青睐．元旦节当天，小李和妈妈约定从通泰门出发，沿相同的路线去4公里外的元帅广场，已知妈妈的步行速度是小李的1.6倍．
（1）若小李先出发30分钟，妈妈才从通泰门出发，最终小李和妈妈同时到达元帅广场，则小李步行的速度是每分钟多少米？
（2）粗心的妈妈到达元帅广场后，想起30分钟后公司有一个重要会议要参加，公司距离元帅广场3.8公里，妈妈马上从元帅广场出发赶去公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈想要不迟到，则至少需要跑步多少分钟？
24．（10分）若一个整数能写成a2+b2（a，b都是整数）的形式，则称这个数为“航天数”，例如：因为2＝12+12，所以2是“航天数”，再如T＝m2+2m+1+n2＝（m+1）2+n2（m，n为整数），所以T也是“航天数”．
（1）判断13是否是“航天数”，并说明理由．
（2）若M＝x2+6x+9+4y2+8y+k（x，y都是整数，k为常数），要使M为“航天数”，请求出常数k的值．
（3）若P＝2x2+6x+5是“航天数”，且P＝（x+2）2+A2，求整式A．
25．（10分）（1）【感知】：如图1，点P是∠AOB角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，证明PC＝PD（不需要证明）．
（2）【探究】如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E在AC边上，∠AED+∠B＝180°．
①证明：DB＝DE；
②请判断AB，AE，CE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展】如图3，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BAC＝80°，请直接写出∠CAP的度数．
2022-2023学年重庆市江津区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．（4分）下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（4分）长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，再结合选项即可求解．
【解答】解：∵3＜a＜7，
∴a的可能取值是5，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2÷a2＝aB．a2•a3＝a5C．（a3）2＝a5D．（3a2）2＝6a4
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方与积的乘方进行计算，然后逐一进行判断即可．
【解答】解：A、计算结果应该等于1，故本选项错误；
B、计算正确，故本选项正确；
C、计算结果应该是a6，故本选项错误；
D、计算结果应该是9a4，故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，除法，幂的乘方与积的乘方．注意掌握运算法则是解此题的关键．
4．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，∠AFE＝∠BCD，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．BC＝EFC．∠B＝∠ED．∠A＝∠D
【分析】根据AF＝DC求出AC＝DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，
即AC＝DF，
∵∠AFE＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠DFE，
A．AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠FDE，不符合全等三角形的判定定理SAS，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
B．BC＝EF，∠ACB＝∠FDE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△DEF，故本选不项符合题意；
C．∠B＝∠E，∠ACB＝∠FDE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，∠A＝∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
5．（4分）下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的内角和一定是180°
B．三角形的中线、角平分线、高线都是线段
C．任意多边形的外角和都是360°
D．三角形的一个外角的度数等于该三角形两内角度数的和
【分析】根据三角形的相关知识，可以判断各个选项中的命题是真命题还是假命题，从而可以解答本题．
【解答】解：三角形的内角和一定是180°，故选项A是真命题，不符合题意；
三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故选项B是真命题，不符合题意；
任意多边形的外角和都是360°，故选项C是真命题，不符合题意；
三角形的一个外角的度数等于该三角形和这个外角不相邻的两内角度数的和，故选项D是假命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，三角形内角和，三角形的外角，三角形的中线、角平分线、高线，多边形的外角和，熟知这些知识是解答本题的关键．
6．（4分）已知x2+kx+36可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A．±6B．±12C．6D．12
【分析】利用完全平方公式可得结论．
【解答】解：∵x2±12x+36＝（x±6）2，
∴k＝±12．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
7．（4分）一个凸多边形的内角和与外角和之比为3：2，则这个多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°，由此即可计算．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：（n﹣2）•180°：360°＝3：2，
∴n＝5，
故选：A．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握：多边形内角和定理，多边形的外角和等于360°．
8．（4分）施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？设实际每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．3
【分析】设实际每天施工x米，原来计划每天施工（x﹣50）米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划少用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设实际每天施工x米，原来计划每天施工（x﹣50）米，
依题意，得：3．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9．（4分）如图，△ABC中，点D是AC上一点，连接BD，将△ABD沿BD折叠，使点A落在BC边上的点E处，若△CDE的周长为21，AB边的长为6，则△ABC的周长为（ ）
A．27B．30C．33D．36
【分析】由折叠的性质得EB＝AB＝6，ED＝AD，由△CDE的周长为21，得ED+CD+CE＝21，可求得AC+CE＝21，则AB+AC+BC＝AB+AC+CE+EB＝33，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵将△ABD沿BD折叠，点A落在BC边上的点E处，
∴EB＝AB＝6，ED＝AD，
∵△CDE的周长为21，
∴ED+CD+CE＝21，
∴AD+CD+CE＝21，
∴AC+CE＝21，
∴AB+AC+BC＝AB+AC+CE+EB＝6+21+6＝33，
∴△ABC的周长为33，
故选：C．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、根据转化思想求三角形的周长等知识与方法，将△CDE的周长转化为AC+CE、将△ABC的周长转化为AB+AC+CE+EB是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点E作EF⊥AB，垂足为F．若∠B＝30°，∠AEF＝52°，则∠CAD的度数为（ ）
A．14°B．15°C．16°D．17°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAE∠EAD的度数，再利用角平分线的定义得出∠CAE＝∠BAE＝38°，再根据角的和差关系可得答案．
【解答】解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠BEF＝60°，
∴∠AEB＝60°+52°＝112°，
∴∠BAE＝180°﹣30°﹣112°＝38°，∠EAD＝112°＝90°＝22°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE＝38°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝38°﹣22°＝16°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
11．（4分）若整数a满足关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组的解集为y≤2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．5B．8C．9D．12
【分析】解分式方程，根据解是非负整数解，且不是增根，化简一元一次不等式组，根据解集为y≤2得到a的取值范围，得到a的最终范围，这个范围内能使y是整数的a确定出来求和即可．
【解答】解：分式方程两边都乘以（x﹣1）得：x+2﹣a＝3x﹣3，
解得x，
∵分式方程有非负整数解，且x﹣1≠0，
∴0且1，
解得：a≤5且a≠3，
解不等式组得到：，
∵不等式组的解集为y≤2，
∴2a+6≥2，
∴a≥﹣2，
∴﹣2≤a≤5且a≠3，
∴符合条件的整数a的值为：﹣1，1，5，
∴和为5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．
12．（4分）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比真分数、假分数，我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．假分式也可以化为带分式．如：
；
．
则下列说法中正确的个数是（ ）
①分式是真分式；
②分式是假分式；
③把分式化为带分式的形式为；
④将假分式化为带分式的形式为．
A．1B．2C．3D．4
【分析】①②认真读懂题意，利用题中给出的定义判断；③④依据题意化简即可．
【解答】解：分式的分子的次数（次数是0）小于分母的次数（次数是1），是真分式，故①正确；
分式的分子的次数（次数是2）大于分母的次数（次数是1），是假分式，故②正确；


＝2，故③正确；



＝3（x+1），故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的定义和分式的化简，能理解真分式、假分式的定义是解此题的关键．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．（4分）若分式有意义，则x的取值范围为 x≠2 ．
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
14．（4分）分解因式：ax2﹣2axy+ay2＝ a（x﹣y）2 ．
【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：ax2﹣2axy+ay2，
＝a（x2﹣2xy+y2），
＝a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点A的坐标（0，3），点B的坐标（﹣1，0），则点C的坐标是 （3，2） ．
【分析】由“AAS”可证△ABO≌△CAH，可得AH＝BO＝1，AO＝CH＝3，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AO于点H，
∴∠AHC＝∠BAC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°＝∠BAO+∠CAH，
∴∠ABO＝∠CAH，
∵点A的坐标（0，3），点B的坐标（﹣1，0），
∴AO＝3，OB＝1，
在△ABO和△CAH中，
，
∴△ABO≌△CAH（AAS），
∴AH＝BO＝1，AO＝CH＝3，
∴HO＝2，
∴点C（3，2），
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE＝6，∠B＝60°，点P为线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，连接EF＝6，则AB的长为 18 ．
【分析】作E关于AC的对称点E'，过E'作E'F⊥AB于F，交AC于P，由垂线段最短知E'F⊥AB时，PE+PF最小，根据BE＝EF＝6，∠B＝60°，知△BEF是等边三角形，可得∠EE'F＝∠BEF﹣∠EFE'＝30°＝∠EFE'，从而CEEE'＝3，BC＝BE+CE＝9，即可得AB＝2BC＝18．
【解答】解：作E关于AC的对称点E'，过E'作E'F⊥AB于F，交AC于P，如图：
∵E关于AC的对称点为E'，∠ACB＝90°，
∴E'在EC的延长线上，PE+PF＝PE'+PF，
由垂线段最短知E'F⊥AB时，PE+PF最小，
∵BE＝EF＝6，∠B＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠EFE'＝∠BFE'﹣∠BFE'＝30°，
∴∠EE'F＝∠BEF﹣∠EFE'＝30°＝∠EFE'，
∴EF＝EE'＝6，
∴CEEE'＝3，
∴BC＝BE+CE＝6+3＝9，
在Rt△ABC中，AB＝2BC＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，涉及等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握含30°的直角三角形三边的关系．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（8分）（1）计算：；
（2）化简：（x+2y）2+（y+3x）（y﹣3x）．
【分析】（1）根据零次幂，负整数指数幂以及绝对值的定义进行计算即可；
（2）利用完全平方公式、平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣2
＝2；
（2）原式＝x2+4xy+4y2+y2﹣9x2
＝﹣8x2+4xy+5y2．
【点评】本题考查零次幂、负整数指数幂以及完全平方公式、平方差公式，掌握零次幂、负整数指数幂以及完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
18．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：（1），
方程两边乘以x（x﹣2），得
2x＝x﹣2，
解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x（x﹣2）≠0，
∴原分式方程的解为x＝﹣2；
（2），
方程两边乘以（x+2）（x﹣2），得
x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝6，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴原分式方程的解为x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：


，
当x＝﹣1时，
原式
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点F为BC延长线上一点，点E在AC上，且AF＝BE．
（1）求证：△ACF≌△BCE；
（2）若∠ABE＝23°，求∠BAF的度数．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△BCE≌Rt△ACF；
（2）由等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°，由全等三角形的性质可得∠CAF＝∠CBE＝22°，即可求解．
【解答】（1）证明：在Rt△BCE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△ACF（HL）；
（2）解：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠ABE＝23°，
∴∠CBE＝22°，
∵Rt△BCE≌Rt△ACF，
∴∠CAF＝∠CBE＝22°，
∴∠BAF＝67°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：做斜边AB的垂直平分线l，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，证明：AD＝2CD．
证明：连接BD，
∵l是AB的垂直平分线，
∴AD＝ BD ，
∴ ∠ABD ＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝ 60 °，
∵∠C＝90°，
∴＝90°﹣∠BDC＝30°，
∴＝2CD，
∴AD＝2CD．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：直线l即为所求；
（2）证明：连接BD，
∵l是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝60°，
∵∠C＝90°，
∴＝90°﹣∠BDC＝30°，
∴＝2CD，
∴AD＝2CD．
故答案为：AD，∠ABD，60．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质与作法是解题关键．
22．（10分）如图，已知△ABC，
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）已知AB＝5，求△ABC中，AB边上的高．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据割补法求解即可；
（3）设AB边上的高为h，根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）S5；
（3）设AB边上的高为h，
则5，
即5，
∴h＝2，
即AB边上的高为2．
【点评】本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
23．（10分）在全民健身运动中，“万步有约”健步走活动备受市民青睐．元旦节当天，小李和妈妈约定从通泰门出发，沿相同的路线去4公里外的元帅广场，已知妈妈的步行速度是小李的1.6倍．
（1）若小李先出发30分钟，妈妈才从通泰门出发，最终小李和妈妈同时到达元帅广场，则小李步行的速度是每分钟多少米？
（2）粗心的妈妈到达元帅广场后，想起30分钟后公司有一个重要会议要参加，公司距离元帅广场3.8公里，妈妈马上从元帅广场出发赶去公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈想要不迟到，则至少需要跑步多少分钟？
【分析】（1）设小李步行的速度是每分钟x米，则妈妈步行的速度是每分钟1.6x米，根据“小李先出发30分钟，最终小李和妈妈同时到达元帅广场”列出方程并解答；
（2）设丙的攀登速度为y米/分，根据“比丙晚出发1小时，结果两人同时到达顶峰”列出方程并解答．
【解答】解：（1）4公里＝4000米，
设小李步行的速度是每分钟x米，则妈妈步行的速度是每分钟1.6x米，依题意有：
30，
解得x＝50，
检验：x＝50是原分式方程的解．
故小李步行的速度是每分钟50米；
（2）1.6x＝1.6×50＝80，
3.8公里＝3800米，
设需要跑步y分钟，依题意有：
150y+80（30﹣y）≥3800，
解得y≥20．
故至少需要跑步20分钟．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
24．（10分）若一个整数能写成a2+b2（a，b都是整数）的形式，则称这个数为“航天数”，例如：因为2＝12+12，所以2是“航天数”，再如T＝m2+2m+1+n2＝（m+1）2+n2（m，n为整数），所以T也是“航天数”．
（1）判断13是否是“航天数”，并说明理由．
（2）若M＝x2+6x+9+4y2+8y+k（x，y都是整数，k为常数），要使M为“航天数”，请求出常数k的值．
（3）若P＝2x2+6x+5是“航天数”，且P＝（x+2）2+A2，求整式A．
【分析】（1）利用“航天数”的定义判断；
（2）把M写成“航天数”的形式，求出k的值；
（3）把整式整理成符合“航天数”的形式，求出整式A．
【解答】解：（1）∵13＝22+32，
∴13是“航天数”；
（2）∵M＝x2+6x+9+4y2+8y+k，
∴M＝（x+3）2+（2y+2）2﹣4+k，
∵M为“航天数”，
∴﹣4+k＝0，
∴k＝4；
（3）∵P＝2x2+6x+5是“航天数”，P＝（x+2）2+A2，
∴A2＝2x2+6x+5﹣（x+2）2，
∴A2＝2x2+6x+5﹣x2﹣4x﹣4＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴A＝x+1．
【点评】本题考查了有理数运算的新定义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题．
25．（10分）（1）【感知】：如图1，点P是∠AOB角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，证明PC＝PD（不需要证明）．
（2）【探究】如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E在AC边上，∠AED+∠B＝180°．
①证明：DB＝DE；
②请判断AB，AE，CE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展】如图3，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BAC＝80°，请直接写出∠CAP的度数．
【分析】（2）①过D作DF⊥AB于F，用AAS可证△DCE≌△DFB，从而DE＝DB；
②由①知△DCE≌△DFB，得CE＝BF，用AAS证明△ACD≌△AFD可得AF＝AC，即可得AB＝（AE+CE）+CE＝AE+2CE；
（3）过P作PH⊥BA交BA延长线于H，PG⊥AC于G，PK⊥CD于K，证明PG＝PK＝PH，可得AP平分∠HAC，而∠HAC＝180°﹣∠BAC＝100°，故∠CAP＝50°．
【解答】（2）①证明：过D作DF⊥AB于F，如图：
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴CD＝FD，∠DFB＝∠C＝90°，
∵∠AED+∠B＝180°，且∠AED+∠DEC＝180°．
∴∠B＝∠DEC，
在△DCE和△DFB中，
，
∴△DCE≌△DFB（AAS），
∴DE＝DB；
②解：AB，AE，CE之间的数量关系为AB＝AE+2CE，理由如下：
由①知△DCE≌△DFB，
∴CE＝BF，
∵∠C＝90°，DF⊥AB，
∴∠ACD＝∠AFD＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AFD（AAS），
∴AF＝AC，
∵AB＝AF+BF，
∴AB＝AC+CE
∵AC＝AE+CE，
∴AB＝（AE+CE）+CE＝AE+2CE；
（3）解：过P作PH⊥BA交BA延长线于H，PG⊥AC于G，PK⊥CD于K，如图：
∵CP平分∠ACD，PG⊥AC，PK⊥CD，
∴PG＝PK，
∵BP平分∠ABC，PK⊥CD，PH⊥BA，
∴PK＝PH，
∴PG＝PH，
∴AP平分∠HAC，
∴∠CAP∠HAC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠HAC＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠CAP＝50°．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质和全等三角形的判定定理．
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