天津市河西区培杰中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)

2022-2023学年天津市河西区培杰中学九年级（上）期末数学试卷

一、单选题（每题3分，共36分）

1．（3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

2．（3分）用配方法解方程时，原方程变形为　　

A． B． C． D．

3．（3分）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程　　

A． B． C． D．

4．（3分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

5．（3分）如图，将钝角绕点按逆时针方向旋转，得到△，连接，若，则的大小为　　

A． B． C． D．

6．（3分）已知的半径为，点在上，则的长为　　

A． B． C． D．

7．（3分）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径　　

A．5米 B．米 C．6米 D．米

8．（3分）如图，是的直径，，，则的度数是　　

A． B． C． D．

9．（3分）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

10．（3分）如图，一个亭子的地基是半径为的正六边形，则该正六边形地基的面积是　　

A． B． C． D．

11．（3分）已知二次函数，当，下列说法正确的是　　

A．有最小值11 B．有最小值3 C．有最小值2 D．有最大值3

12．（3分）如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若，是抛物线上两点，则；④，其中正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（每题3分，共18分）

13．（3分）点关于原点的对称点的坐标为 　　．

14．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球、2个白球和3个黄球，若从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是 　　．

15．（3分）已知扇形的半径是，面积是，那么扇形的圆心角是 　　度．

16．（3分）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 　　．

17．（3分）如图，在中，内切与边相切于点，，，，则的长是 　　．

18．（3分）如图，正方形的边长为6，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当点运动时，线段的最大值为 　　．

三、解答题（19-25共66分）

19．（8分）解方程：

（1）；

（2）．

20．（8分）某市有、、、、五个景区．若甲从、、三个景区中任选一个游玩，乙从、、三个景区中任选一个游玩，求甲、乙恰好游玩同一景区的概率．

21．（10分）如图，是的外接圆，切于点，与直径的延长线相交于点．

（Ⅰ）如图①，若，求的大小；

（Ⅱ）如图②，若，求的大小．

22．（10分）如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

23．（10分）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为．

（1）当为何值时，的长度等于；

（2）求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？

24．（10分）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，将绕点沿顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别为，．

（1）如图①，求点的坐标，填写下空：

过点作于点，依题意得

在中，

在中，

　　，　　

点的坐标是　　，　　

（2）如图②，当时，与轴交于点，求旋转角的大小和点的坐标；

（3）点不变，当时，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，抛物线的顶点在折线上运动．

（1）当点在线段上运动时，抛物线与轴交点坐标为．

①用含的代数式表示，

②求的取值范围．

（2）当抛物线经过点时，求抛物线所对应的函数表达式；

（3）当抛物线与的边有三个公共点时，直接写出点的坐标．

2022-2023学年天津市河西区培杰中学九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（每题3分，共36分）

1．（3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

△且，

解得且，

故选：．

2．（3分）用配方法解方程时，原方程变形为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

．

故选：．

3．（3分）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程　　

A． B． C． D．

【解答】解：设每轮传染中平均1个人感染人，

根据题意可得：，

故选：．

4．（3分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

、既是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：．

5．（3分）如图，将钝角绕点按逆时针方向旋转，得到△，连接，若，则的大小为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由旋转的性质可得，，

，

，

，

，故正确．

故选：．

6．（3分）已知的半径为，点在上，则的长为　　

A． B． C． D．

【解答】解：点在上，

，

故选：．

7．（3分）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径　　

A．5米 B．米 C．6米 D．米

【解答】解：设的半径是米，

，

（米，

，

，

，

的半径是5米．

故选：．

8．（3分）如图，是的直径，，，则的度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，，，

，

．

又，

，

．

故选：．

9．（3分）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接，

点为劣弧的中点，，

，

为的直径，

，

，

故选：．

10．（3分）如图，一个亭子的地基是半径为的正六边形，则该正六边形地基的面积是　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，连接，，则，

六边形是正六边形，

，

是等边三角形，

，，

．

故选：．

11．（3分）已知二次函数，当，下列说法正确的是　　

A．有最小值11 B．有最小值3 C．有最小值2 D．有最大值3

【解答】解：二次函数，

该函数的对称轴是直线，函数图象开口向上，

在的取值范围内，当时取得最大值11，当时，取得最小值2，

故选：．

12．（3分）如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若，是抛物线上两点，则；④，其中正确的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：抛物线开口向上，

，

抛物线对称轴为直线，

，则，所以②正确；

抛物线与轴的交点在轴下方，

，

，所以①正确；

点离对称轴的距离与点离对称轴的距离相等，

，所以③正确；

时，，

，所以④错误．

故选：．

二、填空题（每题3分，共18分）

13．（3分）点关于原点的对称点的坐标为 　　．

【解答】解：点关于原点的对称点的坐标为，

故答案为：．

14．（3分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球、2个白球和3个黄球，若从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是 　　．

【解答】解：根据题意，布袋中装有6个球，其中2个白球，

则摸出的球是白球的概率是．

故答案为：．

15．（3分）已知扇形的半径是，面积是，那么扇形的圆心角是 　120　度．

【解答】解：根据，

即

解得．

所以扇形的圆心角为．

故答案为：．

16．（3分）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 　（答案不唯一）　．

【解答】解：抛物线的顶点坐标为，

该抛武线的解析式为，

又二次函数的图象开口向上，

，

这个二次函数的解析式可以是，

故答案为：（答案不唯一）．

17．（3分）如图，在中，内切与边相切于点，，，，则的长是 　6　．

【解答】解：设与相切于，与相切于，

是的内切圆，

设，，，

，，，

，

解得，

的长是6，

故答案为：6．

18．（3分）如图，正方形的边长为6，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当点运动时，线段的最大值为 　　．

【解答】解：过作，则为等腰直角三角形，连接，取的中点，连接、，

为等腰直角三角形，

，

，

，

在与中，

，

，

，

，

正方形边长为6，

，

，，

，

，

不可以与，，，重合，

线段的取值范围为，且，．

线段的最大值为．

故答案为：．

三、解答题（19-25共66分）

19．（8分）解方程：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1），

分解因式得：，

，，

，；

（2），

，，，

△，

方程有两个不相等的实数根，

，．

20．（8分）某市有、、、、五个景区．若甲从、、三个景区中任选一个游玩，乙从、、三个景区中任选一个游玩，求甲、乙恰好游玩同一景区的概率．

【解答】解：根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中甲、乙恰好游玩同一景区的有2种，

则甲、乙恰好游玩同一景区的概率是．

21．（10分）如图，是的外接圆，切于点，与直径的延长线相交于点．

（Ⅰ）如图①，若，求的大小；

（Ⅱ）如图②，若，求的大小．

【解答】解：（Ⅰ）连接．如图①，

切于点，

，

，

，

，

又，

，

，

．

（Ⅱ）连接，如图②，

设．

，

，

，

，

．

是的切线，

，即，

在中，，

即，

解得，

．

22．（10分）如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

【解答】（1）证明：连接，如图，

，

，

，

又，

．

又，

，

，即，

，

又点在上，

是的切线；

（2）证明：，

，

又，

，

又，，

，

；

（3）解：，，，

，

，

又，

，

在中，由勾股定理得：，

．

23．（10分）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从、同时出发，当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为．

（1）当为何值时，的长度等于；

（2）求出关于的函数解析式，计算、出发几秒时，有最大值，并求出这个最大面积？

【解答】解：（1）由题意得：，，

，

．

在中，

，

，

解得：或（不合题意，舍去），

．

答：当为2秒时，的长度等于．

（2）由（1）知：，，

当、两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动，

，

．

，

关于的函数解析式为；

，

，

当秒时，有最大值，最大值为．

、出发秒时，有最大值，这个最大面积为．

24．（10分）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，将绕点沿顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别为，．

（1）如图①，求点的坐标，填写下空：

过点作于点，依题意得

在中，

在中，

　　，　　

点的坐标是　　，　　

（2）如图②，当时，与轴交于点，求旋转角的大小和点的坐标；

（3）点不变，当时，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）．

【解答】（1）解：过点作于点，依题意得，

在中，，

，

在中，，

，，

，

又点在第一象限，

，．

故答案为：，，，，，；

（2）解：如图②中，

以点为中心，顺时针旋转三角形，得到三角形，点，的对应点分别为，，且，

．

在中，，

，

；

（3）解：如图③中，连接．

，，

，

，，

，

．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，抛物线的顶点在折线上运动．

（1）当点在线段上运动时，抛物线与轴交点坐标为．

①用含的代数式表示，

②求的取值范围．

（2）当抛物线经过点时，求抛物线所对应的函数表达式；

（3）当抛物线与的边有三个公共点时，直接写出点的坐标．

【解答】解：（1）①设直线的解析式为，经过，

，

，

．

的顶点在上，

．

②由题意：，

抛物线与轴交点坐标为，

，

点在线段上，

，，

，

当时，，

当时，，

的取值范围为．

（2）当点在线段上时，

抛物线经过，

，

或9（舍弃），

，

当点在线段上时，点与点重合，

，

．

（3）①当抛物线经过点时，抛物线与的边有三个公共点，

把代入抛物线得到或0（舍弃），此时．

②当抛物线经过点时，抛物线与的边有三个公共点，此时．

③当点在上运动，抛物线与只有一个公共点时，抛物线与的边有三个公共点，

由消去得到，

由题意△，，

，

，

综上所述，满足条件的点坐标为或或