2022-2023学年上海外国语大学附属大境中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海外国语大学附属大境中学高二上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海外国语大学附属大境中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．下列命题正确的是（    ）A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形【答案】B【解析】根据棱柱的特点一一分析即可得解.【详解】对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正确；对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B正确；对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正确；对于D，斜棱柱的侧面可以不是矩形，D错误.2．已知是空间中的三条直线，其中直线在平面上，则“且”是“平面”的(    )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】B【分析】“且”与“平面”中，一个做题设，一个做结论构建互逆的两个命题，再判断其真假即得.【详解】命题p：若“且”，则“平面”， 命题q：若“平面”，则，“且”，命题p的条件真时，若a//b，l可能与平面平行、斜交、垂直相交、还有可能在面内，即结论不一定成立，即p是假命题；命题q的条件真时，由线面垂直的定义知，其结论必真，即q是真命题，所以“且”是“平面”的必要非充分条件.故选：B3．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先计算出等腰梯形的面积为，再利用计算得到答案.【详解】等腰梯形的面积 则原平面图形的面积.故选：C.4．如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立坐标系，求平面的法向量，再结合线面角的向量求法，结合导数即可求得的取值范围.【详解】如图所示：设正方体边长为1，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，设点，，则，，设平面的法向量为，则有，设，则，则平面的法向量为，则，设，，当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，当时，，时，，时，，，所以.故选：B 二、填空题5．已知球的体积为，则该球大圆的面积等于______.【答案】【分析】由球的体积，得到球的半径，进而可得出大圆的面积.【详解】因为球的体积为，设球的半径为，则，解得：，因为球的大圆即是过球心的截面圆，因此大圆的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型.6．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则异面直线与所成角的大小是_______.【答案】；【解析】根据，得到异面直线与所成的角，然后在，利用正切函数求解.【详解】因为，所以异面直线与所成的角，在正四棱柱的底面边长为2，高为3，所以，因为，所以，故答案为：7．正六棱锥底面边长为a，体积为，则侧棱与底面所成的角为____________.【答案】【解析】根据正六棱锥底面边长为a，可求出其底面积，再结合体积求出其高，进而求出侧棱的长，根据直线与平面所成的角的概念，即可求出侧棱与底面所成的角．【详解】设正六棱锥的高为，因为正六棱锥底面边长为a，所以其底面积，又因为其体积，所以，所以侧棱长为，所以侧棱与底面所成的角为.故答案为：【点睛】本题主要考查了棱锥的体积公式及直线与平面所成的角的求法，关键是利用六棱锥的体积，求出六棱锥的高．8．棱长为的正方体的顶点到截面的距离等于__________.【答案】【分析】根据勾股定理可以计算出，这样得到是直角三角形，利用等体积法求出点到的距离.【详解】解：如图所示，在三棱锥中，是三棱锥的高，，在中，,,,所以是直角三角形，，设点到的距离为 ，.故A到平面的距离为故答案为：【点睛】本题考查了点到线的距离，利用等体积法求出点到面的距离.是解题的关键.9．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.【答案】【详解】设正方体边长为 ，则 ，外接球直径为.【解析】 球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.10．已知，点是平面外一点，点是点在平面上的射影，且点在内.若点到的三边所在直线的距离相等，则点一定是的__________心.【答案】内【分析】作出图象，由线面垂直定理可得,,,再由三角形全等可得,结合三角形的内心、外心、垂心、重心的定义即可得答案.【详解】解：如图所示：因为到的距离相等，即,且在所在平面的射影在内，因为平面,平面,所以,又因为,所以平面,所以,同理可证,,又因为,所以两两全等，所以,即到的距离相等，所以点为的内切圆的圆心，即的内心.故答案为：内11．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异"，现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为__________.【答案】【分析】设圆锥的半径为，高为，母线，由圆锥的侧面展开图为半径为的半圆，即可求出，从而求出圆锥的高，再根据体积公式计算可得.【详解】解：设圆锥的半径为，高为，母线，依题意可得，解得，所以，所以圆锥的体积，由祖暅原理可得该几何体的体积为；故答案为：12．甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金，第一局比赛甲获胜，后因为有其他事情而中止比赛，则甲应该分__________元奖金才公平？【答案】【分析】分别求出甲、乙最终获胜的概率，即可求出答案.【详解】乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜，其概率为：，即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为，故甲的奖金为元.故答案为：.13．要给一批共10000根相同规格的空心钢管镀锌，钢管的长度为，内外直径分别为8与10.若电镀这批钢管每平方米要用锌，则需要用锌的总量是__________.（精确到0.01）【答案】【分析】利用圆柱的表面积公式求解即可.【详解】圆柱上下两底面圆环面积，圆柱外侧面积，圆柱内测面积，所以每根空心钢管的表面积，所以需要锌的总量约为，故答案为：14．已知半径为的球面上三点满足，球心到平面的距离为12，则球的半径为__________.【答案】13【分析】求出外接圆的圆心，利用勾股定理即可得到球的半径.【详解】因为球面上三点满足，，所以为直角三角形，外接圆的半径，设外接圆的圆心为，球的球心为，所以面，因为面，所以，由勾股定理得，解得.故答案为：13.15．已知线段垂直于三角形所在的平面，且，为垂足，为的中点，则的长为__________.【答案】【分析】则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设求得，即可求出的长.【详解】因为线段垂直于三角形所在的平面，且，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为在上，所以可设，先设，所以，，，所以，，，因为，所以，解得：，，，则的长为.故答案为：.16．将个边长为1的正三角形纸片，按如图方法将它拼剪成一个三棱柱，则这个三棱柱的体积为__________.【答案】0.015625【分析】利用三棱柱的上下底面全等和拼剪前后表面积不变求解即可.【详解】因为三棱柱的上下底面全等，所以如图所示：底面边长，又因为，所以，解得底面边长，所以上下底面面积和，因为纸片的面积，所以每个小长方形的面积，所以三棱柱的高，所以三棱柱的体积.故答案为：. 三、解答题17．有一个圆锥形漏斗，其底面直径是10cm，母线长为20cm，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，求此时绳子的长度.【答案】cm【分析】由圆锥的展开图可知，绳子是线段时，绳子长度最短，根据扇形弧长公式可求圆心角，从而可求弦的长度.【详解】底面直径是10，则底面圆周长，即圆锥的展开图（如下图所示）中，弧的长度为，母线cm，故圆心角，当绳子是线段时，绳子长度最短,在Rt中，.故绳子的长度为cm.18．设台体上、下底面面积分别为和，上、下底面的距离为h，试用，和h表示棱台的体积.【答案】【分析】根据棱台与棱锥的关系即可推导.【详解】如图所示：棱台可看作是由两个棱锥截成，即，设顶点到平面的距离为，则由大小两四棱锥的相似性可得：，，即，则故棱台的体积.19．如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为2，底面半径为2．(1)求该圆锥的侧面积；(2)设OA、OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB＝，M为线段AB的中点，求直线PM与直线OB所成的角的正切值，【答案】(1)8π(2) 【分析】（1）先求圆锥的母线l，再根据圆锥的侧面积公式可求出结果；（2）取OA的中点N，连接MN，PN，易知∠PMN或其补角即为所求，先证OB⊥平面POA，推出MN⊥平面POA，故MN⊥PN，在直角三角形中求解可得结果.【详解】（1）由题意知，圆锥的高，底面半径，所以圆锥的母线，∴圆锥的侧面积．（2）取OA的中点N，连接MN，PN，∵M为AB的中点，∴MNOB，∴∠PMN或其补角即为直线PM与直线OB所成的角，∵OB⊥OA，OB⊥OP，OA∩OP＝O，OA、OP⊂平面POA，∴OB⊥平面POA，∴MN⊥平面POA，∴MN⊥PN，，，在直角三角形中，有.故直线PM与直线OB所成的角的正切值为．20．已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧棱，并且与底面所成角是，设侧棱长为(1)求此三棱柱的高；(2)求证：侧面是矩形(3)求证：在平面上的射影在的平分线上【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）利用线面角的定义和性质求解即可；（2）利用斜三棱柱的性质结合平行关系求解即可；（3）利用线线垂直、线面垂直的性质和判定定理求解即可.【详解】（1）因为侧棱与底面所成角是，且，则过点斜三棱柱的高.（2）因为斜三棱柱，所以侧面是平行四边形，，又因为，所以，所以平行四边形是矩形.（3）过点作的平分线的平分线交于，过作交于，因为是正三角形，所以，又因为，，面，所以面，因为面，所以，因为，面，所以面，即在平面上的射影在的平分线上.21．如图，在五棱锥中，平面，､三角形是等腰三角形.(1)求证：平面平面：(2)求直线与平面所成角的大小；【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用余弦定理得，所以由平行关系，利用线面垂直的性质得，即得平面,然后利用面面垂直的判定定理即可证出；（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）在中由余弦定理得，解得，所以，即，又因为，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）因为平面，平面，所以，由（1）得，所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系，设,因为是等腰三角形，所以，，，过作交于，所以，因为，所以，又因为，所以，，所以，，，设平面的法向量，所以，取，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角为.