2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二上学期开学考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二上学期开学考试数学（理）试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．

【详解】直线的斜率为，所以倾斜角．

故选：D．

2．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对平方后，结合同角三角函数平方关系及正弦的二倍角公式进行求解.

【详解】平方得：，

即，解得：

故选：A

3．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据分式不等式的解法，即可得答案.

【详解】由题意得，等价于，即，

所以解集为.

故选：D

4．若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由，因为，可得，因为不确定，所以A错误；

对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误；

对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误；

对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确.

故选：D

5．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

6．已知直线，．若，则实数（     ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【解析】利用两条直线斜率之积为求解.

【详解】若，则，解得或.

故选：C.

【点睛】若直线和直线，当直线时有，.

7．若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.

【详解】画出满足约束条件的可行域，

如下图所示：

目标函数化为，

由，解得，设，

当直线过点时，

取得最小值为.

故选：B.

8．已知在递减等比数列中，，，若，则（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【分析】根据下标和性质得到，即可求出、，根据数列为递减数列求出，即可判断；

【详解】解：因为，，所以，

解得或，因为数列为递减等比数列，

所以，所以，解得，

所以；

故选：A

9．方程所表示的曲线的图形是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据所给曲线方程可知，曲线由和构成，即可选出.

【详解】因为方程

所以可得或，

即或，且

所以曲线为直线与圆在直线的右边部分构成，

故选D.

【点睛】本题主要考查了方程与曲线的概念及直线与圆的方程，属于中档题.

10．设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为

A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4

【答案】D

【详解】因为a，b，c为连续的三个正整数，且A>B>C，可得

a＝c＋2，b＝c＋1        ①

又因为3b＝20acosA，由余弦定理可知cosA＝，则

3b＝20a· ②

联立①②，化简可得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－ (舍去)，则a＝6，b＝5.

又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选D.

11．如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出圆的半径，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，利用平面向量的坐标运算求出、的值，即可得解.

【详解】设圆的半径为，则，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、、，

，，，

由，得，

所以，，解得，因此，.

故选：B.

12．在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到，，由正弦定理得到，且根据三角形为锐角三角形，得到，求出，利用对勾函数得到的最值，求出的取值范围.

【详解】由三角形面积公式可得：，故，

，故，

因为，所以，

解得：或0，

因为为锐角三角形，所以舍去，

故，，

由正弦定理得：

，

其中，

因为为锐角三角形

所以，故，所以，，

，，

令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，

则，

又，

因为，所以，

则.

故选：C

【点睛】解三角形中求解取值范围问题，通常有两种思路，一是利用正弦定理将角转化为边，利用基本不等式进行求解，二是利用正弦定理将边转化为角，结合三角函数的图象，求出答案.

二、填空题

13．等差数列中，，则______.

【答案】60

【分析】由题意和等差数列的性质化简：，求出的值，代入求值即可．

【详解】由题意知，，

则由等差数列的性质得，，即，

所以，

故答案为：60．

【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活运用，一定要注意项数之间的关系，属于基础题．

14．已知是边长为2的正三角形，D是AC的中点，则______．

【答案】

【分析】用转化法，即可求向量的数量积.

【详解】解：由题意得，为，，

所以.

故答案为：-3.

15．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】曲线表示圆心为，半径为的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出的取值范围.

【详解】由，解得

根据二次函数的性质得出，即

曲线可化为，

所以该曲线表示圆心为，半径为的半圆

因为直线与曲线有公共点，所以它位于之间，如下图所示

当直线运动到时，过，代入得：

当直线运动到时，此时与曲线相切

则，解得或（舍）

要使得直线与曲线有公共点，则

故答案为：

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.

16．已知中，点D在边AC上，，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】设，，则由余弦定理表示出，可得，利用三角函数的性质可求出.

【详解】设，，则，

设，则，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

所以，

因为，，所以，则，

所以，则.

故答案为：.

三、解答题

17．已知向量，，与垂直.

(1)求的值；

(2)求向量与夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得；

（2）首先求出、，再根据夹角公式计算可得.

【详解】(1)解：因为，且与垂直，

所以，即，即，解得.

(2)解：

，

，

设向量与的夹角为，所以.

18．已知的三个顶点坐标为，，.

（1）求的中线所在直线方程的一般式方程；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）首先求出的中点，求出，再利用点斜式即可得到答案.

（2）首先求出，，得到，从而得到，再求出，的长度，即可得到的面积.

【详解】（1）设的中点，则，即.

，

所以的中线所在直线方程为，即.

（2），，

所以，即.

，，

所以.

【点睛】本题主要考查直线方程，同时考查了两条直线的位置关系和两点之间距离公式，属于简单题.

19．设函数．

(1)求的周期和最值；

(2)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，，，，求线段CD的长．

【答案】(1)．，

(2)

【分析】(1)对 作恒等变换，将 表示为单个三角函数的解析式即可求解；

(2)先算出角B，再运用余弦定理求出c，再根据D点的位置即可求解.

【详解】(1)∵

，

∴，∴，；

(2)

∵，，∴，

∵，

∴，    

∴（舍）．

∵，∴，

∴，

∴；

综上， 的周期为 ，最大值为2，最小值为-2，.

20．已知数列的前n项和为，，且．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据作差可得，再求出，即可得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可得到其通项公式；

（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；

【详解】(1)解：因为①，

所以②，

②①得即，

所以，

又当时，，又，所以，所以，

所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以．

(2)解：由（1）可得，

所以，

则

两式相减得，

所以，

21．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点.

(1)求圆的方程；

(2)当时，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用圆和直线相切的关系求出圆的半径即可求解；(2)首先当直线斜率不存在时，求出弦长，满足题意；当直线斜率存在时设出直线的方程，利用圆的弦长公式求出，然后利用点到直线的距离公式求解即可.

【详解】(1)∵圆与直线相切，

所以到直线的距离，

故圆的方程为：.

(2)①当直线与轴垂直时，易知直线的方程为：，

此时，圆心到直线的距离为1，

从而弦长，满足题意；

②当直线与轴不垂直时，

设直线的方程为，即，

连接，则，

，所以，

从而，得，

故直线的方程：.

综上所述，直线的方程为：或.

22．数学家研究发现，音叉发出的声音（音叉附近空气分子的振动）可以用数学模型来刻画．1807年，法国数学家傅里叶用一个纯粹的数学定理表述了任何周期性声音的公式是形如的简单正弦函数之和．若某种声音的模型是函数 ，.

(1)求函数在上的值域；

(2)若，试研究函数在上的零点个数，并说明理由．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据三角函数额性质即可求解；

（2）根据函数零点的定义及二次函数的性质，再利用函数零点的存在性定理即可求解.

【详解】(1)因为，所以，

所以，即，

所以函数在上的值域为．

(2)因为，所以．

①当时，，因为，所以，解得，

所以在上只有一个零点．

②当时，或．令，则

ⅰ若，记则在上单调递减，且，

所以，由①得，所以在上只有一个零点．

ⅱ若，则在上单调递减，在上单调递增，且，

所以，由①得；，因为，所以，解得；

所以在上有两个零点．

ⅲ若，则在上单调递减，在上单调递增，且，

，由①得；，当时，令，

则，根据零点存在定理，

所以连续函数在上存在零点，

因为在上单调递减，所以连续函数在上只有一个零点．

同理，连续函数在上只有一个零点．

所以在上有三个零点．

综上，当或时，在上只有一个零点；

当时，在上有两个零点；

当时，在上有三个零点．