2022-2023学年天津市北辰区高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市北辰区高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A．120° B．60° C．30° D．150°

【答案】C

【分析】根据倾斜角和斜率的关系求倾斜角即可.

【详解】设倾斜角为，由直线方程得斜率，即，因为，所以.

故选：C.

2．已知向量，，则（    ）

A． B．40 C．6 D．36

【答案】C

【分析】利用向量线性关系的坐标运算求，再利用向量模长的坐标公式求模长.

【详解】由题设，则.

故选：C

3．若圆C的圆心在直线x﹣y＝0上，且圆C与y轴的交点分别为（0，6），（0，﹣2），则该圆的标准方程是（　　）

A．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝20 B．（x+2）2+（y+2）2＝20

C．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝6 D．（x+2）2+（y﹣2）2＝6

【答案】A

【分析】由题意可得圆心的横坐标与纵坐标相等，再由圆C与y轴的交点分别为（0，6），（0，﹣2）求得圆心坐标，进一步求解圆的半径，则答案可求．

【详解】由题意设圆心坐标为（a，a），

再由圆C与y轴的交点分别为（0，6），（0，﹣2），可得a＝2，

则圆心坐标为（2，2），半径r．

∴该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2＝20．

故选：A．

4．已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（    ）

A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0

C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0

【答案】D

【分析】利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可.

【详解】由，所以圆心坐标为，

因为直线2x＋y－3＝0的斜率为，

所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为，

所以l的方程为：，

故选：D

5．设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】先利用椭圆得到，根据椭圆的定义可得到，结合可算出，，即可算出答案

【详解】解：由椭圆可得即，

因为P为椭圆上的点，所以，

因为，所以，，故，

故选：B．

6．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点（4，0），则该椭圆的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.

【详解】依题意可知且椭圆焦点在轴上，

由于椭圆过点，所以，，

所以椭圆的标准方程为.

故选：A

7．若直线与平行，则与间的距离为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】先由两直线平行，列方程求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果.

【详解】因为直线与平行，

所以，且，

解得，

所以直线，，

所以，，

所以与间的距离为，

故选：B

8．设，向量，，，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由，，列方程求出的值，从而可求出，进而可求出

【详解】因为向量，，，且，，

所以，，解得，

所以向量，，

所以，所以，

故选：C．

9．平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由则因为由,根据空间向量的基本定理即可求得.

【详解】

,.

故选:C.

【点睛】本题考查空间向量的基本定理,考查向量的线性运算,考查学生的计算能力,难度较易.

二、填空题

10．已知两个不同平面的法向量分别是，，则这两个平面的位置关系是________．

【答案】平行

【分析】由题可得向量的位置关系即可判断.

【详解】因为两个不同平面的法向量分别是，，

∴，

所以这两个平面的位置关系是平行.

故答案为：平行.

11．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为______．

【答案】

【分析】由倾斜角为可得斜率为1，用点斜式写出直线方程再化成斜截式方程即可.

【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，

所以直线的方程为，即，

故答案为：.

12．已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则______．

【答案】11

【分析】由椭圆定义，，，结合条件数值即可求

【详解】由椭圆定义，，，，

故，又，故．

故答案为：11

13．已知直线：12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.

【答案】4

【分析】首先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解.

【详解】把圆的方程化成标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9，所以圆心坐标为(3，4)，半径r＝3，所以圆心到直线12x－5y＝3的距离d＝＝1，则|AB|＝2＝4.

故答案为：

14．已知圆，当圆C的面积最小时，直线与圆C相切，则实数a的值为_________．

【答案】或

【分析】将圆的方程化为标准方程，要使圆C的面积最小，则半径要最小，求出半径最小时的值，从而可求得圆的圆心与半径，再根据圆心到直线的距离等于半径即可得解.

【详解】解：由圆，

得，

当时，圆C的半径最小为，即面积最小，

所以当圆C的面积最小时，圆的方程为，

圆心，半径，

因为直线与圆C相切，

所以圆心到直线的距离，

解得或.

故答案为：或.

三、双空题

15．直线与，若，则实数__________；若，则实数_______

【答案】         

【解析】根据列出方程求出，再验证，即可得出结果；根据的判定条件，列出方程求解，即可得出结果.

【详解】因为与

若，则，即，解得或，

当时，与显然平行，满足题意；

当时，与重合，不满足题意，舍去，

所以；

若，则，解得.

故答案为：；.

四、解答题

16．已知圆经过，两点，且圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)求过点且与圆相切的直线方程．

【答案】(1)x2+y2﹣2x﹣3＝0；

(2)y＝2或4x﹣3y+6＝0．

【分析】（1）由圆心在直线上，设圆心为（1，t），再由经过，两点可得1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，求得圆心和半径即可得解；

（2）根据题意切线的斜率存在可设直线方程为y＝kx+2，再利用直线和圆相切可得

d＝＝2，求得即可得解.

【详解】（1）根据题意，设圆心C的坐标为（1，t），

则有1+（t﹣）2＝0+（t﹣2）2，

解可得t＝0，

即圆心的坐标为（1，0），

圆的半径r＝＝2，

则圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，即x2+y2﹣2x﹣3＝0；

（2）根据题意，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝4，

过点P（0，2）作圆的切线，斜率必定存在，设切线的斜率为k，

则切线的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0；

则有d＝＝2，解可得k＝0或；

故切线的方程为y＝2或4x﹣3y+6＝0．

17．如图，正方体中，分别为的中点．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明过程见详解

(2)

【分析】（1）先以为原点建系，再找出各点的坐标，求出平面的法向量，要证线面平行只需证直线的方向向量垂直于平面的法向量即可.

（2）先求出平面的法向量，再根据直线与平面所成的角的正弦值

即可得到答案.

【详解】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设

则，，.

又       为平面的法向量

又平面.

故：平面.

（2）由（1）知，设平面的法向量,

则，即，令，则

设直线与平面所成的角为，则.

故答案为：.

18．已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，若，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由离心率公式以及椭圆的性质列出方程组得出椭圆的方程；

（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得出点坐标，最后由距离公式得出直线的方程．

【详解】（1）由题意可得，得，，椭圆；

（2）设，，直线为．

由，得

显然，由韦达定理有：，则；

所以，且，

若，解得，所以．

19．如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1．

(1)求证：BF∥平面ADE；

(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值；

(3)求点D到直线BF的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）通过AD∥BC，AE∥CF得到平面BCF∥平面ADE，再由面面平行得到线面平行即可

（2）以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴,建立空间直角坐标系，写出，的坐标，利用向量法求出夹角的余弦值即可

（3）由（2）可求与所成角的余弦值，利用同角三角函数关系式求出直线BF与直线DF所成角的正弦值，然后计算即为点D到直线BF的距离

【详解】（1）证明：∵AE∥CF，AE⊄平面BFC，CF⊂平面BFC，

∴AE∥平面BCF，

∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC，

又AD∩AE=A，∴平面BCF∥平面ADE，

∵BF⊂平面BFC，∴BF∥平面ADE；

（2）以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），E（0，0，2），F（2，2，1），

则=（-2，0，2），=（2，-1，1），

∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为

（3）根据（2）可知=（0，2，1），=（2，-1，1），

20．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且的周长是6．过点的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间，又线段AB的中点横坐标为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用待定系数法，求椭圆方程；

（2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式求，并求得点的坐标，利用横坐标表示的值.

【详解】（1）由离心率，可得，

又因为的周长是6，所以，

所以，，故，所以椭圆的标准方程是．

（2）设点，点．

若直线轴，则直线l不与椭圆C相交，不合题意．

当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为．

由消去y得，．①

由①的判别式，

解得，．由，可得．

将代入方程①，得，

则，．所以．