2022-2023学年上海财经大学附属北郊高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海财经大学附属北郊高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：

①若，，则；                    ②若，，则；

③若，且，，则；  ④若，且，则.

其中所有正确命题的序号是

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【答案】D

【详解】①若，，过做平面，

则，故①正确；

②若，，则可能平行，相交或异面，故②错误；

③若，且，，则相交或平行，故③错误；

④若，且，则，过做平面，

则，所以，故④正确．

故选：D．

2．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先计算出等腰梯形的面积为，再利用计算得到答案.

【详解】等腰梯形的面积

则原平面图形的面积.

故选：C.

3．如图，上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂，在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为（    ）

A．0 B．2 C．4 D．12

【答案】B

【分析】根据正四棱柱相邻侧面的线线关系即可判断．

【详解】∵3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，

∴在0点到12点时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点），相邻两面时钟的时针两两相互垂直的情况的次数为2，

故选：B．

4．1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（    ）

A．20180 B．20200 C．20220 D．20240

【答案】B

【分析】先求出第100行的第一个数，再根据第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列，从而得到第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200．

【详解】第一列的数字为4，7，10，13，16，……，成等差数列，公差d＝3，其通项公式＝4＋3(n－1)＝3n＋1，故第100行的第一个数为＝301，

再看行，第一行的数是公差为3的等差数列，第二行的数是公差为5的等差数列，第三行的数是公差为7的等差数列，…，第n行的数是公差为3＋2×(n－1)的等差数列，

则第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列，

所以第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200．

故选：B．

二、填空题

5．若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．

【答案】

【详解】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为.

6．正方体中，异面直线与所成的角的大小为______.

【答案】60°

【分析】如图所示，连接，，则即为异面直线与所成角．利用△为正三角形，即可得出．

【详解】解：如图所示，直线，所以直线与所成的角即为异面直线与所成角．

△为正三角形，

．

故答案为：60°.

【点睛】本题考查正方体的性质、等边三角形的性质、异面直线所成的角，考查推理能力与计算能力.

7．向量与夹角的大小为__________.

【答案】

【分析】利用向量夹角公式求解即可．

【详解】向量，，

设与的夹角为，则，

，.

故答案为：．

8．正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____；

【答案】

【分析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合棱长，求出正四棱锥的高，然后利用体积公式进行求解．

【详解】

如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO，连接AO，则在直角三角形中，，所以，故答案为．

【点睛】本题考查正棱锥的性质及棱锥的体积公式，解题的关键是熟悉正棱锥的几何性质，属基础题

9．在等差数列中，其前项和为，已知公差，则__________．

【答案】190

【分析】由已知条件可求得，得出，进而由得出答案．

【详解】，解得，

∴，

∴．

故答案为：190．

10．记数列的前项和为，若，（为正整数），则数列的通项公式为________．

【答案】

【分析】当时，，所以两式相减得，所以化简有，又因为 ，可得数列是以为首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.

【详解】因为，，

所以当时，，

当时，，所以两式相减得：，

则，所以，又因为 ，

所以数列是以为首项，公比为的等比数列.

所以当时，.

所以数列的通项公式为：

故答案为：.

11．若表示等式为正偶数），则表示的等式为__________.

【答案】.

【分析】代入，得到.

【详解】将代入等式，得到.

故答案为：.

12．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18的扇形，则圆锥母线与底面所成角为__________．（结果用反三角函数值表示）

【答案】

【分析】设母线长为，底面圆的半径为，圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，分别求出，，由线面角的定义求解即可．

【详解】设母线长为，底面圆的半径为，

因为圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18的扇形，

所以，且，解得，

设圆锥的母线与底面所成角为，则，

所以圆锥的母线与底面所成角为．

故答案为：．

13．在长方体中，若长方体的体对角线与过点的相邻三个面所成的角分别为，则__________．

【答案】1

【分析】由已知得，由此即可求出答案．

【详解】连接，

在长方体中，面

与面所成的角为，

同理与面所成的角为，

与面所成的角为，

．

故答案为：1．

14．已知分别是空间四边形各边的中点，若，则__________.

【答案】

【分析】根据中位线定理判断四边形是平行四边形，再由计算可得解.

【详解】如图所示，

由三角形中位线的性质可得,，

则，所以四边形是平行四边形，

则，

又，，

所以 ，即.

故答案为：.

15．如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC，AB相切于点C，M，与AC交于点N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为________.

【答案】

【解析】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积.

【详解】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，

是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，

且球是圆锥的内切球，

所以圆锥的底面半径是1，高为，球的半径为，

可以得到，

所以圆锥的体积为，

球的体积为，

所以阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为，

故答案为：.

【点睛】该题考查的是有关旋转体的体积的求解问题，在解题的过程中，注意分析几何体的特征，涉及到的知识点有锥体的体积公式和球的体积公式，属于简单题目.

16．如图，在棱长为1的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满足与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为______.

【答案】

【分析】根据题设描述易知的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，即可求扫过的面积.

【详解】由题设，，要使与直线所成角的大小为，只需与直线所成角的大小为，

∴绕以夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆，

∴在上扫过的面积为.

故答案为：.

三、解答题

17．如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点．

(1)求异面直线与所成角的大小；

(2)求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，则(或其补角)为异面直线与所成角，利用余弦定理进行求解即可．

（2）因为平面，所以是直线与平面所成的角，在中求解即可．

【详解】（1）取的中点，连接，如图，

则(或其补角)为异面直线与所成角，

因为正方体的棱长为2，

所以，

由余弦定理得，

所以异面直线与所成角的大小为．

（2）因为平面，所以是直线与平面所成的角，

在中，，，

所以直线与平面所成的角为．

18．如图，已知一个圆锥的底面半径为2，高为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱.

(1)当时，求圆柱的体积；

(2)当为何值时，此圆柱的侧面积最大，并求出此最大值.

【答案】(1)

(2)当时，圆柱的侧面积取最大值

【分析】（1）设圆柱的底面半径为，根据相似比求出与的关系，求出代入圆柱的体积公式即可；

（2）由（1）知，代入圆柱的侧面积公式得，利用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）设圆柱的半径为，则，，

当时，，

所以圆柱的体积．

（2）由（1）知，

则圆柱的侧面积，

所以当时，圆柱的侧面积取最大值．

19．据相关数据统计，至2021年底全国已开通5G基站140万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2022年的重点工作，2022年一月份全国开通5G基站4万个．

(1)如果从2022年2月份起，每个月比上一个月多开通2000个，那么，到2022年底全国共开通5G基站多少万个；（结果精确到0.1万个）

(2)如果2022年计划开通5G基站60万个，并且自2023年起每年新开通的基站数量比上一年增加x%，若到2024年底全国开通的5G基站总数至少达到500万个，求x的最小值．（结果精确到0.01）

【答案】(1)201.2

(2)79.13

【分析】（1）2022年每月开通基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为4万，求出2022年开通的基站数，加上140得答案；

（2）由题意得140＋60＋60(1＋x%)＋60(1＋x%)2≥500，求解x即可．

【详解】（1）2022年每月开通的基站数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项为4万

则2022年开通的基站数为万个

故到2022年底全国共开通5G基站140＋61.2＝201.2万个；

（2）由题意得140＋60＋60(1＋x%)＋60(1＋x%)2≥500

即(1＋x%)2＋(1＋x%)－5≥0，解得1＋x%≥

∴x%≥，即x≥

所以的最小值为79.13．

20．如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）

(3)求点到平面的距离．

【答案】(1)答案见解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用余弦定理求得，结合已知条件得，从而，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）取中点，则．以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小；

（3）利用点到平面的距离公式求解即可．

【详解】（1）连接，

因为在等腰直角三角形中，，

在中，，同理得，

因为，

所以，所以

所以平面，

所以平面．

（2）取中点，则，

以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

是平面的一个法向量，

设平面的法向量为，，

所以，令，则，则，

设二面角的平面角为，且，

所以，

所以二面角的大小为．

（3）是平面的一个法向量，

又，，

所以点到平面的距离为．