2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列说法中正确的是（    ）

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D．若球O的半径为2，球心到平面的距离为1，则球O被平面截得的截面面积为

【答案】D

【分析】棱锥是有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体；圆锥是以直角三角形一条直角边为轴旋转，其余两边旋转所围成的几何体；正六边形中心到顶点的距离等于边长；球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.

【详解】棱锥是有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体，所以A错，三棱锥不仅各面是三角形，还要除底面外其余各面都有公共顶点；

圆锥是以直角三角形一条直角边为轴旋转，其余两边旋转所围成的几何体，以斜边为轴旋转不是圆锥，所以B错；

正六边形中心到顶点的距离等于边长，所以正六棱锥侧棱一定大于底面边长，所以C错；

球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，球O半径为2，到平面距离为1，则截面圆半径，截面圆面积为，D正确.

故选：D.

2．已知，则在方向上的投影为（    ）

A． B． C．4 D．8

【答案】C

【分析】由两向量夹角的正切值计算余弦值，再计算投影.

【详解】因为，且向量夹角取值范围为，所以，

所以在方向上的投影为.

故选：C.

3．已知一个圆柱底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆周上的一个动点，关于的面积大小下列说法正确的是（    ）

A．的面积是定值 B．的面积没有最大值

C．的面积最大值是 D．的面积最大值是2

【答案】C

【分析】AB长度不变，分析C到直线AB距离的取值范围，得到三角形面积的取值范围.

【详解】

如图，过C作CD垂直于AB，过D作DE垂直于底面，连接CE，

因为长为2，则的面积为，

，

因为CD垂直于AB，DE垂直于圆柱底面，所以DE垂直于AB，所以AB垂直于平面CDE，

所以CE垂直于AB，C是底面圆周上动点，所以CE最大等于底面半径，等于1，所以CD最大为，即面积最大为.

故选：C.

4．设函数，其中（，，）为已知实常数，，下列关于函数的性质判断正确的个数是（    ）

①若，则对任意实数x恒成立；②若，则函数为奇函数；③若，则函数为偶函数；④当时，若，则；

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】由，得出，通过判断，得到为奇函数；由，得到，通过判断，得到为偶函数，然后对四个命题进行判断，得到答案.

【详解】函数，

其中（，，）为已知实常数，

若，则

，

所以函数为奇函数，故②正确；

若，则

，

所以

，

所以函数为偶函数，故③正确；

若，则函数为奇函数，也为偶函数，

所以对任意实数恒成立，

故①正确；

当时，若，

则，

，

所以

，

所以，

可得，，

故④正确.

故选：A.

【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，主要考查的三角函数的化简，考查新定义三角函数的性质，对题意的理解和计算能力要求较高，属于难题.

二、填空题

5．己知为虚数单位，则在复平面上对应的点在第___________象限.

【答案】四

【分析】计算复数，转化为复数的代数形式，得到其在复平面上对应的点的坐标.

【详解】，在复平面上对应的点为，在第四象限.

故答案为：四.

6．已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为___________.

【答案】6

【分析】利用弧长公式求弧长.

【详解】因为扇形的中心角为2弧度，扇形半径为3，所以扇形的弧长.

故答案为：6.

7．已知正三棱锥底面边长为3，高为，则斜高为___________.

【答案】1

【分析】由正三棱锥的几何特征，过顶点向底面作垂线，计算斜高.

【详解】

过P作PO垂直于平面ABC，过O作OD垂直于BC，连接PD，

因为正三棱锥底面边长为3，所以，又因为三棱锥高为，所以斜高.

故答案为：1.

8．已知集合（其中 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为___________.

【答案】8

【分析】因为具有周期性，分别计算n取1,2,3,4时x的值，根据集合元素的个数，写出子集个数.

【详解】周期为4，当时，；当时，；

当时，；当时，，所以集合的子集个数为个.

故答案为：8个.

9．已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的体积为___________.

【答案】

【分析】由圆锥的轴截面是等腰三角形，得圆锥的底面半径，及母线长，求出圆锥的高，得圆锥的体积.

【详解】圆锥的轴截面是等腰三角形，且是斜边长为的直角三角形，所以该圆锥轴截面是等腰三角形，得圆锥底面半径为，母线长为，

所以圆锥的高为，体积为.

故答案为：.

10．已知关于的方程的一个根是（其中为虚数单位），则___________.

【答案】

【分析】根据虚根成对原理可得也为方程的根，利用韦达定理求出、，再根据复数模的计算公式计算可得.

【详解】解：因为关于的方程的一个根是，

所以其另外一个根为，

所以，所以，所以；

故答案为：

11．有以下命题：

①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；

②若直线和是异面直线，直线和是异面直线，则直线和也是异面直线；

③四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；

④如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等.

其中正确命题的序号是___________.（把你认为正确命题的序号都填上）

【答案】③

【分析】根据线段与平面的位置关系判断①，根据空间中直线与直线的位置关系判断②，显然四边形的四个点均在同一平面内，即可判断③，根据空间等角定理判断④.

【详解】解：①如果一条线段的中点在一个平面内，则线段与平面可能相交或线段在平面内，故①错误；

②若直线和是异面直线，直线和是异面直线，则直线和可能平行、异面、相交，故②错误；

③若一个四边形有三条边在同一个平面内，即四边形的四个顶点均再同一个平面内，则第四条边也在这个平面内，故③正确；

④如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故④错误．

故答案为：③．

12．甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为___________.

【答案】

【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品，计算概率即可.

【详解】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，

乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为，

所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.

故答案为：.

13．如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为___________.

【答案】3

【分析】根据向量数量积的几何意义，只需分析在上的投影即可.

【详解】，

表示在上的投影，

由图，在上的投影相同，

在上的投影相同，

在上的投影相同，所以的不同值有3个.

故答案为：3.

14．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.

【答案】

【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.

【详解】正六棱柱体积为

圆柱体积为

所求几何体体积为

故答案为：

【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．已知A､B､C为的三个内角，有如下命题：

①若是钝角三角形，则；

②若是锐角三角形，则；

③若G､H分别为的外心和垂心，且，则；

④在中，若，则，

其中正确命题的序号是___________.

【答案】①②③④

【分析】由三角恒等变换公式，平面向量数量积的运算律对命题逐一判断

【详解】对于①，若是钝角三角形，由得

，故①正确，

对于②，若是锐角三角形，则，有且，

则，同理得，故，故②正确，

对于③，由，故③正确，

对于④，若，则，，

则，故，故④正确，

故答案为：①②③④

16．如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点，分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为______.

【答案】

【分析】由题意得：周长取最小值时,在上.在平面上,设关于的对称点为,关于的对称点为,求出,即可得到周长的最小值.

【详解】

由题意得：周长取最小值时,在上,

在平面上,设关于的对称点为,关于的对称点为,

连结,当与的交点为,与的交点时,

则是周长的最小值,

,,,

∴.

∴周长的最小值为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了立体几何中的线段最值问题,需要根据题意转换对应的线段长度,再利用三角形的性质求最小值即可.属于中档题.

三、解答题

17．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm.

(1)这种“浮球”的体积是多少cm3?

(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少?

【答案】(1)

(2)1200π克

【分析】根据圆柱和球的体积公式，面积公式计算即可.

【详解】（1）

所以，

（2）上下半球的表面积

圆柱侧面积

所以，1个浮球的表面积为

2500个浮球的表面积为.

因此，共需胶克.

18．已知，是不平行的两个向量，是实数，且（）．

（1）用，表示；

（2）若，，，记，求及其最小值．

【答案】（1）（2）．最小值为．

【分析】（1）根据向量的线性运算求解．

（2）由计算．

【详解】解：（1）

（2）．∴．

∴．

的最小值为．

【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查向量的数量积，解题关键是利用数量积的定义把模的运算转化为数量积．

19．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第个月从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数表示月份且，例如表示1月份，和是正整数，，. 统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

① 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；

② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；

③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.

（1）试根据已知信息，求的表达式；

（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【详解】试题分析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为12的周期函数，进而求得，利用规律②③可求得三角函数解析式中的振幅，和，则函数的解析式可得；（2）利用余弦函数的性质根据题意求得的范围，进而求得的范围，再根据，，进而求得的值.

试题解析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为12的周期函数，所以.

∵该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人，2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人

∴，解得.

∵最少的2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人

∴，即.

∵

∴

∴

（2）令

∴

∴

∵

∴

∴

答：一年中月是该地区的旅游“旺季”.

20．已知a､b､c分别为的三个内角A､B､C的对边.现有如下四个条件：①；②；③；④.

(1)对条件①化简，并判断含有条件①的三角形的形状；

(2)从以上四个条件中任选几个作为一个组合，请写出能构成三角形的所有组合，并说明理由；

(3)从上述能构成三角形的组合中任选一组，求出对应三角形边c的长及三角形面积.

【答案】(1)，钝角三角形；

(2)①③④和②③④；

(3)答案见解析.

【分析】（1）利用余弦定理，即可求得，结合的范围即可判断三角形形状；

（2）利用正弦定理化简②，结合（1）中所求以及余弦函数的单调性即可判断；

（3）根据（2）中所求，结合余弦定理和三角形面积公式，求解即可.

【详解】（1）因为，故可得，

即，由余弦定理可得，

又，故可得，

则含有条件①的三角形的形状为钝角三角形.

（2）条件①的化简结果为：；

条件②：，

由整形定理可得，

即，又

故可得，又，则；

因为，又，故可得，

则条件①和条件②不能同时选择.

故能构成三角形的所有组合为：①③④和②③④.

（3）当选择①③④时，由余弦定理可得：，

整理得：，解得（舍）或

即，

此时三角形的面积.

当选择②③④时，由余弦定理可得，

整理得：，解得或，

此时三角形有两解，

当时，三角形的面积；

当时，三角形的面积.

综上所述：选择①③④时，，三角形的面积；

选择②③④，时，三角形的面积，

时，三角形的面积.

21．如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点.

(1)判断三棱锥的体积是否为定值，若是求出其体积，若不是说明理由；

(2)是否存在点E，使得平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；

(3)过点和C作正方体的截面.①判断截面的形状，并求出截面面积的最小值；②当截面的面积取最小值时，在线段上是否存在一个动点M，使得，若存在求出M的位置，若不存在请说明理由.

【答案】(1)三棱锥的体积为定值，且体积为；

(2)不存在点E，使得平面；理由见解析

(3)见解析

【分析】（1）由平面，可知到平面距离为，即可求解；

（2）平行四边形不是菱形，所以对角线与不垂直，由直线垂直平面的定义即可求解；

（3）①    截面为平行四边形，利用余弦定理与三角形面积公式，结合二次函数的性质求解截面面积的最小值；

②当截面的面积取最小值时，在线段存在点，使得，此时为线段的中点，利用线面垂直的判断定理证明即可

【详解】（1）因为平面，平面，

所以平面，

因为是棱上的一个动点，

所以到平面距离为，

又的面积为，

所以，

所以三棱锥的体积为定值，且体积为；

（2）因为，

所以平行四边形不是菱形，

所以对角线与不垂直，

又平面，

所以由直线垂直平面的定义可知：不可能垂直于平面，

所以不存在点E，使得平面；

（3）在上取点，在上取点，且使得在，

连接，

则易知，

所以为平行四边形，

又平面，

所以过点和C作正方体的截面即为平面，

①截面为平行四边形，因为平行四边形的面积为，

设 ，则，

则中，，

所以截面的面积为

，

因为，

所以当时，截面面积的最小值为；

②当截面的面积取最小值时，由①可知分别为，的中点，

因为，，平面，

所以平面，

又平面，

所以，

同理可证，

因为，，平面，

所以平面，

又平面，

所以，

当为线段的中点时，

由，可知，

又分别为，的中点，

易知，

所以，

因为，，平面，

所以平面，

即

所以在线段存在点，使得，此时为线段的中点