2022-2023学年上海市上海大学附属嘉定高级中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市上海大学附属嘉定高级中学高二上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．若a，b是异面直线，直线，则c与b的位置关系是（    ）

A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交

【答案】D

【解析】通过反证法的思想，可以判断出选项正误.

【详解】若a，b是异面直线，直线，则c与b不可能是平行直线．否则，若，则有，得出a， b是共面直线．与已知a，b是异面直线矛盾，故c与b的位置关系为异面或相交，

故选：D

2．三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或2条

【答案】D

【分析】画图可得，当三个平面两两相交或有两个平面平行时满足题意

【详解】  

当三个平面两两相交（交线重合）或有两个平面平行时满足题意，

由图可得它们的交线有1条或2条，

故选：D

【点睛】本题考查平面的基本性质.属于基础题.

3．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：

①若，则.           ②若，则.

③若，.           ④若，则.

其中真命题的序号为

A．①② B．①④ C．③④ D．②③

【答案】D

【详解】，则或与是异面直线，故①不正确；

若，则垂直于中所有的直线，，

过做一平面与交于，则所以.

故②正确；

若，则．

这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；

，则，或相交，或异面．故④不正确，

综上可知②③正确，

故选：D．

4．二面角是直二面角，，，设直线与、所成的角分别为和，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先作出直线与、所成的角，由最小角定理可得：，即可判断出.

【详解】如图，

作出，，连结BC，AD.

因为二面角是直二面角，所以，所以为与所成的角.

同理：为与所成的角.

由最小角定理可得：．

又，

．

故选：C．

二、填空题

5．在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是___________.

【答案】平行或异面

【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断.

【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线.

故答案为：平行或异面

6．已知正△ABC边长为a，那么△ABC的平面直观图的面积为______．

【答案】

【分析】由直观图先求出，再求出高，即可求得面积.

【详解】

如图是△ABC和直观图，易知：，，在图中作于，则，故.

故答案为：.

7．若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与 所成角的余弦值是_________．

【答案】

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD1与AD所成角的余弦值．

【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，

∴B（2，2，0），D1（0，0，4），A（2，0，0），D（0，0，0），

（﹣2，﹣2，4），（﹣2，0，0），

设异面直线BD1与AD所成角为θ，

则cosθ．

∴异面直线BD1与AD所成角的余弦值为．

故答案为．

【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．

8．正方体中，棱长为分别是、的中点，是底面的中心，过作截面，则所得截面的面积为___________.

【答案】

【分析】连接，可证明，然后可得截面为梯形，然后求出其面积即可.

【详解】

连接，因为分别是、的中点，

所以，因为，所以，

因为是的中点，所以过作截面，所得截面为梯形，

因为正方体的棱长为，所以，，，

所以梯形的高为，其面积为，

故答案为：

9．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是__________．

【答案】

【详解】试题分析：设圆柱的底面半径为r,母线长为l，由题意r=l，∴

【解析】本题考查了圆柱展开图的性质

点评：掌握圆柱的性质是解决此类问题的关键，属基础题

10．在正方体中，是的中点，则直线与平面所成的角大小为___________（结果用反三角函数表示）.

【答案】

【分析】根据线面垂直利用几何法确定线面角，进而根据锐角三角函数即可求解.

【详解】在正方体中，连接相交于点,连接, 平面,平面,所以,

又,平面,所以平面，

因此为直线与平面所成角，

,,

所以在直角三角形,,

所以

故答案为：

11．有下列四个命题：①三点可以确定一个平面：②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直；③垂直于同一平面的两条直线平行；④若直线a，b与直线c相交成等角，则.其中正确命题的序号是___________.

【答案】③

【分析】根据空间中点线面的位置关系以及平面的基本性质即可求解.

【详解】空间中三个不共线的点可以确定一个平面，故①错，

若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与平面垂直，故②错，

垂直于同一平面的两条直线平行，故③对，

若直线a，b与直线c相交成等角，则不一定平行，例如正方体中,与所成角均为直角，但不平行.，故④错误.

故答案为：③

12．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.

【答案】

【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.

【详解】正六棱柱体积为

圆柱体积为

所求几何体体积为

故答案为：

【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.

13．直线交平面于点，与所成角为上两点到平面的距离分别为2､4，则长为___________.

【答案】或

【分析】由线面角以及锐角三角函数即可求解.

【详解】当在 的同一侧时(如图),,

由题意可知：,且,

所以 ，

同理：当在 的两侧时，则,故，

故答案为：或

14．如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是下图中的_______________. （要求：把可能的图的序号都填上）

【答案】②③

【分析】根据图像考虑上下平面，左右平面，前后平面的投影，对比选项得到答案.

【详解】根据图像知：

四边形BFD1E在在上下平面的投影为②；在左右平面的投影为③，在前后平面的投影为②.

故答案为：②③.

三、解答题

15．如图，和是异面直线，分别为线段上的点，且，求和所成角的大小.

【答案】

【分析】在平面中，过作，交于，连接，证明，然后利用余弦定理解三角形可得和所成角的大小．

【详解】

在平面中，过作，交于，连接，

，，

又，，则，

即（或其补角）为和所成角，

在中，，，，

，所以，

由于空间中两直线的夹角的范围为

和所成角的大小为．

16．如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证：

(1)三线共点；

(2)直线和直线是异面直线.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）分别延长，交于点，由平面基本性质知面．再由三角形中位线定理证明，，三线共点于．

（2）由反证法以及线面平行的判定以及性质即可得矛盾求解.

【详解】(1)分别延长，，交于点，

，面，

面．

是的中点，，

是的中点，

连接，，

的交点为线段AB的中点，即为E，

，，三线共点于．

(2)假如直线和直线不是异面直线，则存在一个平面，使得，

由于在正方体中,,,

因此,

又因为平面,且平面,

故,在正方形中，显然不平行，故矛盾，

因此假设不成立，即直线和直线是异面直线.

17．已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体.

（1）求圆柱体的表面积；

（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转到，求与平面ABCD所成的角.

【答案】（1）4π；（2）.

【分析】（1）画出示意图，求出圆柱的母线长，利用表面积运算公式计算即可；

（2）由已知可得平面，连接，则为与平面ABCD所成的角，解直角三角形即可.

【详解】（1）因为正方形的边长为1，所以圆柱底面半径，母线长为，

则圆柱的表面积为.

（2）因为正方形ABCD绕BC逆时针旋转到，所以平面，连接

因为平面，所以为与平面ABCD所成的角，

又，，所以，，又，

所以

【点睛】本题考查圆柱表面积及线面角的计算问题，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.

18．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，M，N分别为BC，的中点，P为AM上一点，过和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：，且平面；

（2）设O为的中心，若面，且，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）答案见解析；（2）

【分析】（1）推导出，四边形为矩形，，从而，由此能证明，又，即可得到平面．

（2）推导出，从而，四边形为平行四边形，，，，直线在平面内的投影为，从而直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．

【详解】解：（1）证明：，分别为，的中点，底面为正三角形，四边形是矩形，

，，四边形为矩形，，

，，，

，，，平面

平面，

综上，，且平面．

（2）解：三棱柱上下底面平行，平面与上下底面分别交于，，

，

面，面，面面，

，四边形为平行四边形，

是正三角形的中心，，

，，，

由（1）知直线在平面内的投影为，

直线与平面所成角即为等腰梯形中与所成角，

在等腰梯形中，令，过作于，

则，，，，

直线与平面所成角的正弦值为．

19．如下图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

(3)是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．

【答案】（1）见证明；（2） (3)见解析

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，（1）通过证明，再结合即可得结论；（2）结合（1）中的结论进一步说明是与平面所成的角，先通过向量夹角公式求出余弦值，再求正弦值；（3）由已知条件推导出为二面角的平面角，由此能推导出存在点使得二面角是直二面角．

【详解】以A为原点，，分别为y轴、z轴的正方向，

过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

设PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C，P(0,0，a)．

(1)＝(0,0，a)，＝，∴＝0，∴⊥，∴BC⊥AP，

又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点，

∴D，E，

∴由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵＝，＝，∴cos∠DAE＝＝，

∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.

(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，

∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，

故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．

【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题.