2022-2023学年上海市市西中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市市西中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．从30名儿童中选3名扮演三种小动物，则不同的编排方法有（    ）种

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用排列组合的意义逐一检查选项即可.

【详解】对于A，从30名儿童中选3名扮演三种小动物，相当于从30个元素中挑选出3个元素进行排列，是一个排列问题，故不同的编排方法为，故A正确；

对于B，表示的意思是从相当于从30个元素中挑选出3个元素，没有排列，故B错误；

对于C，，，由A选项可知其错误，故C错误；

对于D，，由B选项可知其错误，故D错误.

故选：A.

2．展开式中各项系数的和为（    ）

A． B．1 C．256 D．

【答案】B

【分析】利用赋值，令代入二项式中，即可求得答案.

【详解】由题意可知的展开式的通项为，

由此可知令，即可得展开式中各项系数的和为，

故选：B

3．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（    ）

A．20 B． C．16 D．

【答案】A

【解析】该组合体由一个正四棱锥和一个长方体组成，由勾股定理可计算出正四棱锥的斜高，即可运用三角形的面积公式求出正四棱锥的侧面积，再求出长方体的侧面积和底面积，再求和即可.

【详解】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.

故选：A

【点睛】本题考查了组合体的表面积，求四棱锥的斜高是关键，考查了运算能力和空间想象能力，属于中档题.

4．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有（    ）条

A．0 B．1 C．多于1的有限条 D．无穷多条

【答案】D

【分析】在三条直线上取三条线段作一个平行六面体，由上取一点，过作一平面，与交于，由面面平行的性质和平行线的性质得到与相交，所以是与都相交的一条直线，最后根据点的任意性得出结论.

【详解】在直线上取三条线段，作一个平行六面体，

如下图所示，

在上，也即在上任取一点，过作一平面，

平面与交于，与交于，则由面面平行的性质定理可得：，

于是不与平行，但与共面，故与相交，所以是与都相交的一条直线，

由点的任意性可知：与都相交的直线有无穷多条，

故选：.

二、填空题

5．点平面，点平面，平面平面直线l，则点A______直线l（用集合符号表示）.

【答案】

【分析】由题意点平面，又平面平面直线l，分析即得解.

【详解】由题意，点平面，点平面，

故点平面，

又平面平直线l，

故点直线l.

故答案为：

6．已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________

【答案】

【分析】正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱,根据圆柱的体积公式,即可得到答案.

【详解】由题意可知: 正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱

其底面半径 高

根据柱体体积公式:

故答案为.

【点睛】本题考查了圆柱的体积计算,考查了计算能力,属于基础题.

7．设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是__．

【答案】矩形

【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形．根据AC⊥BD，可得EF⊥EH．即可判断出四边形EFGH的形状是矩形．

【详解】如图所示，

∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，

∴EFAC，且EFAC，HGAC，且HGAC，

∴EFHG，且EFHG，

∴四边形EFGH是平行四边形．

又AC⊥BD，

∴EF⊥EH．

则四边形EFGH的形状是矩形．

故答案为：矩形．

8．在水平放置的平面上，有一个边长为4cm的正方形，其直观图的面积是____________cm.

【答案】

【分析】由已知得直观图为邻边长分别为4cm，2cm，夹角为的平行四边形，直接求其面积即可.

【详解】其直观图为邻边长分别为4cm，2cm，夹角为的平行四边形，

其面积为 cm

故答案为：

9．的二项展开式中的系数是______.

【答案】210

【分析】先求得的二项展开通项，由此求得含的项的系数。

【详解】因为的二项展开通项为，

所以当时，是含的项，其系数为.

故答案为：210.

10．已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为________.

【答案】

【分析】由侧面展开图求出圆锥的底面半径和高，再由体积公式计算．

【详解】由题意圆锥的母线长为，设圆锥底面半径为，则，，

所以高为，

体积为．

故答案为：．

11．在10件产品中有8件一等品，2件二等品，从中随机抽取2件产品，求取到的产品中至多有一件二等品的概率为______.

【答案】

【分析】先求从10件产品中随机抽取2件产品事件数，再求至多有1件二等品的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.

【详解】从10件产品中随机抽取2件产品有种方法；

其中至多有1件二等品有种方法；

因此事件取到的产品中至多有一件二等品的概率的概率，

故答案为：.

12．PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_______________

【答案】

【详解】设直线PC与平面PAB所成的角为，根据三余弦定理得

13．已知正方体的体积为27，点，分别是线段，的中点，点在四边形内运动（含边界），若直线与平面无交点，则线段的取值范围______．

【答案】

【分析】先借助于面面平行判断出G的位置，然后求出线段的取值范围.

【详解】

分别取线段，的中点，，连接，，，

连结,由三角形中位线定理得：

又∵面A1PQ, 面A1PQ，∴面A1PQ

同理可证：面A1PQ

又,∴面AEF面A1PQ

故点在线段上运动（含端点位置），

当G与P（或Q）重合时，；

当G在PQ中点R时，.

故.

故答案为：

【点睛】方法点睛：立体几何中的动态问题：

①几何法：根据图形特征，寻找两点之间的距离的范围；②坐标法：建立空间直角坐标系，利用坐标求范围.

14．按下图，从上往下读（不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念），构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为______.

【答案】252

【分析】构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法可理解为从10步中任取5步从上往左下角方向读，余下5步从上往右下角读，结合组合数定义求解.

【详解】构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是从上往右下角方向读，故共有不同读法=252种，

故答案为：252.

三、解答题

15．，求正整数x的值.

【答案】或.

【分析】根据组合数的性质，得到方程，即可求得答案．

【详解】由可得或，

解得或 ，经验证，符合题意，

故正整数x的值是或.

16．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.

(1)求该圆锥的体积；

(2)求直线CD与平面PAB所成角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.

（2）作出直线CD与平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小.

【详解】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高，

所以圆锥的体积为.

（2）连接，由于是的中点，所以，

由于是弧的中点，所以，

根据圆锥的几何性质可知，

所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角.

在中，，所以.

即直线CD与平面PAB所成角的大小为.

17．如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C．

(1)求球冠所在球的半径R(结果用h､r表示)；

(2)已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面积.

【答案】(1)

(2)；

【分析】(1)根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式计算即得.

(2)根据给定条件结合(1)的结论求出球半径R即可计算作答.

【详解】（1）如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高，

依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B=h，OO1=R-h，O1A=r，

在中，，即，整理化简得：，

所以球冠所在球的半径R有：.

（2）因球冠底面圆周长，则，

又球冠表面积公式为，且，则，由(1)知，

即，解得，

于是得，球O的表面积为，

所以的值是，球冠所在球的表面积是.

18．如图，在四棱锥中，底面是矩形.已知，，，，.

(1)证明:平面；

(2)求异面直线PC与AD所成角的大小.

【答案】(1)证明详见解析

(2)

【分析】（1）通过证明来证得平面.

（2）判断出异面直线PC与AD所成角，解三角形求得角的大小.

【详解】（1）由于四边形是矩形，所以，

由于，所以，

由于平面，所以平面.

（2）由于，所以平面，

由于平面，所以，

所以是异面直线PC与AD所成角，

，

所以，由于是锐角，所以.

19．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．

（1）求二面角的大小；

（2）求三棱锥的体积；

（3）点在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．

【分析】（1）根据二面角的定义，过点分别作，，则为二面角的平面角，即可求解；（2）利用等体积转化，再求解点到平面的距离，即可求解体积；（3）方法一，分两种情况，当点在线段上时，当点在延长线上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值；方法二，利用线线平行，线面平行关系，构造面面平行，利用面面平行的性质定理，求解的值.

【详解】（1）过点分别作，，分别交，于，，连接，

则为二面角的平面角，

因为四边形为正方形，，

所以，，

由已知得，

所以．

（2）过点作，垂足为．

因为，平面，平面，

所以平面．

因为，，

所以．

因为，

所以平面．

因为平面，

所以．

因为，，平面，

所以平面，

所以为三棱锥的高，．

因为，

所以．

（3）方法一：

假设存在点．

①当点在线段上时，连接交于，

则，

所以．

因为平面，平面，

平面平面，

所以，

所以．

②当点在延长线上时，连接交于，

则，

所以．

因为平面，平面，

平面平面，

所以，

所以．

综上，在直线上存在点，使平面，的值为或．

方法二：

当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点，

因为，

所以平面平面．

因为平面，

所以平面．

因为平面，平面平面，

所以．

因为，，

所以，

所以，

所以，

所以．

当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交于点．

因为，

所以平面平面．

因为平面，

所以平面．

因为平面，平面平面，

所以．

因为，，

所以，

所以，

所以．

所以．

综上，在上存在点使得平面，此时或．