2022-2023学年安徽省安庆市桐城中学高一上学期期末数学考试题（解析版）

安徽省桐城中学2022—2023学年高一数学

上学期期末测试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，且A=B，则（）

A. －1 B. 0 C. 1 D. ±1

【答案】A

【解析】

【分析】由集合相等关系，即集合元素的互异性，得和的值.

【详解】因为，又即，所以，

则，又，所以，

所以.

故选：A.

2. sin 2 010°的值是（　　）

A.  B. － C.  D. －

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用诱导公式化简计算即可.

【详解】

，

故选：B

3. 已知，则的值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由，平方求得，再化简，即可求解.

【详解】因为，平方可得，可得，

又由.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式进行化简、运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

4. 已知为凸多边形的内角，且，则这个多边形是（  ）

A. 正六边形 B. 梯形

C矩形 D. 含锐角菱形

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数运算的性质以及正弦的有界性可得，进而可得，根据凸多边形的内角和即可求解.

【详解】,

则,

又为凸多边形的内角,则,

则,进而得,

所以,所以,

由凸多边形的内角和可得,

解得,即这个多边形是矩形.

故选:C.

5. 将函数f（x）＝cos8x图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再将它的图像向左平移φ（φ>0）个单位长度，得到了一个奇函数的图像，则φ的最小值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数图像平移规则求出平移后的解析式，再利用奇偶性求出 .

【详解】将x伸长2倍后的函数函数解析式为，再向左平移，得到，

由题意，是奇函数，，的最小值是，的最小值是；

故选：B.

6. 在平面直角坐标系中，已知点P（cos t，sin t），A（2，0），当t由变化到时，线段AP扫过的区域的面积等于（）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】依题意作图，点P在单位圆上，考虑AP与单位圆相切的情况，求出AP扫过的图形，再求出面积.

【详解】，点P在以原点为圆心的单位圆O上，起始点为图中的，

终点为，显然，

AP扫过的面积为图中阴影面积，与等底同高，，

所以AP扫过的面积就是扇形CDO的面积，OC与OD的夹角，

扇形CDO的面积；

故选：B.

7. 函数的图像关于直线对称，则a的值为（　　）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，，根据辅助角公式，可得.又根据对称性可得，.对为偶数以及为奇数讨论，即可得出的值.

详解】由已知，

令，，

则.

因为图像关于直线对称，所以，

所以.

当为偶数时，有，可得；

当为奇数时，有，又，此时无解.

综上所述，.

故选：C.

8. 已知角的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点，，且，则的最小值为（）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出终边所在的直线的斜率，运用正切二倍角公式求出a与b之间的关系，再运用基本不等式求解.

【详解】角终边所在直线的斜率为，角终边所在的直线的斜率为，

，

，，由基本不等式得 （当时等号成立）；

故选：D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 设正实数a，b满足，则（）．

A. 有最大值4 B. 有最大值

C. 有最大值 D. 有最小值

【答案】BC

【解析】

【分析】由已知条件结合基本不等式逐一检验各选项即可判断．

【详解】解：正实数，满足，

对A：，当且仅当且，即时取等号，所以有最小值4，故选项A错误；

对B：，则，当且仅当时取等号，所以有最大值，故选项B正确；

对C：，当且仅当时取等号，所以，即有最大值，故选项C正确；

对D：，当且仅当时取等号，所以有最小值，故选项D错误．

故选：BC.

10. 下列命题中正确的是（）

A. 命题：“”的否定是“”

B. 函数（且）恒过定点

C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为

D若函数，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定；

B选项，，从而得到函数恒过定点；

C选项，利用同一对应法则下，范围一致得到，求出即为定义域；

D选项，利用配方得到结合，得到答案.

【详解】A选项，“”的否定是“”，A错误；

B选项，且，当时，，故函数（且）恒过定点，B正确；

C选项，由得：，故，解得：，C正确；

D选项，，且，

故，D正确.

故选：BCD

11. 下列命题为真命题的是（）

A. 函数的图象关于点，k∈Z对称

B. 函数是最小正周期为π的周期函数

C. 设θ为第二象限角，则，且

D. 函数的最小值为－1

【答案】AD

【解析】

【分析】根据正切函数的性质可知函数的图象得对称中心判断A；

由函数的图象判断B；

由，则，，分为偶数，为奇数两种情况检验C；

由，，，结合二次函数的性质可判断D；

【详解】解：根据正切函数的性质可知函数的图象关于点对称，故A正确；

函数的图象如下所示；

故B错误；

设是第二象限角即，则，

当为偶数，，成立，

当为奇数时，，，故C错误；

函数，，，则当时，函数有最小值，故D正确；

故选：AD

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的判断，解题的关键是要熟练掌握三角函数的性质并能灵活应用，其中B中的函数的周期的判断的方法是根据函数的图象，而不要利用周期定义，属于中档题．

12. 已知锐角满足，设，则下列判断正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】由条件判断，再根据函数的单调性，判断选项正误.

【详解】因为，为锐角，若，则，

，则，同理，与矛盾，

所以，A项正确；

所以，所以，B项正确；

同理可得，，所以，

所以是减函数，所以，C正确；

，D错误.

故选：ABC.

【点睛】根据，通过假设得到矛盾，由此得，比较出，，得.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知，且，函数的图象恒过点，若在幂函数图像上，则＝__________．

【答案】

【解析】

【分析】由，知，即时，，由此能求出点的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，即可求得答案.

【详解】，

，

即时，

∴点的坐标是

由题意令，

图象过点

得解得：

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了求幂函数值，解题关键是掌握判断对数函数恒过定点的方法和幂函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

14. 若，则___.

【答案】

【解析】

【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据利用两角差的余弦公式计算可得；

【详解】解：因为，

所以，

因为，所以，所以，因为，所以

所以

故答案为：

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于中档题.

15. 函数（ω>0）的图象在[0，1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为__________

【答案】≤ω<

【解析】

【分析】计算的取值范围，根据正弦在此范围内恰有两个最大值点，列出不等式，解出的取值范围.

【详解】因为，且，所以，

又因在上恰有两个最大值点，

所以，解得.

故答案为：.

16. 设表示，两者中较大的一个，已知定义在的函数，满足关于的方程有个不同的解，则的取值范围为_____

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得或，画出的图象，然后结合图象求解即可.

【详解】由，得或，

的图象如图所示，

因为关于的方程有个不同的解，

所以和与的图象共有6个不同的交点，

所以，解得，

所以的取值范围为，

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 化简求值

（1）

（2）［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］×

【答案】（1）1（2）

【解析】

【分析】（1）根据对数性质计算；

（2）运用三角函数的诱导公式和和差公式计算.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

原式

；

综上，（1）原式=1，（2）原式= .

18. 已知函数，.

（1）求函数的单调增区间；

（2）若≤对任意的恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将整理为，将整体对应的单调增区间，求出的范围即可；（2）将问题转化为，通过还原将问题转化为，；根据单调性求得，从而得到结果.

【详解】（1）

由得：

单调增区间为：

（2）由得：

当时，

令，则

，

又在单调递增   

【点睛】本题考查的单调区间的求解、与三角函数有关的恒成立问题.解决恒成立问题的关键是通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的关系，需要注意的是自变量的取值范围.

19. 如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．

（1）求的值和的大小；

（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．

【答案】（1）， ；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：

（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值．

试题解析：

(1)由条件得.

∴.

∴曲线段的解析式为.

当时，.

又，

∴,

∴.

(2)由(1)，可知.

又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.

设,,“矩形草坪”的面积为

.

∵，

∴,

故当，即时，取得最大值．

20. 已知函数，将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间内的最小值为

（1）求m的值；

（2）在锐角三角形ABC中，若g（）=，求sinA+cosB的取值范围.

【答案】（1）   （2）

【解析】

【分析】⑴根据二倍角公式化简，利用平移规律得出的解析式，根据最小值列方程求出

⑵根据条件求出，用表示出，化简得出关于的函数，根据的范围，正弦函数的性质得出的范围

【详解】⑴

，则

当时，取得最小值，

解得

⑵

,

，则

，即

是锐角三角形，

则，解得

，

即

的取值范围是

【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求解以及解三角形中的取值范围问题，运用辅助角公式、两角和的正弦公式进行化简，需要注意角的取值范围，有一定的计算量，属于中档题．

21. 已知函数，其中.如图是函数在一个周期内的图象，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，再向右平移个单位，向上平移1个单位，得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）将函数解析式化简，由图象得的解析式，进而得的解析式；

（2）换元令，，将条件转化为在上恒成立，令，对m分类讨论求得在上的最小值，可得m的取值范围.

【小问1详解】

.

由题意可知，点A的纵坐标为，因为为等边三角形，所以，即函数的最小正周期，，所以，

由题，.

【小问2详解】

，

由对任意恒成立，

即，

即对任意恒成立，

令，，即在上恒成立.

设，对称轴，

当时，即时，，令，解得，所以；

当时，即时，，令，解得（舍）；

当时，即时，，令，解得.

综上，实数的取值范围为.

22. 已知函数()为偶函数.

（1）求的值;

（2）若函数,，是否存在实数使得的最小值为0,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

【答案】（1）（2）存在使得最小值为0.

【解析】

【分析】（1）根据函数是偶函数，得，代入整理得，即对一切恒成立，即可求解的值；

（2）由（1）知，，令，则，分类求得函数的单调性和最小值，即可得到结论.

【详解】（1）由题意，函数是偶函数可得，

所以，

即，即对一切恒成立，解得 .

（2）由（1）知，，令，则，

①当时，在单调递增，∴，不符；

②当时，图像对称轴，则在单调递增，

∴，∴（舍）；

③当时，图像对称轴，

（i）当，即时，，∴，∴；

（ii）当，即时，，∴，∴（舍）

综上，存在使得最小值为0.

【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性与最值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的应用，以及利用换元法，合理分类讨论得出函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.