2022-2023学年甘肃省天水市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省天水市高一（上）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设：，：，则是成立的(    )

A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  已知，，则与向量共线的单位向量为(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

4.  已知正实数，满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  函数的单调递增区间是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，，则等于(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

7.  已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  “，”是“”的条件(    )

A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要

9.  定义集合的商集运算为，已知集合，，则集合中的元素个数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  设函数，，若实数，分别是，的零点，则(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知函数，实数、、满足，若实数是方程的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  函数的最小正周期为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  计算： ________

14.  已知函数，则______ ．

15.  已知函数，则的值为______．

16.  若定义域为的函数同时满足以下三条：
(ⅰ)对任意的总有
(ⅲ)若，，则有就称为“函数”，下列定义在的函数中为“函数”的有______
；

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知集合，．
求集合，；
若集合且，求的取值范围．

18.  本小题分
已知函数先将的图象向左平移个单位长度后，再将所得图象上点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．
Ⅰ当时，求函数的值域；
Ⅱ求函数在上的单调递增区间．

19.  本小题分
已知函数．
求函数的单调增区间；
若，，，求的值．

20.  本小题分
已知角的终边经过点，且，求和的值．
已知，，且，求角．

21.  本小题分
已知函数，．
判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
是否存在，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
已知函数为奇函数，其中为实数．
求实数的值；
若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础题．
先求出，然后再求即可求解．

【解答】

解：，，，
，
则，
故选C．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】

解：：，解得或；
若：成立，则：成立，
反之，若：成立，则：未必成立；
即是成立的充分不必要条件，
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：
设与共线的单位向量是，
则有，
解得：或，
故选：．
利用向量的坐标公式求出向量的坐标；利用向量共线的充要条件及单位向量的定义列出方程组，求出值．
本题考查向量的坐标公式、向量共线的充要条件、单位向量的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
，
当且仅当时，
即时取“”成立．
故选：．
直接利用关系式的恒等变换和均值不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：均值不等式成立的条件的应用，关系式的恒等变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：，得到，且在上递减，
而在上递减，
由复合函数单调性同增异减法则，得到在上递增，
故选：．
求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．
本题考查复合函数的单调性的判断与性质的应用，是基本知识的考查．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
平方可得，即，
，，
，可得：，解得：，或舍去，
，可得：．
故选：．
由条件利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得所给式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数，
在上是单调递增函数，且满足，
当时，恒有成立，
在恒成立，即在恒成立，
，，即实数的取值范围是．
故选：．
由题意可得在上是单调递增函数，且满足，再根据不等式在恒成立，可得在恒成立，即可得出答案．
本题考查了函数恒成立问题及函数的单调性，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：当，时，，
故，
当且仅当，即或时“”成立，是充分条件，
取，，显然满足，
故由，推不出，，
故不是必要条件，
故“，”是“”的充分不必要条件，
故选：．
根据充分必要条件的定义以及对数的运算性质判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查对数的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了集合的列举法，商集的定义，元素与集合的关系，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
可以求出，然后根据商集的定义即可得出，然后进行并集的运算即可求出集合中的元素个数．
【解答】
解：，，
，
，
集合中的元素个数为．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：函数，，
与在各自的定义域上为增函数，
，，
若实数，分别是，的零点，
，，
，，
故选：．
根据函数的解析式判断单调性，运用，，得出，，再运用单调性得出，，即可选择答案．
本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．
 

11.【答案】 

【解析】解：是上的减函数，
是上的增函数；
是上的减函数；
又，且；
，，；
或，，；
故；
故；
故不可能成立，
故选：．
可判断是上的减函数，从而可得，从而可得；从而解得．
本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的定义应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
【解答】
函数

，
最小正周期为，
故选：．  

13.【答案】 

【解析】

【解答】
解：

．
故答案为：．
【分析】
利用对数的性质和运算法则求解．
本题考查对数式的计算，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的灵活运用．  

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，函数，而，
则，
故答案为：．
根据题意，由函数的解析式可得，结合对数的运算性质计算可得答案．
本题考查函数的求值，涉及对数的计算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数，
，
故答案为：．
由题意，利用函数的解析式，求得函数的值．
本题主要考查根据函数的解析式，求函数的值，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在满足条件；也満足条件．
若，，，则成立，即满足条件(ⅲ)，故为“函数”，
在満足条件；也满足条件．
若，，，则，即满足条件(ⅲ)，故为函数．
 在不满足条件(ⅰ)，，则函数不是函数．
在満足条件；也满足条件(ⅱ)，
若，，，则，故不为函数
故“函数”的有，
故答案为：
根据“函数”的定义分别判断是否满足三个条件即可．
本题主要考查函数与方程的应用，结合“函数”的定义，分别判断三个条件是否满足是解决本题的关键．考查学生的推理能力．
 

17.【答案】解：集合或，
．
集合，
，
；
若集合，且，
，
若，则，得．
，解得；
当时，，解得；
综上，的取值范围是或． 

【解析】化简集合、，根据交集与并集和补集的定义计算即可；
根据题意知，讨论和时，分别求出的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，是中档题．
 

18.【答案】解：Ⅰ当时，，，
故函数，故函数的值域为．
Ⅱ将的图象向左平移个单位长度后，
可得函数的图象；
再将所得图象上点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，
得到函数的图象．
令，求得，
可得的增区间为，，
则当时，的增区间为， 

【解析】Ⅰ由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．
Ⅱ由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．
 

19.【答案】解：因为，
令，，
解得，
故函数的单调增区间为，，；
因为，，
所以，
因为，
所以，
所以． 

【解析】由已知结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求；
由已知代入先求出，然后结合两角差的余弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：角的终边经过点，且，，，
，．
由，得，．
由，得，再根据，可得，
所以，，
又，． 

【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值，可得点的坐标，从而得到和的值．
由题意先求出、的值，可得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：在上单调递减，
证明：，，且，
则，
，
，，，，
，
，
在上单调递减；
函数的定义域为，
若为奇函数，则恒成立，
即恒成立，
解得，
存在，使得为奇函数． 

【解析】利用单调性的定义直接证明即可；
假设存在，则恒成立，解出即可得出结论．
本题考查函数单调性及奇偶性的判断，考查推理论证能力，属于基础题．
 

22.【答案】解：因为函数为奇函数，
所以，即，
化简整理可得，
因为，所以，
解得．
，则，函数为奇函数，且在上单调递增，
所以不等式在上恒成立，
等价于在上恒成立，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，即有在恒成立，
当时，，即；
当时，，
由在递减，可得，，
可得，即；
在时，，
由在递减，可得，
即有，
可得，即．
综上可得，的取值范围是 

【解析】由奇函数的性质可得，化简整理，结合恒等式的性质，可求得的值；
首先判断函数为奇函数，且在上单调递增，由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，运用换元法和指数函数的单调性，结合对勾函数的单调性，可得最值，进而得到所求范围．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．