2022-2023学年广东省广州市从化区第三中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市从化区第三中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用交集的运算得解.

【详解】因为集合，，

所以.

故选：A.

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数的真数大于0，分母不为0，偶次根下大于等于0，列出相应的不等式方程组进行求解.

【详解】由已知得，，解得，故定义域为.

故选：A

3．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别将，，与和进行比较即可.

【详解】∵在上单调递增，

∴，即，

∵在上单调递减且值域为，

∴，即，

∵在区间上单调递增，

∴，即，

综上所述，，，的大小关系为.

故选：B.

4．若角的终边经过点，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，结合三角函数的定义求解三角函数值，然后求解两者之差即可.

【详解】由三角函数的定义可得：，，

则.

故选：D

5．已知函数且，则x的值是（    ）

A．1 B． C．1或 D．2或1

【答案】C

【分析】分，解方程，求得x的值.

【详解】当时，，解得；

当时，，解得；

所以x的值是1或，

故选：C.

6．方程的解所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，确定其单调性，结合零点存在定理得到结论.

【详解】令，显然单调递增，

又因为，

由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，

所以的根所在区间为.

故选：C

7．如图是函数的部分图象，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先由最小正周期确定的值，然后确定的值即可.

【详解】由函数图象可知函数的最小正周期，则，

且当时，，

据此可得：，令可得.

故选：A.

8．对于函数，下列结论中，正确的是（    ）．

A．的图象是由的图象向右平移个长度单位而得到

B．的图象过点

C．的图象关于点对称，

D．的图象关于直线对称．

【答案】C

【分析】根据图像平移的表达式变化即可判断A选项；根据点代入法即可判断选项B；根据图像的对称轴公式即可判断C选项；根据图像的对称点公式即可判断D选项.

【详解】对于选项A：的图象是由的图象向右平移个长度单位而得到，

故选项A错误；

对于选项B：

当时，，

故选项B错误；

对于C选项：

令，

解得，

所以的图象关于点对称，

故选项C正确；

对于选项D：

令，

解得，

故选项D错误；

故选：C.

二、多选题

9．下列四个角为第三象限角的是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据角的大小及终边相同的角判断角所在的象限.

【详解】2弧度角为第二象限角；与的终边相同，为第三象限角；为第三象限角；为第二象限角；

故选：BC

10．设集合，若，则a的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】由求出a的范围，确定a的可能取值.

【详解】因为，如图：

所以，所以， 故a的可能取值为，.

故选：CD.

11．下列命题中正确的是（    ）

A．“”是“”的必要条件

B．命题“”的否定是“”

C．函数是奇函数，且在上是增函数

D．将函数图像上所有的点向左平移个单位长度可得到函数的图象

【答案】AC

【分析】根据不等式性质即可求解A选项，根据特称命题的否定即可求解B选项，根据幂函数的性质即可求解C选项，根据函数图像的平移特点即可求解D选项.

【详解】对于A：因为，而根据题意，两边同时除以得，所以“”是“”的必要条件，故选项A正确;

对于B：命题“”的否定应为“”，故选项B错误;‘

对于选项C:因为,所以,所以函数是奇函数，根据幂函数的性质，对于，时函数在第一象限内为增函数，又函数是奇函数，且在处有定义，所以在上是增函数，故选项C正确；

对于选项D:将函数图像上所有的点向左平移，得到函数的图象，故选项D错误；

故选：AC.

12．已知函数，则（    ）

A．是奇函数 B．的最小正周期为

C．在上是增函数 D．的图象关于点对称

【答案】ABC

【分析】，根据奇偶函数的定义及最小正周期公式判断A，B选项是否正确；

在C中：根据的范围判断在上的单调性；

在D中，根据对称中心处的函数值为0判断是否正确.

【详解】，是奇函数，且最小正周期为，故A，B正确；

当时，，因为在上为增函数，故在上是增函数，C正确；

当时，，故点不是的图象的对称中心，D错误；

故选：ABC.

三、填空题

13．已知半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为___________．

【答案】

【分析】根据扇形的面积公式的弧度制表示即可求解.

【详解】，

扇形的面积.

故答案为：.

14．已知函数，则___________．

【答案】##－0.5

【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结果．

【详解】由函数   得＝ ，

即，

故答案为：．

15．已知，且是第三象限角，则________________．

【答案】

【分析】先利用诱导公式求出，再根据平方关系求出，再根据两角和得正弦公式即可得解.

【详解】解：因为，

所以，

又是第三象限角，所以，

所以.

故答案为：.

16．已知函数且的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值为____________．

【答案】2

【分析】根据函数恒过定点求出，使用基本不等式中“1”的代换求的最小值.

【详解】∵函数且的图象恒过定点A，

∴当时，，∴，又点A在一次函数的图象上，

∴，又，

∴，（当且仅当时取“”），

故答案为：2.

四、解答题

17．计算下列各式

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）根据指数幂运算求解；（2）根据对数运算求解.

【详解】（1）

（2）

18．化简求值

(1)已知，求的值

(2)已知，且．求

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）先求得，再由倍角公式求的值；

（2）先求得的值，再求得的值，从而可求得的值.

【详解】（1）由得，

因为，所以，，

故.

（2）因为，所以 ，

所以

所以

因为，所以.

19．已知函数.

(1)判断的奇偶性并证明；

(2)判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)在区间上单调递减，证明见解析

【分析】（1）根据奇函数的定义进行判断证明即可；

（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可.

【详解】（1）函数为奇函数，理由如下：

函数的定义域为，

对任意的，

所以是奇函数；

（2）在区间上的单调递减，理由如下：

对任意，且，

，

因为在单调递增，且，所以，

所以，

所以在区间上的单调递减.

20．美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.

（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；

（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.

【答案】（1）生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式分别为， ，（2）9千万元

【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式，

（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解

【详解】解：（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为，

对于生产芯片的，因为函数图像过点，所以

，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为 ，

（2）设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利用

，

所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元

21．已知函数.

(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间；

(2)当，时，恒成立，求a的最大值.

【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，

(2)最大值为0

【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简为，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间,（2）根据的范围可求，进而可求的值域，故可求的范围.

【详解】（1）

故函数的最小正周期.

由得.

∴函数的单调递增区间为，.

（2）∵，∴，

∴，.

由恒成立，得，即.故a的最大值为0.

22．函数，

(1)求函数的定义域；

(2)求函数的零点；

(3)若函数的最小值为，求的值

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用对数型复合函数的定义域求解即可；

（2）根据零点的定义结合对数的基本运算即可求解；

（3）利用对数函数的单调性即可求解.

【详解】（1）解：

要使函数有意义，则，解得：

所以函数的定义域为：

（2）解：

令，得：

即

解得：

因为

所以函数的零点为.

（3）解：

且函数的最小值为

即，得

即.