2022-2023学年山东省淄博市淄博第四中学高一上学期期末数学试题（解析版）

淄博四中2022级高一上学期期末线上考试

数学试题

一、单项选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知集合，B={3，4，5，6}，则（）

A. {1，3} B. {3} C. {3，4} D. {3，5}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集的概念即可求出结果.

【详解】由已知可得，

故选：B.

2. 命题“”的否定形式是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出否定形式即可.

【详解】命题“”的否定形式是 “”，

故选：D

3. 已知幂函数图象过点，则

A. 3 B. 9 C. -3 D. 1

【答案】A

【解析】

【详解】设幂函数f（x）=xα，把点（3，）代入得，3α=，解得α=，

即f（x）==，所以f（9）==3，故选A．

4. 函数的零点是（）

A. 1，-4 B. 4，-1 C. 1，3 D. 不存在

【答案】B

【解析】

【分析】令，根据函数的零点与方程的根的关系，解之即可求解.

【详解】令，也即，

解得：或，所以函数的零点为，

故选：.

5. 函数，其中，则函数的值域为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性求得正确答案.

【详解】，

在上递增，

所以.

故选：C

6. 函数的零点所在区间为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合的单调性以及零点存在性定理求得正确选项.

【详解】在上递增，

，

，

，所以的唯一零点在区间.

故选：C

7. 函数的值域是（）

A B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先配方，求出函数的单调区间，即可求出值域.

【详解】令，配方得,

∴函数在上单调递减，在单调递增，

又，∴，，

故函数的值域是，

故选：B

【点睛】本题考查二次函数的值域，属于基础题.

8. 已知，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】运用中间量比较，运用中间量比较

【详解】则．故选B．

【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

9. 函数图像大致是

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】依题意，，函数为减函数，且由向右平移了一个单位，故选.

点睛：本题主要考查对数函数的图像与性质，考查图像的平移变换.对于对数函数，当时，函数为减函数，图像过，当时，函数为增函数，图像过.函数与函数的图像可以通过平移得到，口诀是“左加右减”.在平移过程中要注意原来图像的边界.

10. 已知函数，若，则（）

A. -2 B. 2 C. -3 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，再由得到关于的方程，从而可求的值.

【详解】，故，故，

故选：B.

11. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

12. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由可得或，数形结合可方程只有解，则直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围.

【详解】由可得或，

当时，；当时，.

作出函数、、的图象如下图所示：

由图可知，直线与曲线有个交点，即方程只有解，

所以，方程有解，即直线与曲线有个交点，则

故选：A.

二、多项选择题（本题5小题，每题6分，共30分）

13. 下列函数中在区间上单调递减的函数有（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项根据幂函数的性质判断；B选项根据对数函数图像的平移变换判断；

C选项根据函数整体绝对值是将下方的图像翻折到上方判断；D选项根据指数函数图像的平移变换判断；

【详解】A选项:根据幂函数中时在上单调递增，故此选项不符合题意；

B选项:将图像向左平移一个单位，所以在上单调递减，所以符合题意；

C选项:保留图像在轴上方的部分，轴下方图像翻折到轴的上方，根据图像可知在上单调递减，上单调递增，符合题意；

D选项：的图像由指数函数图像向左平移一个单位得到，且底数大于1，所以在R上单调递增，所以不符合题意。

故选：BC

14. 已知，则下列不等式一定成立的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】确定，取特殊值排除B，再根据函数的单调性和不等式性质依次判断即可.

【详解】，故，

对选项A：，同时除以得到，正确；

对选项B：取，，，错误；

对选项C：，正确；

对选项D：，，故，正确；

故选：ACD

15. 已知函数（，且）的值域为，函数，，则下列判断正确的是（）

A.

B. 函数在上为增函数

C. 函数在上的最大值为2

D. 若，则函数在上的最小值为-3

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，由指数函数的性质结合函数的值域可求出的范围，对于B，对函数化简后由对数函数的单调性进行判断，对于CD，由函数的单调性可求出函数的最值.

【详解】对于A，因为函数的值域为，且为偶函数，当时，，

所以，所以A正确，

对于B，，，

由，可知和在上单调递减，

所以函数在上为减函数，所以B错误，

对于C，由选项B可知在上为减函数，所以，所以C正确，

对于D，由选项B可知在上为减函数，所以当时，

，所以D正确，

故选：ACD.

16. 已知函数，实数，满足，则（）

A.  B. ，，使得

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.

【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．

由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．

故选：CD．

17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的x的可能取值是（）．

A.  B.  C.  D. 2

【答案】AC

【解析】

【分析】在同一坐标系中画出和的图象，由已知可知的图象与的图象交于和两点，然后根据图象可求出的解集，从而可得答案

【详解】因为函数是定义在上的奇函数，

由题意，画出函数在上的图象，在同一坐标系内画出的图象，

因为，所以，

又，

所以的图象与的图象交于和两点，

，即为，

由图象可得，只需或，故A，C可能取到，

故选：AC．

三、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）

18. 函数的定义域为________．

【答案】

【解析】

【分析】利用对数函数的定义域及根式有意义求解即可.

【详解】由根式有意义及对数真数部分大于0可得，

解得，

故答案为：

19. 已知是奇函数，且当时，.若，则__________.

【答案】-3

【解析】

【分析】当时，代入条件即可得解.

【详解】因为是奇函数，且当时，．

又因为，，

所以，两边取以为底的对数得，所以，即．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．

20. 已知函数，若，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据分段函数解析式，分段讨论，利用指数函数，对数函数性质解不等式，然后取并集即得.

【详解】当，

当，

故.

故答案为:

21. 某火电厂对其使用的燃煤进行精细化碳排放污染物控制，产生的废气经过严格过滤后排放，已知过滤过程中废气的剩余污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：小时）之间的关系式为其中为废气中原污染物总量，k为常数．若过滤开始后经过3个小时废气中的污染物被过滤掉了原污染物总量的50%，那么要使废气中剩余污染物含量不超过5%，过滤开始后需要经过n小时，则正整数n的最小值为_______．（参考数据：，）

【答案】13

【解析】

【分析】由题求出值，再令，求出对应n值即可.

【详解】由题可知，解得，故，

若，即，，

故正整数n的最小值为13.

故答案为：13

四、解答题（本题共3小题，共40分）

22. 已知不等式的解集为（用区间表示）.

（1）求区间；

（2）在区间上，函数图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）解指数不等式，得解集为用区间表示；

（2）区间上，函数图像恒在直线的上方，等价于在区间上恒成立，问题转化为求最值.

【小问1详解】

不等式等价于，所以，即，解得，所以区间.

【小问2详解】

在区间上，函数图像恒在直线的上方，得不等式在上恒成立，即在上恒成立，结合，，所以，实数a的取值范围为.

23. 已知函数的图像过点和．

（1）求此函数的表达式；

（2）已知函数，若两个函数图像在区间上有公共点，求t的最小值．

【答案】（1）

（2）2

【解析】

【分析】（1）将点带入，即可求解.

（2）问题转化为在上有解，求出函数的最小值，即可求解.

【小问1详解】

由题意解得

所以．

【小问2详解】

由（1），在上有解，则

函数在严格单调递增，

所以当时，取最小值2．

所以，即：t的最小值为2．

24. 已知函数的表达式为．

（1）若，，求的值域．

（2）当时，求的最小值．

（3）对于（2）中的函数，是否存在实数m、n，同时满足：①；②当的定义域为[m，n]时，其值域为？若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）

（2）

（3）不存在满足条件的实数m、n，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由，利用的范围可得的范围可得答案；

（2）令，函数可转化为，分、、讨论可得答案；

（3）利用的单调性，得到，两式相减可得答案．

【小问1详解】

当时，由，得，

因为，所以，．

【小问2详解】

令，因为，故，函数f（x）可转化为

，

①当时，；

②当时，；

③当时，．

综上所述，.

【小问3详解】

因为，，在R上是严格减函数，

所以在上的值域为，

又在上值域为，所以，即，

两式相减，得，因为，所以，

而由，可得，与矛盾．

所以，不存在满足条件的实数m、n．