2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高一（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高一（上）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若是方程的根，则下列选项正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若函数的定义域为，则函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  设，函数，则使的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数的定义域为，为整数，值域为，则满足条件的整数对共有对．(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列命题错误的是(    )

A. 若，且，则，，
B. 若，且，则，，
C. 函数的最小值为
D. 若，则

10.  下列函数是奇函数且在上是增函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知函数，若函数恰有两个零点，则实数不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数若关于的方程有个不同的实根，则实数可能的取值有(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  函数且的图象恒过定点，则点的坐标为______．

14.  函数的单调递减区间是______．

15.  已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是______．

16.  函数，若对于任意，，当时，都有，则实数的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简求值需要写出计算过程．
；
 

18.  本小题分
已知集合，不等式的解集为集合．
当时，求；
设命题：，命题：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19.  本小题分
科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，秒后染料扩散的体积是，秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积与时间单位：秒的关系有两种函数模型可供选择：，，其中，均为常数．
试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒．

20.  本小题分
已知函数的定义域为，且满足以下条件：对任意，有；对任意，，有；．
求证：在上是增函数；
若，求的取值范围．

21.  本小题分
已知是定义在上的奇函数．
求的解析式；
已知，且，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围．

22.  本小题分
设函数．
判断函数的奇偶性；
证明函数在上是增函数；
若，是否存在常数，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，先求出集合，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：命题“，”为真命题，
，解得，
即实数的取值范围是．
故选：．
根据命题“，”为真命题，可得，再求出的取值范围．
本题主要考查了不等式不等式恒成立问题，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：令，，
显然函数为增函数，又，，
故存在使得．
故选：．
利用零点存在性质定理，结合函数的单调性判断即可．
本题考查函数的零点存在性定理，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，则对于函数，
应有，求得且，
故的函数的定义域为，
故选：．
由题意，结合函数的定义域的定义，可得，由此求得的范围，即为所求．
本题主要考查函数的定义域的定义，求抽象函数的定义域，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
因为，
所以，
又，
所以，
故选：．
由对数函数的性质可得，由指数函数的性质，从而可得结论．
本题主要考查对数值大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为命题：，则，得，且命题：，
又是的充分不必要条件，则表示的集合是表示的集合的真子集，
则，得，
故选：．
根据充分不必要的定义以及集合间的关系可解．
本题考查充分不必要的定义以及集合间的关系，属于基础题
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，函数，
若，则，
则，即，
所以或舍，
解得
故选：．
由已知结合对数函数与指数函数的单调性即可求解．
本题主要考查了指数函数及对数函数的单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数 的定义域为，为整数，值域为，
当时，函数减函数，当时，为增函数．
由得，可得，即，得；
由，可得，即，得，
即，或至少有一个．
若，则，或或，即，，
若，则，或或，即，，
则满足条件的整数对共对，
故选：．
根据函数的解析式判断函数的单调性，根据值域求出对应的取值，然后进行讨论即可．
本题主要考查函数值域的应用，根据分类讨论结合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于：若，且，则，，，当时满足，故A正确；
对于：若，且，则，，，当时不成立，故B错误；
对于：的最小值为，当时，不存在最小值，故C错误；
对于：若，则，则，故D正确．
故选：．
对于，取值验证即可，对于根据对数的性质即可判断．
本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，由幂函数的性质可知，为奇函数，且在上为增函数，符合题意；
对于，由于，则不为奇函数，不合题意；
对于，当时，，则不为奇函数，不合题意；
对于，，则为奇函数，
又在上为增函数，在上为减函数，则在上为增函数，符合题意．
故选：．
由函数的奇偶性和单调性逐项分析判断即可．
本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
则函数的图象，如图所示：

函数恰有两个零点，即有两个实数根，转化为的图象与有两个交点，
由图象得，
又当时，，由图象得，或，符合题意，
故实数的取值范围为，
故选：．
根据分段函数的性质，作出函数的图象，题意转化为的图象与有两个交点，利用数形结合法，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质和函数的零点与方程的根的关系，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：作函数的图象如下，
，
若关于的方程有个不同的实根，
则方程有个不同的实根，，
且，或，或，；
若，则，
，
此时，，
故或；
故不满足题意；
若，则，
，
此时，，
故或；
故满足题意；
若，；
令，
则，
解得；
综上所述，
实数的取值范围为，，
故选项A、符合题意；
故选：．
作函数的图象，结合图象，原问题转化为方程有个不同的实根，，且，或，或，；利用二次方程根的分布求解即可．
本题考查了分段函数及二次方程的根的分布的问题，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：对于函数且，令，求得，，
可得它的图象恒过定点，
故答案为：．
令幂指数等于零，求得、的值，可得函数的图象经过定点的坐标．
本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数的单调递减区间，即函数大于零时的增区间．
再根据二次函数的性质可得函数大于零时的增区间为，
故答案为：．
由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得结果．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数与图象上存在关于轴有对称的点，
就是有解，
也就是函数与函数有交点，
在同一坐标系内画函数与函数的图象：

函数的图象是把由函数的图象向左平移
且平移到过点后开始，两函数的图象有交点，
把点代入得，，，
，
故答案为：
函数与图象上存在关于轴对称的点，就是有解，也就是函数与函数有交点，在同一坐标系内画函数与函数的图象，结合图象解题．
本题主要考查函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，体现了数形结合的思想．
 

16.【答案】 

【解析】解：不妨设，
因为对于任意，，当时，都有，
所以在上恒成立，
令，则在上恒成立，
即在上单调递增，
当时，显然符合题意，
当时，由题意可得，
解得，
综上，．
故答案为：
已知不等式进行变形，然后构造函数，问题转化为在上单调递增，结合基本初等函数的单调性对的正负进行分类讨论可求．
本题主要考查了由函数单调性求解参数范围，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】利用指数性质、运算法则直接求解．
利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．
本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
 

18.【答案】解：因为集合，
又，则，得，则，
当时，集合，
则，
因为命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则，
则，则，
则的取值范围为． 

【解析】根据集合间的运算可解．
根据充分不必要的定义可解．
本题考查充分不分必要的定义，属于基础题．
 

19.【答案】解：因为染料扩散的速度先快后慢，所以选择第二个模型，
即，
由题意得，，
解得，
．
令，即，整理得，即，解得，
所以若染料扩散的体积达到，至少需要秒． 

【解析】因为染料扩散的速度先快后慢，所以选择第二个模型，再根据题意列方程组即可求解；
根据题意列不等式，即可求解．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
 

20.【答案】证明：任取，，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以在上是增函数；
解：因为在上是增函数，
，即，
所以，所以，
所以的取值范围是． 

【解析】利用增函数的定义即可得证；
利用增函数的性质将不等式脱去“”，即可求解的范围．
本题主要考查抽象函数单调性的证明，不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：函数在上是奇函数，
，
，
经检验符合要求，
；
由题意，
，
令，
在上单减，
对上，
，
又存在，使成立，
当时，，
，
又，
，
当时，，
，
，
又，，
综上，的范围为． 

【解析】根据题意得到，即可求解；
由题意，，令，得到对上，分和两种情况即可求解．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
 

22.【答案】解：根据题意，函数，其定义域为，
有，
则函数为偶函数；
证明：设，则，
设，
则有，
又由，则，，
则，
即函数在上是增函数，
而在上是增函数，
故函数在上是增函数；
假设存在常数，，符合题意，
又由函数在上是增函数，则有，变形可得，
故、是方程的两个根，
对于方程，变形可得，
设，若，则，
故有两个大于的不等实数根，
又由，则方程的两个根异号，故假设不成立，
则不存在常数，，使函数在上的值域为． 

【解析】根据题意，先分析函数的定义域，再分析与的关系，由函数奇偶性的判断方法分析可得结论；
根据题意，设，利用作差法分析的单调性，又由复合函数单调性的判断方法分析可得结论；
假设存在常数，，符合题意，结合函数的单调性可得，变形可得，由此可得、是方程的两个根，分析方程方程的两个根的情况，即可得结论．
本题考查函数与方程的关系，涉及复合函数的单调性，属于中档题．