2022-2023学年天津大学附属中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年天津大学附属中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合A，B，再求两集合的并集，然后可求出其补集.

【详解】因为，

所以，

因为全集，

所以，

故选：C

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；

【详解】解：命题“，”为存在量词命题，其否定为：，；

故选：C

3．下列各组函数与的图象相同的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据相等函数的定义即可得出结果.

【详解】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.

A：的定义域为R，的定义域为，故排除A；

B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；

C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；

D：与的解析式不相同，故排除D.

故选：B

4．已知，则“"是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【答案】A

【分析】由“"成立可推出即得，反之，由推不出成立，由此可得答案.

【详解】由“"成立可推出，继而可得到；

当时，比如，推不出成立，

故“"是“”的充分不必要条件，

故选：A

5．函数的零点所在的大致范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】判断给定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答.

【详解】函数的定义域，且在上单调递增，

，A，C不是；

，B不是；

，D是.

故选：D

6．设，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合临界值即可得解.

【详解】因为在上单调递减，

所以，

因为在上单调递减，且恒成立，

所以，

因为在上单调递减，

所以，

综上：.

故选：A.

7．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式和两角和与差的正弦公式即可求解.

【详解】

.

故选：C.

8．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据反向平移，先将的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍即可得到．

【详解】将的图象先向左平移个单位长度得到，

再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍得到，

所以．

故选：B．

9．若角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可求得，利用同角的三角函数关系结合二倍角公式化简，代入求值，可得答案.

【详解】根据角的终边经过点，得，

又,

故选:C.

另解：根据三角函数的定义，得，，

所以，

所以，

故选：C.

10．已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为为偶函数，所以,等价于.

又因为在上单调递增，所以，解得.

故选：B.

点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.

11．在中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】在三角形中运用内角和定理和两角和的正弦公式可得所求．

【详解】∵在中，，

∴，

∴

．

故选A．

【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时要灵活运用三角形内角和定理得到各角间的关系，然后再借助公式求解，属于基础题．

12．已知函数 在上对任意的都有成立，则实数a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意知函数是R上的单调递增函数，利用增函数的性质建立不等式，求出a的取值范围即可．

【详解】因为在R上对任意的都有成立，可以知道函数是R上单调递增函数，

则函数满足，解得.

故选为B.

【点睛】本题考查了函数的单调性，及指数函数与一次函数的性质，属于中档题．

二、填空题

13．__________．

【答案】##

【分析】根据三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值，即可得答案.

【详解】由题意得，

故答案为：

14．不等式的解为___________.

【答案】

【分析】将不等式转化为，再结合二次函数的性质即可求出解集.

【详解】由题意，，即求解不等式，解得，所以不等式的解集为.

故答案为：

15．__________.

【答案】8

【分析】利用指数运算法则、对数运算法则直接计算作答.

【详解】.

故答案为：8

16．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数是___________．

【答案】或4

【详解】试题分析：设扇形半径为，弧长为，则由题意，解得或，所以或，所以答案应填：或4．

【解析】1、扇形面积公式；2、角的弧度数定义．

17．函数的定义域是__________．

【答案】

【分析】根据函数解析式，列出相应的不等式组，解不等式可得答案.

【详解】由题意得函数要有意义，

需满足 ，即，解得 ，

即函数的定义域是，

故答案为：

18．已知，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】由已知条件构造出，然后与相乘，构造出基本不等式，利用基本不等式即可.

【详解】因为，

所以，

又，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为：，

故答案为：.

三、解答题

19．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，函数图象为抛物线的一部分

(1)请画出函数当时的图象；

(2)写出函数的解析式，值域，增区间．

【答案】(1)图象见解析

(2)，的值域为，增区间为，.

【分析】（1）根据偶函数的性质可作时的图象.

（2）根据函数图象可得时函数的解析式，根据偶函数的性质可求，结合图象可求其值域和增区间.

【详解】（1）时函数的图象如图所示：

（2）由题设中的图象可得，有两个解，它们分别为，

故可设，而，

故，解得，故当时，.

而当时，，，

因为偶函数，故，

所以.

从题设的函数图象可得，当时，的取值范围为，

因为为偶函数，故的值域为，

当时，在上为增函数，在为减函数，

因为为偶函数，故在上为减函数，在为增函数，

故的增区间为，.

20．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）由同角三角函数的关系求出，再由可求出的值，再由正弦的二倍角公式可求出；

（2）利用两角差的正弦公式可求得结果.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

；

（2）因为，，

所以

.

21．已知函数．

(1)求的最小正周期和对称中心；

(2)求函数的单调减区间；

(3)求函数在区间上的取值范围．

【答案】(1)，对称中心为

(2)

(3)

【分析】（1）根据三角恒等变换公式，将函数化简，即可得到最小正周期和对称中心；

（2）由，求解即可得到其单调减区间；

（3）由的范围，结合正弦函数的图像，即可得到函数在区间上的取值范围.

【详解】（1）因为函数

则的最小正周期

令，解得

则的对称中心为

（2）由

解得

所以函数的单调减区间为

（3）由可得

所以

所以，

所以函数在区间上的取值范围为