2022-2023学年浙江省温州市乐清外国语学校高一上学期期中数学试题

2022-2023学年第一学期浙江省温州市乐清外国语学校

高一期中考试数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若正数a、b满足，则ab的最大值为（    ）

A.5   B.6   C.7   D.9

2.已知，，则的最小值为（    ）

A.2   B.3   C.4   D.5

3.若，则的最小值等于（    ）

A.6   B.9   C.4   D.1

4.已知，，且，则的最小值是（    ）

A.10   B.15   C.18   D.23

5.下列各题中结论正确的是（    ）

A.当时，    B.当时，

C.当时，  D.当时，

6.已知，则的最小值是（    ）

A.   B.   C.   D.2

7.若，且，则的最小值为（    ）

A.3   B.   C.   D.

8.已知，且，若不等式恒成立.，则的最大值为（    ）

A.3   B.4   C.5   D.6

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.设且，则下列不等式正确的是（    ）

A.   B.

C.   D.

10.已知正实数a，b满足，则（    ）

A.   B.   C.   D.

11.已知a，b为正数，，则（    ）

A.的最大值为   B.的最小值为3

C.的最大值为  D.的最小值为

12.若a，b均为正数，且，则下列结论正确的是（    ）

A.的最大值为   B.的最小值为9

C.的最小值为  D.的最小值为

三、填空题（共4小题，满分20分）

13.若，，，则的最小值为_________.

14.若，则，的最小值为_________.

15.a，b均为正实数，则的最小值为_________.

16.若正实数x，y满足，则的最大值是_________.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少?

18.已知x，y都是正数，且.

（1）求的最小值；

（2）求的最小值.

19.已知正数a、b满足.

（1）求的最小值；

（2）求的最小值.

20.已知x，y为正实数，且满足.

（1）若恒成立，求m的最小值；

（2）证明：.

21.合肥一中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.

（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；

（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定海报矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值.

22.已知正实数a、b满足.

（1）求的最小值；

（2）求的最小值；

（3）求的最小值.

参考答案

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.【分析】利用基本不等式即可得出的最大值.

【解答】解：∵正数a，b满足，∴，当且仅当时取等号.

则的最大值为9.故选：D.

2.【分析】，由基本不等式可知，即可得最小值.

【解答】解：因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，

故选：D.

3.【分析】由，利用基本不等式即可求解.

【解答】解：由，得，

∵，当且仅当，

即时，等号成立.

故选：B.

4.【分析】由题意化简可得，再化简，从而利用基本不等式求最值.

【解答】解：∵，，，∴，

∴，

（当且仅当，即，时，等号成立）

故选：C.

5.【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及函数的单调性，即可求解.

【解答】解：当时，，当且仅当，即时等号成立，

∵且，∴的最小值为2不成立，故A、D错；

当时，，，当且仅当时，等号成立，故B正确；

当时，，因此当时，即时有最小值，

而，故C错误，

故选：B.

6.【分析】化简，结合，利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：∵，∴，

∴

（当且仅当，即时，等号成立）.

故选：A.

7.【分析】先把转化为，再将，根据基本不等式即可求出.

【解答】解：∵，且，∴，

∴

，

当且仅当，即，时取等号，

故的最小值为，

故选：D.

8.【分析】恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，由此即可求解.

【解答】解：，且，则，当且仅当时取等号，∴，∵，∴的最大值为3，故选：A.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.【分析】作差可知A正确，由基本不等式可知D正确；举例说明B、C错误即可.

【解答】解：∵，∴，故A正确；

当时，，，故B错误；

当时，，，故C错误；

∵，∴，，故，（当且仅当，即时，等号成立），

故D正确；

故选：AD.

10.【分析】利用基本不等式依次判断各选项即可.

【解答】解：对于A，B选项：由，即，解得，则，当且仅当时，取等号，∴A正确：则B选项错误；

对于C选项：由，可得，那么，当且仅当时，取等号，∴C正确；

对于D选项：，，∴，即，

∴，即，当且仅当时，取等号；

∴D正确；

故选：ACD.

11.【分析】对于A，直接利用公式，即可求解，

对于B，根据已知条件，利用“1”代换来求解，

对于C，利用公式，即可求解，

对于D，利用选项A和选项B的结论，即可求解.

【解答】解：对于A，∵，，

∴，当且仅当时，等号成立，

对于B，∵

，

当且仅当时，等号成立，故B正确，

对于C，

当时，即时等号成立，显然等号不成立，故C错误，

对于D，∵

，故D错误.

故选：AB.

12.【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及二次函数的性质，即可求解.

【解答】解：∵a，b均为正数，且，

∴由基本不等式可得，，解得，当且仅当，即，时等号成立，故A选项正确，

，当且仅当，即时等号成立，故B选项正确，

，，

结合二次函数的性质可知，，故D选项正确，

结合二次函数的性质，，故C选项错误.

故选：ABD.

三、填空题（共4小题，满分20分）

13.【分析】由，，化简为，利用基本不等式求解即可.

【解答】解：由，，，

则

（当且仅当，时，取“=”）即的最小值为2.

故答案为：2.

14.【分析】根据基本不等式即可求出.

【解答】解：∵，∴，

∴

当且仅当时，等号成立，

故答案为：24.

15.【分析】利用换元法设，，代入所求式子整理后利用基本不等式即可求解.

【解答】解：设，，

解得：，，

所以，

当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.

故答案为：.

16.【分析】由题意可将已知式变形，再利用基本不等式即可求得.

【解答】解：由题意可得，

所以有，

当且仅当且时，取得最大值4.

故答案为：4.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.【分析】先求出，再利用基本不等式求最值即可.

【解答】解：设场地一边长为，则另一边长.

因此新墙总长度，∵，

当且仅当，即时取等号，

∴当时，函数取得最小值.∵，，

故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省.

18.【分析】（1）利用“1”的代换将式子变形，再利用基本不等式求出最小值即可；

（2）先将所求式子中的1用代换，展则，从而利用基本不等式求出最小值即可.

【解答】解：（1）由，，，得，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为9.

（2），又，，所以，所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为3.

19.【分析】（1）利用乘1法，展开后结合基本不等式即可求解；

（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得，利用基本不等式可求.

【解答】解：（1）因为，所以.又因为a、b是正数，所以

当且仅当时等号成立，故的最小值为9.

（2）因为且a、b为正数，所以，，所以，，

则

当且仅当、时等号成立，故的最小值为16.

20.【分析】（1）由，结合题意可得，进而求解；

（2）先证明再根据即得证.

【解答】解：（1）∵，，，

∴由基本不等式得，当且仅当时取等号，

∵恒成立，∴，故实数的最小值为.

（2）证明：∵

，当且仅当时取等号，得证.

21.【分析】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，可得整个矩形广告面积，再利用基本不等式，即可求得最值.

（2）由题意得，，求得的范围，由（1）可得，函数确定为减区间，即可得到何时取得最小值.

【解答】解：（1）设矩形栏目的高为，宽为，

则，所以，广告的高为，宽为（其中，），

广告的面积

，

当且仅当，即时，取等号，

此时.故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm，时可使广告的面积最小为.

（2）由题意得，，，解得，

由（1）可得，当时，广告的面积最小为.

故当广告矩形栏目的高为100cm，宽为200cm，可使广告的面积最小为.

22.【分析】首先作下列变形：，即，，，，，

（1），展开后利用基本不等式可求得最小值；

（2），再利用基本不等式可求得最小值；

（3），再利用基本不等式可求得最小值.

【解答】

解：，即，，，，，

（1）因为、是正实数，所以

当且仅当时等号成立，故的最小值为4；

（2）因为，，所以，，

则.

当且仅当，时等号成立，故的最小值为25；

（3）因为，，，

所以

当且仅当，时等号成立，故的最小值为.