2022-2023学年天津市海河名校高三上学期期末数学试题（解析版）

2022—2023第一学期高三数学期末质量调查

一、单选题（本大题共9小题，共45分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 集合，则（）

A B.  C.  D.

2. 设a，，则“”是“”的（）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知，则大小关系为（）

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数，则的大致图像正确的是（）

A.  B.

C.  D.

5. 在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数，给出以下四个命题：

①的最小正周期为；

②在上的值域为；

③图像关于点中心对称；

④的图像关于直线对称．

其中正确命题的个数是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. F1、F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

A.  B.  C.  D.

8. 已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 已知函数，若关于的方程有四个不等实根．则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

10. 若复数满足为虚数单位），则复数的虚部是___．

11. =_____________．

12. 已知的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是_______．

13. 若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________.

14. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为________．

15. 在四边形中，，，，，为的中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____．

三、解答题（本大题共5小题，共75．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知的内角的对边分别为，满足已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求的值；

（3）若的面积为，，求的周长.

17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点.

（1）若，求证：直线平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值；

（3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

18. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，．

（1）求数列和通项公式；

（2）记，，求数列的前项和；

（3）记，，证明数列的前项和．

19. 已知椭圆的离心率，短轴长为，椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆位于轴上方的部分，

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线的斜率为，求弦的长度；

（3）若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭圆交于点.是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，若不存在，说明理由.

20已知函数

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；

（3）若，判断函数的零点的个数.

2022—2023第一学期高三数学期末质量调查

一、单选题（本大题共9小题，共45分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解二次不等式得集合，然后求即可.

【详解】因为，所以．

故选：D.

2. 设a，，则“”是“”的（）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】方法1:解分式不等式，由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得结果.

方法2:通过作差法可证得充分条件成立,通过举反例可说明必要条件不成立.

【详解】方法1：∵

∴即：

∴或

解得：或或

∴由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得：

是的充分而不必要条件.

方法2：∵

∴，

∴

∴

∴是的充分条件.

当，时，满足，但不满足，

所以是的不必要条件.

综述：是的充分而不必要条件.

故选：A.

3. 已知，则的大小关系为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据放缩法得出的范围，利用对数的运算，比出和的大小，即可得出的大小关系.

【详解】解：由题意

，，

∵

∴

∴

故选：D.

4. 已知函数，则的大致图像正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值，即可判断；

【详解】解：因为，所以，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故BD排除；

又，因为，所以，，所以，故排除A；

故选：C

5. 在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线即为长方体外接球的直径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】因为三棱锥中，平面，

不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，

因为，则长方体长宽高分别为

所以三棱外接球的半径为

所以三棱锥外接球的体积为

.

故选：C.

6. 已知函数，给出以下四个命题：

①的最小正周期为；

②在上的值域为；

③的图像关于点中心对称；

④的图像关于直线对称．

其中正确命题的个数是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】由题知，进而结合三角函数性质依次讨论各选项即可.

【详解】解：，

所以的最小正周期为，①正确；

当，，

所以，即，故②错误；

当时，，故的图像关于对称，故③错误；

当时，，故的图像关于对称，故④正确.

故正确命题的个数是2个.

故选：B

7. F1、F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】如图，设等边三角形边长为，设，根据双曲线的定义有，解得.在三角形中，由余弦定理得，化简得.

8. 已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】结合已知条件写出直线的方程，然后与抛物线方程联立，最后结合韦达定理和抛物线定义即可求解.

【详解】由题意知,，则直线的方程为：，

设，，

将代入的方程得，，

则，，

因为，且，

所以，整理得，

故，结合，解得.

故选：C.

9. 已知函数，若关于的方程有四个不等实根．则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】画出函数的图象，利用换元法，并构造函数，通过讨论的取值范围即可求解.

【详解】当，

令解得，

令解得，

所以函数在单调递增，单调递减，

，当时，，

作出函数的图象如下，

关于的方程有四个不等实根，

令，，则有两个不相等的实数根，

（i），，此时各有2个根，满足题意，

所以解得

（ii），

由，

则函数的一个根在，另一个根在，

所以解得，

综上，.

故选:C.

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

10. 若复数满足为虚数单位），则复数的虚部是___．

【答案】##1.5

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简，再根据复数的概念可求出结果.

【详解】因为，

所以，

所以复数的虚部为.

故答案为：

11. =_____________．

【答案】.

【解析】

【分析】利用换底公式化为常用对数，通分后进行化简计算．

【详解】，

故答案为：．

12. 已知的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据二项式系数的和的性质，求得，结合二项展开式的通项，即可求解.

【详解】由的展开式的二项式系数之和为，可得，解得，即

则展开式第三项为，

所以展开式第三项的系数是.

故答案为：.

13. 若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________.

【答案】25

【解析】

【分析】先根据配方法确定圆的圆心和半径，然后再求出点到直线的距离后用弦长公式即可.

【详解】，圆心

又根据弦长公式可得：

故答案为：25

14. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】利用基本不等式求出的最小值，再根据不等式恒成立转化为一元二次不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，

因为，

当且仅当，即，即时取得等号，

所以有最小值为3，

因为恒成立，所以，即，

解得，

故答案为: .

15. 在四边形中，，，，，为的中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____．

【答案】    ①.     ②. ．

【解析】

【分析】以为基底，将用基底表示，根据已知结合向量的数量积运算律，可求出；设用基底表示，求出关于的二次函数，即可求出其最小值.

【详解】为的中点，，

，，，

，

，

；

设，

，

，

时，取得最小值为.

故答案为：；.

【点睛】本题考查向量基本定理、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.

三、解答题（本大题共5小题，共75．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知的内角的对边分别为，满足已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求的值；

（3）若的面积为，，求的周长.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

(1)根据正弦定理，将题中条件进行转化，得到，再

根据三角形内角和为以及诱导公式，即可求得角的大小；

(2)利用同角三角函数关系式即可得到，再利用正弦和角公式以及余弦倍角公式即可求得结果；

(3)利用三角函数面积公式即可得到的值，再利用余弦定理即可求得的值，进而得到的周长.

详解】解：（1），

由正弦定理得：，

即，

又 ，

，

，，

又，

；

（2）由题意知：，

，

又，

；

（3），

，

由余弦定理得：，

即，

解得：，

的周长为.

【点睛】方法点睛：与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的互化.

17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点.

（1）若，求证：直线平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值；

（3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明过程见详解

（2）

（3）存在，，理由见详解.

【解析】

【分析】(1) 取的一个靠近点的三等分点，连接，利用平行的传递性得到，进而得到四边形为平行四边形，则，再利用线面平行的判定定理即可求解；

(2)根据题意，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量的夹角公式即可求解；

(3)假设存在点，设，根据（2）中平面的法向量以及题中与平面所成角的正弦值为，求出即可求解.

【小问1详解】

取的一个靠近点的三等分点，连接，

因为，所以且,

又因为，且，点为中点，

所以且，则四边形为平行四边形，

所以，平面，平面，所以直线平面.

【小问2详解】

如图所示，以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，又为的中点，则，

所以，,

设平面的法向量为，则，

令，则，

设平面的法向量为，则，

令，则，

所以，

所以平面与平面的夹角的余弦值为.

【小问3详解】

存在，.

假设存在点(不包括端点)，设，即，，

由（2）得，且平面的法向量，

，则，

所以，因为与平面所成角的正弦值为，

则，

整理得：，解得：或（舍去），

故存在点，使与平面所成角的正弦值为，此时.

18. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）记，，求数列的前项和；

（3）记，，证明数列的前项和．

【答案】（1）,

（2）

（3）证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据等差等比数列通项公式直接求解；(2)利用错位相减法求和；(3)利用裂项相消求和.

【小问1详解】

设公差为，公比为，

则由题可得数列的前8项的和，

因为，所以，所以，

又因为，

所以解得或（舍），

所以.

【小问2详解】

由（1）得，

所以，

即，，

两式相减得，

所以，

【小问3详解】

由（1）得

则

，

.

因为所以

19. 已知椭圆的离心率，短轴长为，椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆位于轴上方的部分，

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线的斜率为，求弦的长度；

（3）若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭圆交于点.是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，若不存在，说明理由.

【答案】（1）

（2）

（3）存在直线，使得面积为2，此时直线的斜率

【解析】

【分析】（1）由已知有，解方程组即可；

（2）直线的方程为，与椭圆方程联立，由弦长公式求解即可；

（3）由题意求出的坐标，进而可得直线的方程为，并与与椭圆方程联立，可得点坐标，由此可判断关于原点对称，故直线过原点，

所以，令求解即可

【小问1详解】

由题意可得，

解得，

所以椭圆的方程为；

小问2详解】

由（1）可知，设，直线的方程为，

由得，

所以，，

所以

；

【小问3详解】

由（2）可知，即，

所以，即，

直线的方程为，令，解得，即，

设，由题意有，

解得，即，

进而可得直线的方程为，

由得，

解得，进而，即，

因为，，

所以关于原点对称，故直线过原点，

所以，

当时，即，

解得，

所以存在直线，使得的面积为2，此时直线的斜率

20. 已知函数

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；

（3）若，判断函数的零点的个数.

【答案】（1）；（2）；（3）当时，函数恰有1个零点．

【解析】

【分析】（1）当时，对求导，求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；

（2）若，且在区间，上恒成立，即：在，上的最小值大于1；利用导数求判断函数的最小值．

（3）分类讨论判断的单调性与函数的最小值，从而验证在区间上单调递增．再构造新函数，证明，进而判断函数是否穿过轴即可．

【详解】解：（1）若，则，

所以，所以，所以切线方程为

（2）依题意，在区间上

因为，．

令得，或．

若，则由得，；由得，．

所以，满足条件；

若，则由得，或；由得，

，

依题意，即，所以．

若，则．

所以在区间上单调递增，，不满足条件；

综上，．

（3），．

所以．设，．

令得．

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以的最小值为．

因为，所以．

所以的最小值．

从而，在区间上单调递增．

又，

设．

则．令得．由，得；

由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．

所以．

所以恒成立．所以，．

所以．

又，所以当时，函数恰有1个零点．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．