2022-2023学年浙江省高三下学期开学摸底考试数学卷（解析版）

这是一份2022-2023学年浙江省高三下学期开学摸底考试数学卷（解析版），共31页。试卷主要包含了函数在上的图象大致是，实数分别满足，则的大小关系为，已知，则等内容，欢迎下载使用。

绝密★考试结束前
2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷（浙江专用）
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
2．已知，且，其中是虚数单位，则等于（    ）
A．5 B． C． D．1
3．设，，则等于（    ）
A． B．1 C．2 D．3
4．甲､乙两袋中各有大小相同的10个球，甲袋有5个红球，5个白球；乙袋有7个红球，3个白球，随机选择一袋，然后从中随机摸出两个球，表示恰好摸到一个红球与一个白球的事件的概率，则等于（    ）
A． B． C． D．
5．函数在上的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点，分别在双曲线的左、右两支上，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
7．实数分别满足，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
8．2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，．

设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．均构成等比数列 D．
二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对得5 分，有选错得0 分，部分选对得2 分）
9．已知函数的部分图像如图所示，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图像，则（    ）

A． B．
C．的图像关于点对称 D．在上单调递减
10．已知，则（    ）
A． B．
C． D．
11．如图，在长方体中，，分别是棱的中点，点在侧面内，且，则（    ）

A．的最小值是
B．
C．三棱锥的体积是定值
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围是
12．已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定正确的是（    ）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．写出一个最小正周期为2的奇函数________．
14．已知，都是正数，则的最小值是______.
15．已知直线：与直线关于直线对称，点在圆：上运动，则动点到直线的距离的最大值为____________.
16．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
四、解答题（本题共6 小题，其中17 题10 分，18、19、20、21、22 题各12 分，
共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知正项数列的前n项和，满足，数列的前n项积为．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
18．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求C；
(2)求的取值范围.
19．（12分）近年来，水旱灾害是我国出现频率最高，影响范围和造成损失较大的自然灾害.如何在水旱灾害发生的各个阶段，利用信息系统在较短时间内尽可能多地获取相关信息，对防汛抗旱的形势和问题作出正确的判断，制订科学的决策方案是新时期流域水旱灾害防御需要面对的新问题.今年入汛以来，某市降雨量比常年偏多两成以上，且强度大、持续时间长．依据该地A河流7月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.

(1)以此频率作为概率，试估计A河流在7月份水位的50百分位数及在7月份发生1级灾害的概率；
(2)A河流域某企业，在7月份，若没受1、2级灾害影响，利润为600万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响，则亏损1200万元．现此企业有如下三种应对方案：
方案
等级
费用（单位：万元）
方案一
无措施
0
方案二
防控1级灾害
50
方案三
防控2级灾害
200
试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？请说明理由.
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形且，M为的中点，，．

(1)证明：平面；
(2)若，与平面所成的角为45°，求二面角的正弦值．
21．（12分）如图，椭圆的离心率为，上的点到直线的最短距离为.

(1)求椭圆的方程；
(2)过上的动点向椭圆作两条切线、，交轴于，交轴于，交轴于，交轴于，记的面积为，的面积为，求的最小值.
22．（12分）已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在上的最大值为0，
①求a的取值范围；
②若恒成立，求正整数k的最小值．




绝密★考试结束前
2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷（浙江专用）
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求解不等式，明确集合的元素，根据集合交集运算，可得答案.
【详解】由，则，即，由，则，即，
，
故选：A.
2．已知，且，其中是虚数单位，则等于（    ）
A．5 B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用复数乘法法则进行计算，得到，再使用模长公式求解.
【详解】由得：，即，
解得，从而.
故选：B
3．设，，则等于（    ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用指对数互换和幂的运算性质求得，再利用对数运算性质求得，进而求得的值.
【详解】由，，得，
则，则，则，
则.
故选：B
4．甲､乙两袋中各有大小相同的10个球，甲袋有5个红球，5个白球；乙袋有7个红球，3个白球，随机选择一袋，然后从中随机摸出两个球，表示恰好摸到一个红球与一个白球的事件的概率，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】设事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，
则，，
则.
故选：C.
5．函数在上的图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性，由此排除两个选项，再取特值判断并排除一个选项即可作答.
【详解】，，而，
因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，选项A，B不满足；
又，，于是得，选项C不满足，D符合题意.
故选：D
6．已知双曲线的右焦点为，关于原点对称的两点，分别在双曲线的左、右两支上，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令双曲线左焦点，利用给定条件证得四边形为矩形，再利用双曲线定义结合勾股定理列式求解作答.
【详解】令双曲线右焦点，则其左焦点，连接，如图，

显然与互相平分于点O，即四边形为平行四边形，又，则，
因此四边形为矩形，令，由得，
由双曲线定义知，，
在中，，即，解得，
在中，，而，
于是得，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：B
7．实数分别满足，则的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知即，构造函数，确定其在上单调递减，可得，又设，其在上单调递增，所以得，即可判断的大小；再构造函数，可得恒成立，可判断，最值可得结果.
【详解】解：由已知得，
①设，当时，，
所以在上单调递减，因此，
即，所以，
又设，，当时，，
所以在上单调递增，因此，所以
则，所以；
②设，当时，，在上，单调递减，
当时，恒成立；取时，；
综上得
故选：C.
8．2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，．

设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．均构成等比数列 D．
【答案】D
【分析】根据已知写出、、的通项公式且时，应用累加法求通项，进而判断各选项的正误.
【详解】据题意知：，
∴，A错误；
，
当时，，B错误；
∴，
由也满足上式，则，
所以不构成等比数列，C错误；
由上，，则，D正确.
故选：D．

二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对得5 分，有选错得0 分，部分选对得2 分）
9．已知函数的部分图像如图所示，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图像，则（    ）

A． B．
C．的图像关于点对称 D．在上单调递减
【答案】AD
【分析】利用函数图像先把解析式求出来，然后逐项分析即可.
【详解】由图像可知函数的最大值为2，最小值为，
所以，，
又，又，
所以
又，所以，所以，故正确，
将的图像向左平移个单位长度，
再向上平移1个单位长度后得，故错误．
由，所以的图像关于点对称，故错误．
由即，所以选项正确 .
故选：．
10．已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对AB，根据二项式公式求解对应项的系数求解即可；对CD，利用赋值法分别求与和判断即可.
【详解】对A，为展开式中最高次项系数，只能由展开式的最高次项相乘，故为，即，故A正确；
对B，，故，故B错误；
对C，令，则，即，令，则，即.
故，故C正确；
对D，令，则，结合C，，故...①
又...②，①+②可得，故，，故，故D错误.
故选：AC
11．如图，在长方体中，，分别是棱的中点，点在侧面内，且，则（    ）

A．的最小值是
B．
C．三棱锥的体积是定值
D．三棱锥的外接球表面积的取值范围是
【答案】BCD
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，根据可求得点的轨迹，从而可判断AB；证明平面，即可判断C；由三棱锥的外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，设球心为，，根据，将用表示，从而可求得外接球半径的范围，即可判断D.
【详解】解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
设，
则，
因为，
所以，得，所以，
则，得，
，
当时，，则，
当时，则，则，
综上，，
所以三点共线，
即点的轨迹即为线段，
对于A，，
即的最小值是，故A错误；
对于B，，
则，
所以，故B正确；
对于C，，则为定值，
由点的轨迹即为线段，
且，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，
所以三棱锥的体积是定值，故C正确；
对于D，设的中点为，
则在中，外接圆的圆心即为点，
则三棱锥的外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，
设球心为，，
则，
即，所以，
则，
因为，所以，
即三棱锥的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球表面积的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.

12．已知函数，的定义域为R，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】本题首先利用求导证明为奇函数，再证明其还为周期为4的函数，再通过合理赋值可一一核对各选项的对错.
【详解】因为为偶函数,则，两边求导得,所以为奇函数,
因为,
,
所以,
故,
所以,即的周期且,
在，中,
令,可得,
所以，故A正确；
令，可得，而为奇函数，则，
所以，则，故B正确;
令得,
,则
,无法求得,
同理令得,
,
因此,
相加得,只有在时,
有,但不一定为0,因此C错误;
在中,
令得,,
在中,
令得,,
两式相加得,即，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】抽象函数的周期性和奇偶性结合的问题难度较大，需要通过合理赋值才能得到相应的结果.
三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．写出一个最小正周期为2的奇函数________．
【答案】
【解析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可.
【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，，
满足，即是奇函数；
根据最小正周期，可得.
故函数可以是中任一个，可取.
故答案为：.
14．已知，都是正数，则的最小值是______.
【答案】
【分析】设，，解出，，代入化简得
，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】因为均为正实数，故设，，则
联立解得，，


当且仅当，即，即时取等号，
故答案为：.
15．已知直线：与直线关于直线对称，点在圆：上运动，则动点到直线的距离的最大值为____________.
【答案】6
【分析】求出直线所过定点，从而得到直线恒过点，求出圆心，从而得到，数形结合得到动点到直线的距离的最大值.
【详解】变形为，
令，解得：，
故直线恒过定点，
关于对称的点，
故直线恒过点，
变形为，圆心为，半径为1，
故圆心与的距离为，
则动点到直线的距离的最大值为BC的长加上半径，即.
故答案为：6
16．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．


四、解答题（本题共6 小题，其中17 题10 分，18、19、20、21、22 题各12 分，
共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知正项数列的前n项和，满足，数列的前n项积为．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)前项和为

【分析】（1）首先令，求出首项，当时，根据求出为等比数列，然后根据等比数列的通项公式进行求解即可.
（2）首先求出的通项公式，进而通过（1）求出的通项公式，代入后利用裂项相消的方法进行求和即可.
【详解】（1）由题意：①，
当时，可得，
当时，②，
由①-②得：，
由为正项数列，得是首项为，公比为的等比数列.
因此可得
（2）由于数列的前项的乘积为，
当时，得；
当时，得；
符合通项，故得.
由（1）可知：，
，
令为的前项和，
.
18．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求C；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先由题给条件求得，进而求得；
（2）先利用正弦定理和题给条件求得和，再构造函数，求得此函数值域即为的取值范围
【详解】（1）由，
可得，则
整理得，解之得或
又，则，则，则
（2）A ，B为的内角，则
则由，可得，则均为锐角

又，则，
则，则
则
令，则
又在单调递增，，
可得，则的取值范围为，
则的取值范围为
19．（12分）近年来，水旱灾害是我国出现频率最高，影响范围和造成损失较大的自然灾害.如何在水旱灾害发生的各个阶段，利用信息系统在较短时间内尽可能多地获取相关信息，对防汛抗旱的形势和问题作出正确的判断，制订科学的决策方案是新时期流域水旱灾害防御需要面对的新问题.今年入汛以来，某市降雨量比常年偏多两成以上，且强度大、持续时间长．依据该地A河流7月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.

(1)以此频率作为概率，试估计A河流在7月份水位的50百分位数及在7月份发生1级灾害的概率；
(2)A河流域某企业，在7月份，若没受1、2级灾害影响，利润为600万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响，则亏损1200万元．现此企业有如下三种应对方案：
方案
等级
费用（单位：万元）
方案一
无措施
0
方案二
防控1级灾害
50
方案三
防控2级灾害
200

试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？请说明理由.
【答案】(1)0.155
(2)该企业应选择第二种方案，理由见解析

【分析】（1）根据频率分布直方图，由中位数的定义求解中位数；设该河流7月份水位小于40米为事件，水位在40米至50米为事件，水位大于50米为事件，发生1级灾害为事件，根据频率分布直方图和条形图，利用条件概率，由求解；
（2）由（1）得到7月份该河流不发生灾害的概率和1级灾害的概率以及发生2级灾害的概率，利用分布列，求期望即可.
【详解】（1）解：频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1，0.25，0.3，02，0.1，0.05，
设7月份的水位中位数为，则，
∴，
解得，
∴7月份的水位中位数为37.5；
设该河流7月份水位小于40米为事件，水位在40米至50米为事件，水位大于50米为事件，
在，，，
设发生1级灾害为事件，
由条形图可知：，，，
∴，，
，
∴；
（2）由（1）可知7月份该河流不发生灾害的概率为，
发生1级灾害的概率为0.155，发生2级灾害的概率为
设第种方案的企业利润为，
①若选择方案一，则的取值可能为600，，，
∴，，
∴的分布列为：

600



0.81
0.155
0.035

∴（万元）
②若选择方案二，则的取值可能为550，，
且，
的分布列为：

550


0.965
0.035

∴（万元）
③若选择方案三，则不会受任何灾害影响，
该企业7月份的平均利润为（万元）
∴最大，
∴从利润考虑，该企业应选择第二种方案.
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形且，M为的中点，，．

(1)证明：平面；
(2)若，与平面所成的角为45°，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）通过证明、来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值并转化为正弦值.
【详解】（1）因为在和Rt中，
，，
所以，
因为，，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面．
（2）因为，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
所以为与平面所成的角，
则，
所以，
由勾股定理知：，
可如图建立空间直角坐标系，
所以，，，，
所以，，
由（1）知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则有，
即，
取，得，
所以，
设二面角的大小为，
则．

21．（12分）如图，椭圆的离心率为，上的点到直线的最短距离为.

(1)求椭圆的方程；
(2)过上的动点向椭圆作两条切线、，交轴于，交轴于，交轴于，交轴于，记的面积为，的面积为，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由已知条件求出、的值，即可得出所求椭圆的方程；
（2）设、的方程分别为、，分析可知、是关于的的两根，利用韦达定理可得出关于的表达式，令，利用基本不等式可求得的最小值.
(1)
解：由题意知：，所以，即所求椭圆方程为.
(2)
解：设、的方程分别为、，
则，，，，

，①
联立，可得，
，
化简得，
显然，、是关于的的两根.
故，，则，
即代入①式得，
令，则，
，
当且仅当，即时，的最小值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
22．（12分）已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在上的最大值为0，
①求a的取值范围；
②若恒成立，求正整数k的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)①，② .

【分析】（1）求导，再对a分类讨论；
（2）根据条件以及（1）的结论求出a的取值范围，再运用参数分离方法求出k的最小值.
【详解】（1），若，则有，单调递增；
若，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
（2）①由（1）的讨论可知，当时，单调递增，在，，满足题意；
当时，在，，满足题意；
当时，即，在，，
令，则，当时，，单调递增，
，即，不满足题意；
综上，a的取值范围是；
②由题意，，，即，
考虑直线的极端情况a=1，则，
即，令，，显然是减函数，   ，  ，
∴存在唯一的使得，当时，，当时，，
，，  ，
即，故k的最小值可能是3或4，验算，
由于，，，
，满足题意；
综上，a的取值范围是，的最小值是3.
【点睛】参数分离后，对的取值范围要求很高，要求尽量精确，需要反复计算才能确定.