2022届湖南省新宁县名校高三下学期第三次模拟考试数学试卷 含解析

2022届高三第三次模拟考试卷

数  学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数（i为虚数单位），则在复平面内的对应点落在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】，

，对应的点为，落在第二象限，故选B．

2．已知集合，，则（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】A

【解析】因为和的最小公倍数为，故，故选A．

3．从某中学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位cm）绘制成频率分布直方图，若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取16人参加一次活动．则从身高在内的学生中选取的人数应为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．7

【答案】B

【解析】依题意，解得，

身高在，，三组内的学生比例为，

用分层抽样的方法选取16人参加一次活动，

则从身高在内的学生中选取的人数应为人，故选B．

4．在一次独立性检验中得到如下列联表：

若这两个分类变量A和B没有关系，则a的可能值是（    ）

A．200 B．720 C．100 D．180

【答案】B

【解析】当时，，

易知此时两个分类变量没有关系，故选B．

5．在三棱锥中，已知底面，，．若三棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，外接圆半径，

底面，球的半径，故选B．

6．设分别是函数和的零点(其中)，则

的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，得，即，所以是图象与图象的交点，且显然，

令，得，即，所以是图象与图象的交点，

因为与关于对称，所以两根也关于对称，所以有，

所以，令在上单调递减，所以，

故选C．

7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，焦距为4，点关于双曲线C的一条渐近线的对称点为P，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【解析】如图设与渐近线的交点为，

则，且，，

因为为的中点，所以，所以，

所以，所以，

则，所以，

在中，，即，

即，所以，

又焦距，所以，所以离心率，故选D．

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，可得，

由余弦定理可得．

因为的面积，

所以，

因为，

所以，

故当时，取得最大值3，此时，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】对于A，由、，可得，

又，所以，故A正确；

对于B，由、，可得，

又，则或，故B错误；

对于C，由，则或，

又，则或或与相交（不垂直）或，故C错误；

对于D，由、，可得，

又，所以，故D正确，

故选AD．

10．已知数列的前项和为，下列说法正确的（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，且，，则

【答案】ABC

【解析】对于选项A，由，得，

两式相减得，

又当时，，满足上式，

所以，故是等差数列，选项A正确；

对于选项B，由，得，

两式相减得，

又，满足上式，所以，

故，即是以1为首项，以2为公比的等比数列，选项B正确；

对于选项C，由是等差数列，得，选项C正确；

对于选项D，若等比数列的公比，

则，选项D错误，

故选ABC．

11．已知函数，则（    ）

A．为偶函数  B．的最小正周期为

C．在上单调递增 D．在内有2个解

【答案】AD

【解析】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称，

又由，

所以为偶函数，所以A正确；

对于B中，由，

可得函数的最小正周期为，所以B错误；

对于C中，当时，函数单调递增，值域为，

当时，函数单调递增，所以在上单调递增；

当时，函数单调递增，值域为，

当时，函数单调递减，故在上单调递减，所以C错误；

对于D中，由，则或，

当时，有两个解，无解，

所以在内有2个解，所以D正确，

故选AD．

12．棱长为a且体积为V的正四面体的底面内有一点H，它到平面、、的距离分别为，，，E，F在与上，且，，下列结论正确的是（    ）

A．若a为定值，则为定值

B．若，则

C．存在H，使，，成等比数列

D．若，则，，成等差数列

【答案】ACD

【解析】正四面体的高为，

由，

即，

所以，

所以，故A正确；

由A知，，∴，B不正确；

当H是中心时，，此时，，成等比数列，故C正确；

对于D选项，因为，，

若，则，则，

设H到，，的距离为，，，∴，

又因为平面、平面、平面与平面所成角相等，

∴，所以，，成等差数列，故D正确，

故选ACD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知是非零向量，若，与的夹角是，则_________．

【答案】2

【解析】因为，与的夹角是，

所以，

故答案为2．

14．的展开式中项的系数是______．（用数字作答）

【答案】

【解析】的展开式中项的系数为：，

故答案为．

15．已知圆，在圆内任取一点，以为弦中点作弦，则弦长的概率为_________．

【答案】（或）

【解析】由题意可知：在圆内任取一点，以为弦中点作弦，

当时，，

故的轨迹方程是，要使弦长，

则必须在内（含圆周），

所以弦长的概率为，

故答案为．

16．已知函数（，e为自然对数的底数，e=2．71828…）．当时，函数在点处的切线方程为________；若，，则实数a的最大值为________．

【答案】，e

【解析】由题意当时，，，

则，，

所以函数在点处的切线方程为．

因为，即，则，

令，故，

在上恒成立，故在上单调递减，故，得，即，

记，则，

当时，；当时，，

故函数在单调递减，在单调递增，

故的最小值是，故，即实数a的最大值是，

故答案为，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知各项均为正数的数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，，成等差数列，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，得，

∵，∴，所以，

又知，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，

故数列的通项公式为．

（2）由成等差数列可知，，

所以．

所以，①

，②

由①-②，得

，

故．

18．（12分）电影《长津湖》让那些在冰雪里为国而争的战士和他们的故事，仿佛活在了我们眼前；让我们重回那段行军千里，只为保家卫国的峥嵘岁月；也让我们记住，今天的美好盛世，是那群最可爱的人历经何种困苦才夺来的．某校高三年级8个班共400人，其中男生240名，女生160名，现对学生观看《长津湖》情况进行问卷调查，各班观影男生人数记为组，各班观影女生人数记为组，得到如下茎叶图．

（1）根据茎叶图完成列联表，并判断是否有的把握认为观看《长津湖》电影与性别有关；

（2）若从高三年级所有学生中按男女比例分层抽样选取人参加座谈，并从参加座谈的学生中随机抽取位同学采访，记为抽取的男生人数，求的分布列和数学期望．

参考数据：

，．

【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为观看该影片与性别有关；（2）分布列见解析，数学期望为．

【解析】（1）解：列联表如下表所示：

，

所以没有的把握认为观看该影片与性别有关．

（2）解：选出的女生人数为，选出的男生人数为，

从参加座谈的学生中随机抽取男生人数为，则的可能取值为、、，

则，，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

．

19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．

（1）若，求C；

（2）点D在边AB上，且，证明：CD平分∠ACB．

【答案】（1）；（2）证明见解析﹒

【解析】（1）由，，

∵，∴﹒

（2）设，，

∵，∴由正弦定理得，

在中，由正弦定理得，①

在中，由正弦定理得，②

，，

∴得，，

∵、，，即平分．

20．（12分）已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有、两点．如图，，，点是上的动点．沿将纸片折为直二面角，并连接，，，．

（1）当平面时，求的长；

（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因平面，平面内，平面平面，

则有，

因此，，

而，则，

所以的长是．

（2）因，平面平面，平面平面，平面ABC，则平面，

三棱锥的体积，

因此，三棱锥的体积最大，当且仅当，即，

取PD中点M，连接OM，CM，

由，可得，如图，

于是得，即是二面角的平面角，

而，

在中，，则，，

所以二面角的余弦值是．

21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设是椭圆C上第一象限的点，直线过P且与椭圆C有且仅有一个公共点．

①求直线的方程（用，表示）；

②设O为坐标原点，直线分别与x轴，y轴相交于点M，N，求面积的最小值．

【答案】（1）；（2）①；②．

【解析】（1）由题意知，椭圆的离心率为，且过点，

则，解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）①因为是椭圆在第一象限的点，

所以，即()，

设直线l方程为，则，

消去y，整理得，

则，

整理，得，

即，则，解得，

所以直线l方程为，即．

②令，得；令，得，

即，，

由()，得，

当且仅当，即时等号成立，

所以，得，

所以，此时，

故当点P的坐标为，的面积最小，最小值为．

22．（12分）已知，．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，证明．

【答案】（1）函数的增区间为、，减区间为；（2）证明见解析．

【解析】（1）解：当时，，该函数的定义域为，

，

由可得；由可得或，

因此，当时，函数的增区间为、，减区间为．

（2）证明：由得．

①当时，，，不等式显然成立；

②当时，，由，得，

所以只需证，即证，

令，其中，则，

令，其中，则，

令，则，所以在上单调递增，

因为，，所以存在，使得成立，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

又因为，，

所以当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以，原不等式得证．

综上所述，当时，