2022届上海市复兴高级中学高三上学期10月月考数学试题（解析版）

2022届上海市复兴高级中学高三上学期10月月考数学试题

一、填空题

1．已知全集，集合，则________.

【答案】

【分析】求出集合、，利用补集的定义可求得集合.

【详解】因为集合，，因此，.

故答案为：.

2．函数的定义域是________.

【答案】且

【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解.

【详解】由题意，要使函数有意义，则，

解得，且；

故函数的定义域为：且.

故答案为：且.

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

3．若复数（为虚数单位），则______．

【答案】

【解析】分子分母同时乘以，可求出，写出，两者相乘，即得结果，或者利用，亦能得出结果.

【详解】由题意可知：

      法一：∴

            ∴；

      法二：∴

【点睛】复数除法的简单运算，考查学生利用复数除法的运算，解决复数问题的能力，会使用来处理相关计算问题，为简单题.

4．若实数x，y满足，则的取值范围是__________；

【答案】；

【分析】令，，可将化为，根据三角函数值域可求得结果.

【详解】    可令，

本题正确结果：

【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解.

5．已知向量，，则__．

【答案】

【分析】根据平面向量共线的坐标表示求出，再根据两角和的正切公式可求出结果.

【详解】因为向量，，

所以，

所以，所以．

故答案为：.

6．若展开式中的常数项为5，____________.

【答案】

【分析】先求出二项式的展开式的通项为，令可求，结合已知常数项的 值可求，然后利用等比数列的和对已知式子求和，即可求解极限.

【详解】由题意二项式的展开式的通项为，

令可得，所以，

则.

故答案为：

【点睛】方法点睛：求二项式展开式的指定项，一般利用展开式的通项分析求解.

7．关于的不等式的解集为__．

【答案】

【分析】转化为，根据得，并且满足且，由此得解.

【详解】因为，

所以，因为，所以，

此时且，满足题意，故解集为．

故答案为：

8．已知函数是以2为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为__．

【答案】

【分析】先求得的解析式，根据反函数的求法求得正确答案.

【详解】当时，，

所以，

由于，所以，所以，

令，则，

交换得，

所以.

故答案为：.

9．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若，，且，则

数列{bn}的公比为   ．

【答案】

【详解】设等差数列的公差为，由可知为正数，

∵是等比数列，∴，又∵，

∴或，

若：则不合题意，舍去，若，

则，，化简得，

经检验，由，故舍去，

∴.

10．设为实数，函数（），若有两个不同的实数根，则实数的取值范围为__．

【答案】

【分析】由，利用换元法、分离常数法进行化简，通过构造函数，结合所构造函数的图象来求得的取值范围.

【详解】由得，设，

所以有2个不同的实数根，整理得（），

设，，

画出的图象如下图所示，

由题意得的取值范围是．

故答案为：

11．平面内，若三条射线､､两两成等角为，则，类比该特性：在空间，若四条射线､､､两两成等角为，则___________.

【答案】

【分析】根据类比特性，四条射线OA、OB、OC、OD两两成等角，即组成一个正四面体ABCD，O点为外接球球心，根据外接球半径与边长的关系，利用余弦定理求得所成角.

【详解】根据类比特性，四条射线OA、OB、OC、OD两两成等角，设组成一个正四面体ABCD，则OA、OB、OC、OD两两成等角，此时O点为外接球球心，则，在中，由余弦定理得

故所成等角

故答案为：

【点睛】关键点点睛：根据定义的特性，将问题转化为正四面体外接球半径与边长的关系，借助余弦定理求得结果.

12．对于函数，若定义域中存在实数满足且，则称函数为“函数”．设且，若函数为“函数”，且的最小值为5，则实数的取值范围为__．

【答案】

【分析】根据“函数”的定义，讨论可知时，不合题意；当时，得，，由，得，再根据，得.

【详解】若函数是“函数”．

①若，则，则在上单调递减，

故不满足存在实数满足且，不合题意；

②若，因为，单调递减，且，

故时，单调递减，时，单调递增，故，，

所以，则，

所以，则．

若，则，

整理得，得，不合题意；

若，则，

整理得，得，故，，．

由中存在实数、满足且，

的最小值为5，

故在中存在满足，且，

故，得．

综上所述，实数的取值范围是．

故答案为：

【点睛】关键点点睛：根据“函数”的定义列式，用表示和，再由的最小值为5列式求解是解题关键.

二、单选题

13．下列函数中，与函数的值域相同的函数为 （ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：函数的值域为，而，，只有，所以选B.

【解析】函数值域

14． “”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】解：（1）若，则，

∴“”是“”的充分条件；

（2）若，则，得不出，

∴“”不是“”的必要条件，

∴“”是“”的充分非必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.

15．已知符号函数，是定义在上的增函数，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对的范围进行分类讨论，结合的单调性以及符号函数的知识求得正确答案.

【详解】因为，所以当时，，因为是定义在上的增函数，

所以，所以，

同理，当时，，

且当时，，

综上所述，.

故选：D

16．设函数在区间上的最大值为，若，则实数的最大值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】根据在上的单调性得到或，根据，得到关于的不等式或的解集为，根据，得到关于的不等式或的解集为，由，可求出结果.

【详解】因为为上的单调递增函数，

所以，，

又已知在区间上的最大值为，

所以或，

因为，所以关于的不等式或的解集为，

所以关于的不等式或的解集为，

所以关于的不等式或或或的解集为，

由于，所以，

所以，，

所以关于的不等式或的解集为，

所以，

所以，所以，所以，又，所以，

所以实数的最大值为.

故选：C

三、解答题

17．如图，在直三棱柱中，，点、分别为、的中点，与底面所成的角为arctan2．

(1)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

(2)求点与平面的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知求得C1C＝2，以B为坐标原点，分别以BC、BA、BB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解异面直线PB与QC1所成角的大小；

（2）求出平面AQC1的法向量，然后利用空间向量求出点与平面的距离.

【详解】（1）因为C1C⊥平面ABC，所以∠C1QC为C1Q与底面ABC所成角，

因为与底面所成的角为arctan2，，

所以，

所以C1C＝2．

以B为坐标原点，分别以BC、BA、BB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则B（0，0，0），Q（1，0，0），C1（2，0，2），P（0，1，2），A（0，2，0），

则，

设异面直线PB与QC1所成角的大小为θ，

所以，

则异面直线PB与QC1所成角的大小为；

（2）设平面AQC1的法向量为，

由（1）知，，则

，取y＝1，得．

又，

所以点C与平面AQC1的距离．

18．已知函数，其中，且．

(1)当时，若，求实数的取值范围；

(2)若存在实数使得方程有两个实根，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分段解不等式，再相并即可得解；

（2）当和时，利用图象列式可求出结果，当时，根据函数的单调性以及，可知不符合题意.

【详解】（1）当时，，则，

当时，解不等式，解得，故，

当时，解不等式，解得，故，

所以实数的取值范围是；

（2）①当时，

由图可知，当时，存在直线与有两个交点，

由，解得，故；

②当时，

由图可知，当时，存在直线与有两个交点，

即，解得，故；

当时，函数在和上都为增函数，且，

所以为增函数，

所以不存在实数使得方程有两个实根，

综上所述：实数的取值范围是为.

19．某环保部门对某处的环境情况用“污染指数”来监测，据测定，该处的“污染指数”与附近污染源的强度和距离之比成正比，比例常数为．现已知相距的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数1，，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设．

(1)试将表示为的函数，指出其定义域；

(2)当工厂的污染强度时，试求点处“污染指数”的最小值．

【答案】(1)，

(2)最小值为．

【分析】（1）根据题意分析可得关于的函数解析式以及定义域；

（2）由，令，得，再根据基本不等式可求出结果.

【详解】（1）设点受污染源污染程度为，点受污染源污染程度为，其中为比例系数，且．

从而点处受污染程度，．，

（2）当时，，

因为，

令，则

，当且仅当时取等号，

所以点处“污染指数”的最小值为．

20．已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2，过点作直线交椭圆于､两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求直线的方程；

（3）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）首先根据点到椭圆的右焦点的距离为2，求出，再根据圆心在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程求得，，最后写出椭圆方程；

（2）根据题意分析直线的斜率一定存在，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，弦长公式表示，得到，解方程求得，最后写出直线方程即可；

（3）首先利用三角形面积公式及余弦定理化简得到，接着根据两点间距离公式化简得，最后根据韦达定理进一步化简得到，最后根据判别式法求得参数的取值范围即可；

【详解】（1）因为点到椭圆的右焦点的距离为2，

所以，所以，

又因为圆配方得：，

所以，因为圆心在椭圆上，

所以，

所以：，，

所以椭圆的方程为：；

（2）因为过点作直线交椭圆于A，两点，

若直线的斜率不存在，椭圆于上下顶点，此时，不合题意；

故直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，

联立得，

，

设，

由韦达定理得：，

，

所以，

解得：，即，

所以直线的方程为；

（3）由三角形面积公式可知，

因为，化简上式得，

又在中利用余弦定理可得：，

所以

，

由（2）知，

，

，

所以，

整理得，

当时，成立，

当时，方程的判别式，解得且，

所以，

又因为，所以，

所以的取值范围.

【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

21．若定义在上的函数满足：对于任意实数，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数．

(1)已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；

(2)在（1）的条件下，定义数列，求的值；

(3)若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，证明：函数为偶函数；设非零有理数满足，判断和的大小关系，并证明你的结论．

【答案】(1)；

(2)2041210

(3)，证明见解析

【分析】（1）令，，可求出；令，可求出；

（2）令，，得，据此推出，根据等比数列的通项公式求出，从而可得，再根据等差数列的求和公式可求出结果；

（3）令，推出，根据偶函数的定义可证是偶函数；根据当时，，结合，推出，令为正整数，），推出成立．由此推出当，为正整数，时，成立，设，，其中是正整数，是正整数，令，，，则为正整数．根据，推出，再推出，再根据偶函数的性质可得结果.

【详解】（1）令，，得，得，

得，所以.

令得，所以．

（2）由（1）知，，

令，，得，

因为，所以，

所以

．

又，所以是以3为首项，以2为公比的等比数列，

所以，所以，

所以

．

（3）令，得，

所以，即，所以是偶函数．

因为，

又因为当时，，

所以当时，有，所以，

即，

令为正整数，），对任意的为正整数，

有，

则，

所以对于且为正整数，总有成立．

所以对于，为正整数，时，则成立．

因为为非零有理数，所以可设，，其中是正整数，是正整数，则，，

令，，，则为正整数．

因为，所以，所以，即．

因为函数为偶函数，所以，，

所以．

【点睛】关键点点睛：第（3）问中，根据当时，，结合，推出，由此推出当，为正整数，时，成立，再令，，其中是正整数，是正整数，，，，推出是解题关键.