2022届上海市浦东复旦附中分校高三上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份2022届上海市浦东复旦附中分校高三上学期开学考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届上海市浦东复旦附中分校高三上学期开学考试数学试题 一、填空题1．已知集合，，则__．【答案】【分析】分别求出集合和集合，再求交集即可.【详解】集合为不等式的解集，，解得，∴，集合为函数的定义域，由解得，∴，∴.故答案为：.2．已知复数满足，其中为虚数单位，则_______.【答案】【分析】首先化简复数，再求复数的模.【详解】，.故答案为：【点睛】本题考查复数的化简和求复数的模，意在考查基本计算，属于基础题型.3．如图，已知长方体中，，，，则该长方体截去三棱锥后，剩余部分几何体的体积为_______.【答案】25【解析】先根据，，，求得长方体的体积，利用，求得三棱锥的体积，然后作差即可.【详解】在长方体中，，，，所以长方体的体积为,三棱锥的体积为，所以剩余部分几何体的体积为，故答案为：254．设常数，函数．若的反函数的图象经过点，则___．【答案】7【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【详解】∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为7．【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为_________.【答案】【解析】根据直线过抛物线焦点和点，可知该直线斜率为，由双曲线的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，可求得，从而得到双曲线方程.【详解】双曲线的渐近线方程为，抛物线的焦点为，所以直线过点和，斜率为，所以直线的方程为，即，因为直线与双曲线的一条渐近线平行，一条渐近线垂直，所以，解得，所以双曲线的方程为，故答案为：6．在的展开式中，含项的系数是__．【答案】20【分析】直接根据二项式展开式的通项公式逐一进行求解即可.【详解】在的展开式中，含项的系数为．故答案为：7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为、、，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.【答案】【解析】计算得出，可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【详解】由已知条件可得，.当且仅当时，等号成立.因此，该三角形面积的最大值为.故答案为：.【点睛】一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式，，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了和的转化关系．8．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有__种．【答案】480【分析】先只考虑甲乙丙三人的情况，其中甲乙两人均在丙领导人的同侧有4种，故甲乙两人均在丙领导人的同侧占总数的，则再考虑其他成员的情况即可迎刃而解.【详解】甲乙丙的三个人顺序种，其中甲乙两人均在丙的同侧有4种，在丙的两侧有2种，故甲乙两人均在丙领导人的同侧占总数的，则甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有种．故答案为：4809．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为：.若函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则______.【答案】【分析】先判断出是周期为的周期函数，然后根据函数的周期性以及的解析式，求得的值.【详解】由知：关于对称，又为奇函数，图象关于原点对称    为周期函数，周期故答案为：【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、周期性、对称性，考查分段函数的性质，属于中档题.10．设幂函数，数列满足：，且（），则数列的通项__．【答案】【分析】将代入，得，两边同时取对数，构造等比数列求解即可.【详解】∵，∴，∵，∴数列各项均为正数，且各项均不为，∴，∴数列各项均不为，∴，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴.故答案为：.11．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是__．【答案】【分析】原方程化为，得或，作出函数的图象，数形结合可求解.【详解】因为，所以，即或，显然，函数在上单调递增，，且当时，； 函数在上单调递减，且当时，；作出函数的大致图象如图所示，方程只有1个实数根，方程恰有三个不同的实数根，则有2个不同的实数根，所以函数与的图象要有两个交点，由图象得，所以实数的取值范围是．故答案为：．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．定义：若函数图像上的点到定点的最短距离小于3，则称函数是点的近点函数，已知函数在上是增函数，且是点的近点函数，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】由函数在上是增函数，可知；由函数是点的近点函数，可得，从而得到结果.【详解】由题意可得：又函数在上是增函数，∴ 求出函数的导函数，设函数图像上离A最近的点 则，令，即， 解得： （舍）或 ∴=，即 ∵函数是点的近点函数，∴，即，∴ ∴ 综上可得：故答案为【点睛】本题考查函数的单调性与最值，考查了转化能力与运算能力，属于难题. 二、单选题13．已知，，，且都不为零，则“”是“与解集相同”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质进行判断即可.【详解】若，取，，则与的解集不同，所以“”不是“与解集相同”的充分条件；若，，，且都不为零，且与的解集相同，此时必有，所以成立，所以“”是“与解集相同”的必要条件.综上，“”是“与解集相同”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于常考题.14．已知等差数列中，，则的前n项和的最大值为（    ）A． B． C．  D． 【答案】B【解析】根据已知条件判断时对应的的范围，由此求得的最大值.【详解】依题意，所以，所以的前n项和的最大值为.15．已知f(x)=Asin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x1,x2∈,且|x1-x2|min=π,则f(x)的最小正周期是(　　)A．3π B．2π C．π D．【答案】A【分析】由题意可得，求得的值，可得的最小正周期是的值【详解】由题意可得的解为两个不等的实数，且，求得 故的最小正周期是故选【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出的值，属于基础题16．已知圆心为，半径为1的圆上有不同的三个点，其中，存在实数满足，则实数的关系为A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，且.因为，即.平方得：.故选A. 三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点．(1)求二面角的正弦值；(2)记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长．【答案】(1)(2)1或． 【分析】(1)利用空间向量的坐标运算求求二面角即可；(2)设，利用坐标运算表示出线面夹角的正弦值，解方程求解.【详解】（1）连接，则，因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为，，且为的中点，所以，，所以，即，又，、平面，所以平面．以为原点，，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，设平面的法向量为，则，即，令， 所以，所以，设二面角的平面角为，则，故二面角的正弦值为．（2）设，，则，而，所以，由（1）得平面的法向量为，设直线与平面所成的角为，则，化简得，解得或，故线段的长为1或．18．的内角，，的对边分别为，，，已知.（Ⅰ）若，的面积为6，求；（Ⅱ）若，求.【答案】（1）；（2）【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可得，进而可求，利用三角形的面积公式即可求得的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，结合已知由余弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，的值，进而根据两角差的正弦公式即可计算求解．【详解】解：（Ⅰ），，由正弦定理可得，又，，的面积为，解得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又，由余弦定理可得，，，，，．19．我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元）（1）求该村的第x天的旅游收入（单位千元，，）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？（一年以365天计）【答案】（1）；（2）能.【分析】（1）根据旅游收入等于每天的旅游人数与游客人均消费的乘积，然后去绝对值，从而得到所求；（2）分别研究每一段函数的最值，第一段利用基本不等式求最小值，第二段利用函数的单调性研究最小值，再比较从而得到日最低收入，最后根据题意可判断该村在两年内能否收回全部投资成本．【详解】解：（1）依据题意，有 （2）当，时，（当且仅当时，等号成立），因此，（千元）．当，时，．求导可得，所以在上单调递减，于是（千元）．又，所以日最低收入为1116千元． 该村两年可收回的投资资金为（千元）（万元），因803.52万元万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金．20．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列；(3)求（2）中数列的公差．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)或． 【分析】（1）设而不求，利用点差法以及中点坐标公式求出，再利用在椭圆内列不等式求解即可；（2）解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，，可证明，，成等差数列；（3）先求出直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．【详解】（1）设，因为线段的中点为，所以，，将，代入椭圆中，得，两式相减得，，即，所以，点在椭圆内，即，解得，所以．①（2）由题意得，设，则，，由（1）及题设得，．又点在上，,所以，从而，．于是．同理．所以，故，即，，成等差数列．（3）设该数列的公差为，则②将代入①得．所以的方程为，代入的方程，并整理得．故，，代入②解得．所以该数列的公差为或．21．已知为定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根、（），称为的特征根.（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）已知为给定实数，求的表达式；（3）把函数，的最大值记作，最小值记作，研究函数，的单调性，令，若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）非奇非偶函数；理由见解析（2）（3）【分析】（1）当时，判断为奇函数；当时，取和，非奇非偶函数，得到答案.（2）根据韦达定理得到，代入表达式化简得到答案.（3）先证明在内单调递增，，代入不等式得到答案.【详解】（1）当时，，是奇函数当时，，且，是非奇非偶函数综上所述：时，为奇函数；时，是非奇非偶函数.（2）恒成立            （3）先证明上是递增函数，设  由（2）可知：、是方程的两个实根，又      在内单调递增 ，  恒成立      【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数表达值，恒成立问题，判断函数的单调性是解题的关键.