2023届北京市丰台区高三上学期数学期末试题（解析版）

这是一份2023届北京市丰台区高三上学期数学期末试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届北京市丰台区高三上学期数学期末试题 一、单选题1．已知全集，集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据补集概念求解即可.【详解】因为，，所以或.故选：B2．已知复数，则在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先化简复数，求出共轭复数，即可得结论.【详解】因为，所以，所以对应的点为在第三象限，故选：C.3．在的展开式中，常数项为（    ）A． B．24 C． D．48【答案】B【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项．【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为故选：B4．已知向量，则“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由可求出，再由充分性和必要性的定义即可得出答案.【详解】若，则，解得：.所以，而推不出.故“”是“”的充分而不必要条件故选：A.5．下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析.【详解】选项A由令的定义域为，且，由函数为二次函数开口向下，对称轴为轴，所以在单调递减，故函数在区间上单调递减，故A错误，由的定义域为，关于原点对称且，所以为奇函数，故选项B错误，由的定义域为，且，所以为奇函数，故C错误，由的定义域为，且，所以为偶函数，，且，所以，因为，且，因为在上单调递增，所以，，所以，故，所以在区间上单调递增，故选：D.6．已知抛物线过点，焦点为F．若点满足，则m的值为（    ）A．2 B． C．2或 D．或【答案】C【分析】由抛物线过点，可求出，即可表示出，再由，即可求出m的值.【详解】因为抛物线过点，所以，所以抛物线，则，又因为，所以，解得：或.故选：C.7．已知函数，则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.【详解】依题意，，由解得或画出的图象如下图所示，由图可知，不等式的解集是.故选：A8．设双曲线的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意得到直线，与另一条渐近线联立得到，根据为线段的中点得到，再代入双曲线方程求解即可.【详解】由题知：，平行的一条渐近线为，则直线，，即.因为为线段的中点，所以.把代入得：，化简得，即，则.故选：C9．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，点M为底面上的动点，M到的距离记为d，若，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】在平面中求得点的轨迹方程，从而求得轨迹的长度.【详解】由于平面平面，所以，所以.在正方形中，建立平面直角坐标系如下图所示，，设，则，，，，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.由令，解得，则，由于，所以，所以点的轨迹在底面正方形内的长度是.故选：B10．市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重．一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”．有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%．经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（    ）A．45% B．48% C．50% D．52%【答案】D【分析】根据市场占有率转移情况求得正确答案.【详解】最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为：.故选：D 二、填空题11．函数的定义域是___________．【答案】且【分析】根据题意得到求解即可.【详解】由题知：且.故答案为：且.12．已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是___________．【答案】【分析】集合表示直线上的点，集合表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围.【详解】集合表示直线上的点，集合表示圆上的点，圆心为，半径，为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即，解得.故答案为：13．已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则___________．【答案】【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.【详解】由于若，且在区间上有最小值无最大值，，则，所以，，由于，所以的值为.故答案为：14．已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论：①函数有零点；     ②a的取值范围是；③；              ④．其中所有正确结论的序号是___________．【答案】①④【分析】求出函数定义域以及导函数.由可说明①正确；由已知，有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出的范围，判断②；根据求根公式，解出，结合②中解出的的范围，可得到，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结合③的解析，可得，即④正确.【详解】由已知可得，定义域为，.对于①，因为，所以1是函数的一个零点，故①正确；对于②，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程有两个不同的正数解，则应满足，解得，故②错误；对于③，解方程可得，，因为，所以，由②知，所以，所以，故③错误；对于④，由可得，即，所以，所以在上单调递增；解可得，或，所以在上单调递减，在上单调递减.由③知，所以，故④正确.故答案为：①④. 三、双空题15．在等差数列中，公差d不为0，，且成等比数列，则___________；当___________时，数列的前n项和有最大值．【答案】          【分析】根据等比数列得到，解得，再计算，，得到答案.【详解】成等比数列，故，即，解得或（舍）.，,，，故时，有最大值.故答案为：； 四、解答题16．如图，已知正方体中，点是棱的中点．(1)求证：平面；(2)若点F是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接交于，连接，证明即可.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面的法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接交于，连接，是中点，是的中点，故，平面且平面，故平面；（2）以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方形边长为，则，，，，设平面的法向量为，则，取得到，.直线与平面所成角的正弦值为.17．在中，．(1)求A；(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)或；(2)答案见解析. 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，即可求出结果；（2）若选①：根据已知可得为钝角，则为锐角，，三角形唯一，根据两角和的正弦公式可求出，根据正弦定理求出的值，根据即可求出面积；若选②：根据正弦定理可求出，为直角，三角形唯一确定，可求出，即可求出；若选③：由，可知或，有两解.【详解】（1）由可得，.因为，所以，又，所以或.（2）若选①：.因为，所以为钝角，为锐角，又，又，所以，即，所以存在且唯一确定.则，由可得..根据正弦定理可得，，所以；若选②：.因为，所以，由正弦定理可得，，因为，所以，所以存在且唯一确定.则，所以，；若选③：.因为，所以，此时或，所以，此时存在但不唯一.18．非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)求a的值；(2)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望；(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明）【答案】(1)(2)分布列详见解析，(3) 【分析】（1）根据频率之和为求得.（2）根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.（3）根据平均数、中位数的求法求得，并比较出两者的大小关系.【详解】（1），解得.（2）不超过40岁的人的频率为，所以，的可能取值为，，，，所以的分布列为： 所以.（3）岁.，所以.19．已知椭圆过点，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)设点，直线与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点，B为椭圆E的右顶点．记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据过点和离心率计算得到椭圆方程.（2）计算直线方程，联立方程得到点坐标，再计算，，相乘得到答案.【详解】（1）椭圆过点，离心率为，故，，，，椭圆方程为.（2），直线：，联立方程，得到，方程的一个解为，故另外一个解为.当时，，即，，，，，得证20．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最小值；(3)证明函数只有一个零点．【答案】(1)(2)(3)见解析 【分析】（1）对求导，求出，由点斜式方程即可求出答案；（2）令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.（3）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.【详解】（1）的定义域为，故，，所以曲线在点处的切线方程为：，化简得：（2）令，，当时，，所以在上单调递减，且，，所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，又因为所以函数在区间上的最小值为.（3），，若，，所以在区间上单调递增，又，，结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，若，则，则，若，因为，所以，综上，函数在有且仅有一个零点.【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.21．设为正实数，若各项均为正数的数列满足：，都有．则称数列为数列．(1)判断以下两个数列是否为数列：数列：3，5，8，13，21；数列：，，5，10．(2)若数列满足且，是否存在正实数，使得数列是数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．(3)若各项均为整数的数列是数列，且的前项和为150，求的最小值及取得最小值时的所有可能取值．【答案】(1)数列是，数列不是；(2)不存在，理由见解析；(3)答案见解析. 【分析】（1）根据定义验证是否恒成立，即可判断；（2）假设存在，则由已知可推得.当时，，这与假设矛盾，所以不存在；（3）根据已知推出，进而推出，， ，，相加可推得.根据基本式，结合题意可得的最小值不小于30.进而得出的范围，得到所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到的所以可能的取值.【详解】（1）根据定义，数列应满足，都有，即恒成立.对于数列：有，，，均满足，所以数列是数列；对于数列，因为不满足，所以数列不是数列.（2）不存在正实数，使得数列是数列.说明理由如下：假设存在正实数，使得数列是数列，则，都有，即恒成立.因为， 所以，当时，，这与假设矛盾.所以，不存在正实数，使得数列是数列.（3）因为数列是数列，所以.所以，所以，，，，，，所以，即，所以.所以，因为数列是整数列，所以的最小值不小于30.假设，必有，解得，因为，所以可取9，10，11，12.当时，，存在满足条件的数列.，，，，，，，，；当时，，存在满足条件的数列.，，，，，，，，，；当时，，存在满足条件的数列.，，，，，，，，，，； 当时，，存在满足条件的数列.，，，，，，，，，，，.以上都是的充分条件.所以的最小值为30，此时的所有可能的取值为，，20，.