2023届上海市嘉定区封浜高级中学高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届上海市嘉定区封浜高级中学高三上学期期中数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了填空题，多选题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市嘉定区封浜高级中学高三上学期期中数学试题 一、填空题1．已知集合，则______．【答案】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】故答案为【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．不等式的解集是________．【答案】【分析】把分式不等式等价转化为一元二次不等式，由此求得原不等式的解集．【详解】解：不等式等价于，解得，故答案为：．3．已知函数为奇函数，则实数______【答案】1【分析】根据奇函数的定义结合指数运算求解.【详解】若函数为奇函数，则，即，解得：，故答案为：1.4．已知角的终边上一点，则____.【答案】【解析】根据角的终边上一点，利用三角函数的定义得到，再利用诱导公式求解.【详解】因为角的终边上一点，所以，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.5．函数在点处的切线方程为_____．【答案】【分析】根据导数，先求得切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程.【详解】函数则由导数几何意义可知根据点斜式可得直线方程为 化简可得故答案为：【点睛】本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.6．已知是偶函数，且时，，若，则的值是______．【答案】6【分析】根据题意，由函数的奇偶性解析式分析可得，解可得，即可得函数在的解析式，据此结合函数的奇偶性分析可得答案．【详解】根据题意，是偶函数，且时，，，则，则，则有时，，则，又由是偶函数，则；故答案为:6.7．已知，且，则______.【答案】【分析】两边平方，结合同角三角函数平方关系及二倍角公式得到，结合，求出.【详解】，两边平方得：，即，所以，因为，所以，所以，所以.故答案为：8．已知函数在处取得极值0，则______．【答案】11【分析】求出导函数，然后由极值点和极值求出参数值即可得，注意检验符合极值点的定义．【详解】，则，即，解得或当时，，不符合题意，舍去；当时，，令，得或；令，得．所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则．故答案为：11．9．已知正实数a、b满足，则的最小值是_____________．【答案】【分析】把转化为，展开后利用基本不等式求得最值【详解】已知，，且，则，当且仅当，即，时，取得最小值．故答案为：10．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则________________．【答案】【分析】由正弦定理与两角和的正弦公式化简求解【详解】，由正弦定理化简得，而，而，解得，而，则，故答案为：11．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有______个.【答案】2【解析】根据导函数的图像求出函数的单调区间，由极值点的定义即可求解.【详解】由导函数的图像可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，所以为极大值点，为极小值点，所以函数的极值点有2个.故答案为：212．若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__________【答案】【分析】根据题意，将问题转化为有实数解，进而结合二次函数求解即可.【详解】解：因为关于的方程有实数解，所以方程有实数解，因为当且仅当时等号成立，所以，方程有实数解，则所以，实数的取值范围是.故答案为： 二、多选题13．下列选项中是的必要不充分条件的有（    ）A．：，：B．：，：C．：两个三角形全等，：两个三角形面积相等D．：，：【答案】AD【分析】根据充分与必要条件的概念即可求解．【详解】对于A：，而当时，不一定有，是的必要不充分条件，故A正确；对于B：，，是的充要条件，故B错误；对于C：两个三角形全等两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，是的充分不必要条件，故C错误；对于D：当时，则，反之，当时，不一定成立，是的必要不充分条件，故D正确．故选：AD． 三、单选题14．下列求导运算正确的是（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导函数四则运算法则和简单复合函数求导法则计算出结果.【详解】对于A，，故A不正确；对于B，，B错误.对于C，，C正确对于D，，D错误.故选：C15．将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则的单调递增区间是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用三角恒等变换化简，得到，再根据平移和伸缩变换得到的解析式，利用整体法求解出单调递增区间.【详解】，则，令，解得：，故选：A16．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（    ）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形【答案】A【分析】由正弦定理化边为角变形判断AB，举特例判断C，由余弦定理及锐角三角形的定义判断D．【详解】由正弦定理，若，则，为三角形内角，所以，三角形是等边三角形，A正确；若，由正弦定理得，即，，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；例如，，，满足，但此时不是等腰三角形，C错；时，由余弦定理可得，即为锐角，但是否都是锐角，不能保证，因此该三角形不一定是锐角三角形，D错．故选：A．【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项B，在由得结论时不能直接得出，否则会出现漏解，在判断三角形形状时，锐角三角形需要三个内角都是锐角，直角三角形只有一个角是直角，钝角三角形只有一个角是钝角，它们判断方法有一些区别，这些是易错点． 四、解答题17．已知的内角，，的对边分别为，，，，，.(1)求角；(2)求的面积.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据余弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合（1）的结论、三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）因为，所以由余弦定理可知：；（2）由正弦定理可知：，，，.18．已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间内的值域．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得.【详解】（1）因为，令，解得，则的单调递增区间是；（2）由（1）可得．因为，所以，所以，所以，即在区间内的值域为．19．已知．(1)指出函数的定义域，并求，，，的值；(2)观察（1）中的函数值，请你猜想函数的一个性质，并证明你的猜想；(3)解不等式：．【答案】(1)定义域为；，，，(2)答案见解析(3)． 【分析】（1）由真数大于，可得定义域；代入计算可得函数值；（2）可得性质一、函数为奇函数，运用奇函数的定义即可得到；性质二、函数在定义域上单调递减，运用单调性的定义，即可得证；（3）解法一、运用单调性，可得，解不等式组即可得到解集；解法二、求出，由对数的运算性质，解不等式即可得到所求.【详解】（1）由，，可得，可得函数的定义域为；，，，．（2）性质一：由于，，猜想函数为奇函数，证明：设任意，，所以函数为奇函数性质二：由于，猜想函数在定义域上单调递减，证明：设任意，，且，则，因为，所以，，则，，所以，即，函数在定义域上单调递减．（3）解法一：由Ⅰ可知，，则，又为奇函数，则，又函数在定义域上单调递减，故原不等式可化为：，解得，即原不等式的解集为．解法二：因为，所以，所以，原不等式可化为：，即，所以，解得，又，所以，即原不等式的解集为．20．某医院需要建造隔离病房和药物仓库，已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的离（千米）的关系为：．若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元，为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每千米成本为万元，设为建造病房与修路费用之和．(1)求的表达式：(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小?并求出最小值．【答案】(1)(2)当隔离病房与药物仓库距离为千米时，可使得总费用最小为万元. 【分析】（1）由已知得当时，，代入可得，则；（2）利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）由已知得当时，，代入可得，解得，所以，所以总费用；（2）由（1）得，所以（万元），当且仅当，即时，等号成立，所以当隔离病房与药物仓库距离为千米时，可使得总费用最小为万元.21．已知函数.(1)求处的切线方程；(2)求证：有且仅有一个极值点；(3)若存在实数a使对任意的恒成立，求实数b的取值范围.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1），而，故，所以在处的切线方程为.（2），令，则，当时，，当时，，故即在上为增函数，在上为减函数，而时，恒成立，当时，，故在仅有一个变号零点，故有且仅有一个极值点.（3）令，由题设可得：函数的最大值不大于0，，根据（2）的结论可知有唯一极值点，且当时，，时，，故在上为增函数，在上为减函数，所以，此时，所以，故，由可得.又由的存在性可得，令， 当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，，综上所述.【点睛】思路点睛：导数背景下函数零点问题，注意根据导数符号讨论单调性，再根据零点存在定理判断零点的个数，而不等式恒成立问题，往往转化为函数的最值来处理.