2022-2023学年陕西省西安市铁路中学高三上学期1月一模数学试题(文科)（解析版）

2022-2023学年高三上学期1月一模

数学试卷（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．在平行四边形中，O为对角线的交点，则（    ）

A． B． C． D．

3．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

4．（    ）

A． B． C． D．

5．函数的零点为（    ）

A．4 B．4或5 C．5 D．或5

6．执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A．5 B．6 C．8 D．7

7．一个正四棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为，则球O的体积为（    ）

A． B． C． D．

8．若，则（    ）

A．3 B． C．2 D．4

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

10．若从区间内，任意选取一个实数a，则曲线在点处的切线的倾斜角大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

11．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象．若在上单调，则的值不可能为（    ）

A． B． C． D．

12．已知分别是双曲线的左、右焦点，直线l经过且与C的左支交于P，Q两点，P在以为直径的圆上，，则C的离心率是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．复数的实部为___________．

14．若某圆柱的底面半径为，母线长为3，则该圆柱的侧面积为___________．

15．若x，y满足约束条件，则的取值范围为___________．

16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列的前n项和为，则的最小值为___________．

三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．

（1）求C；

（2）若c是a，b的等比中项，且的周长为6，求外接圆的半径．

18．（12分）

在四棱锥中，平面底面，底面是菱形，E是的中点，．

（1）证明：平面．

（2）若四棱锥的体积为，求．

19．（12分）

某加工工厂加工产品A，根据市场调研收集到需加工量X（单位：千件）与加工单价Y（单位：元/件）的四组数据如下表所示：

根据表中数据，得到Y关于X的线性回归方程为，其中．

（1）若某公司产品A需加工量为1.1万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；

（2）通过计算线性相关系数，判断Y与X是否高度线性相关．

参考公式：，当时，两个相关变量之间高度线性相关．

20．（12分）

已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）证明：当时，在上存在唯一零点．

21．（12分）

已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，左焦点为F，，．

（1）求C的方程；

（2）设直线l与C交于不同于B的M，N两点，且，求的最大值．

（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分））

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求a的取值范围．

高三数学试卷参考答案（文科）

1．A   因为，所以．

2．D  ．

3．C  因为，所以，所以抛物线的准线方程为．

4．A  ．

5．C  由，得，则，解得或，又，所以．

6．D  ；；；；；；．故输出i的值为7．

7．B  设该正四棱柱的底面边长为a，高为h，则球O的直径为，故球O的体积为．

8．A  因为，

所以．

9．D  因为，所以，而，故．

10．B  因为，所以当时，．若曲线在点处的切线的倾斜角大于，则或，解得或．由几何概型可知曲线在点处的切线的倾斜角大于的概率为．

11．B  因为，所以．

因为，所以，

又在上单调，所以或或，所以的取值范围是．

12．D  不妨设，因为P在以为直径的圆上，所以，即，则．因为Q在C的左支上，所以，得，则．因为，所以，故．

13．7  ．

14．  该圆柱的侧面积为．

15．  作出约束条件表示的可行域（图略），当直线经过点时，z取得最大值，且最大值为11，当直线经过点时，z取得最小值，且最小值为．故的取值范围为．

16．52  被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列，构成首项为10，公差为的等差数列，则，，从而，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为52．

17．解：（1）由正弦定理得，

又由，可得，所以，

即，解得，

因为，所以．

（2）由（1）及余弦定理有．

因为c是a，b的等比中项，所以，代入上式有，解得，

又，所以，可得，

故外接圆的半径为．

18．（1）证明：连接交于点F，连接．

因为底面是菱形，所以F是的中点，

又E是的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面．

（2）解：取的中点O，连接．则．

因为平面平面，且平面平面，所以平面．

设，则，得．

连接，因为底面是菱形，，所以，且．

因为，所以，

又，所以由余弦定理可得．

19．解：（1）．

因为，所以，

又，所以．

当加工量为1.1万件，即时，，

故可估计该公司需要给该加工工厂的加工费为万元．

（2），

因为，所以Y与X高度线性相关．

20．（1）解：当时，．

令，得，令，得，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）证明：．

令，得．因为，所以．

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增．

而，

且．

又因为在上单调递增，

所以在上有唯一零点．

当时，恒有无零点．

综上，当时，在上存在唯一零点．

21．解：（1）设C的半焦距为c，由，

可得，则，

因为，

所以C的方程为．

（2）由题意知，直线l的斜率不为0，

则不妨设直线l的方程为．

联立消去x得，

，化简整理得．

设，则．

因为，所以．

因为，所以，

得，

将代入上式，

得，

得，

解得或（舍去）．

所以直线l的方程为，则直线l恒过点．

所以．

设，则，，

易知在上单调递增，

所以当时，取得最大值．

又，

所以．

22．解：（1）由（t为参数），得，

故曲线C的普通方程为．

由，得，

故直线l的直角坐标方程为．

（2）由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，

设A，B对应的参数分别是，

则，

从而，

故．

23．解：（1）当时，．

当时，可化为，得；

当时，可化为，得；

当时，可化为，得，不成立．

综上，不等式的解集为．

（2）因为的解集包含，所以当时，恒成立．

当时，可化为，即，

即，则，

当时，，则，解得．

综上，a的取值范围为．