2023届江西省萍乡市高三上学期期末考试数学（文）试题（word版）

准考证号____________姓名____________

绝密★启用前（在此卷上答题无效）

萍乡市2022-2023 学年度高三期末考试试卷

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答题无效。

3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．         B．            C．          D．

2．已知i为虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（    ）

A．          B．0          C．1            D．2

3．浓浓桑梓情，拳拳助疫心．为了抗击疫情，各路爱心人士纷纷捐款捐物，某地第一天收到捐赠的口罩共1000盒，第二天收到捐赠的口罩共1500盒，第三天收到捐赠的口罩共2000盒，……，照此规律，募捐共20000盒口罩至少需要的天数为（    ）

A．6          B．7            C．8              D．9

4．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，已知角α终边过点，则（    ）

A．          B．           C．            D．

5．关于某校运动会5000米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题p；“乙得第二”为命题q；“丙得第三”为命题r．若为真命题，为假命题，为假命题，则下列说法一定正确的为（    ）

A．甲不是第一      B．乙不是第二       C．丙不是第三      D．根据题设能确定甲、乙、丙的顺序

6．若实数a，b，c满足，则下列结论一定成立的是（    ）

A．                  B．

C．           D．

7．函数与的图象有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（    ）

A．         B．         C．或        D．或

8．函数的最小正周期为T，若，且的图象关于直线对称，则（    ）

A．1            B．2            C．3             D．4

9．分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完全一样，只是大小不同．谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方法是：将一个正方形均分为9个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代；然后对余下的8个小正方形做同样操作，直到无限次，如右上图．进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯如右下图，从正方形ABCD内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为（    ）

A．        B．         C．           D．

10．三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（    ）

A．         B．           C．                D．

11．点M为抛物线上任意一点，点N为圆上任意一点，P为直线的定点，则的最小值为（    ）

A．2        B．           C．3           D．

12．已知函数，，若关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（   ）

A．         B．          C．            D．

萍乡市2022-2023学年度高三期末考试试卷

文科数学

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22，23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知两个平面向量共线且方向相反，若，，则向量的坐标为________．

14．若中心在原点、焦点在y轴的双曲线经过点，离心率为，则该双曲线的标准方程为________．

15．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，，则________．

16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

记为数列的前项和，知，．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式．

18．（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDE中，为等边三角形，平面平面ACDE，且，，F为边BC的中点．

（1）证明：平面ABE；

（2）求DF与平面ABC所成角的大小．

19．（本小题满分12分）

甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，两人答每道题都相互独立．答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得10分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为，若抢到，答对得10分，对方得0分，答错得0分，对方得5分．

（1）若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为，求的最大值和此时乙答对每道题的概率；

（2）以（1）中确定的作为p的值，求乙在两轮对战后得到25分的概率．

20．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若为的导函数，讨论的单调性与极值；

（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点，若直线PM，PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，求证：直线ST过定点，并求该定点坐标．

请考生在第22、23两题中任选一题做答，只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线与曲线相交于P，Q两点．

（1）写出曲线的直角坐标方程，并求出的取值范围；

（2）求的取值范围．

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数的图象与x轴围成的封闭图形的面积为1．

（1）求实数a，b满足的关系式；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数b的取值范围．

萍乡市2022-2023学年度高三期末考试

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题（12×5=60分）：ABCDC；     DCDBC；     AD．

二、填空题（4×5=20分）：13．；    14．；    15．1；    16．．

三、解答题（共70分）：

17．（1）依题意：时，，又，代入得：，            （2分）

时，， 又，代得：；             （5分）

（2）由得，，当，，             （6分）

两式相减得：，化简得：        （8分）

，    （10分）

当时，，符合上式，                 （11分）

故．                         （12分）

18．（1）证明：取AB的中点为M，连接ME，MF，                    （1分）

因为F为边BC的中点，所以，，                （2分）

又，，所以，且，

即四边形EDFM为平行四边形，所以，            （4分）

又平面ABE，平面ABE，所以平面ABE；            （6分）

【用面面平行性质得到线面平行同样给分】

（2）平面平面ACDE，平面平面，

，平面ACDE，则平面ABC，                       （8分）

∵，∴DF与平面ABC所成角即为EM与平面ABC所成角，即，           （10分）

在直角，，即，

故DF与平面ABC所成角的大小为．                 （12分）

19．（1）依题意，设“乙在第一轮答题中的第i次答题答对”设为事件，则乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题有三种情况：

，                （1分）

则概率，            （3分）

，则在单调递增，在单调递减，        （4分）

故的最大值为，此时，；                  （6分）

【，故的最大值为，当且仅当，即时取等号；同样给分】

（2）若乙在两轮对战后得25分，则乙在第一轮必答环节中恰好答对两道，且第二轮抢答环节中甲抢到并答错，（9分）

以（1）中确定的作为p的值，则乙在第一轮答题中恰好答对两道必答题的概率为，        （10分）

故乙在两轮对战后得25分的概率为．             （12分）

20． （1）令，              （1分）

则，                     （2分）

当时，恒成立，在单调递增，无极值；              （3分）

当时，，，单调递增，，，单调递减，

极大值为，无极小值，                     （5分）

综上所述：当时，在单调递增，无极值；当时，在单调递增，在单调递减，极大值为，无极小值；             （6分）

（2）【法一】由题知，在恒成立，              （7分）

令，则，                  （8分）

令，则，                （9分）

因为，所以，，即，       （10分）

即，，所以．                  （12分）

【法二】由题知，需满足，即，                （7分）

下证当时，在上恒成立，即在恒成立，       （8分）

令，∵，∴，

令，∵，∴，

故在恒成立，即在恒成立，

则在单调递减，，              （11分）

故在上恒成立，综上所述，．            （12分）

21．（1）根据椭圆定义可知，，                         （2分）

，，                       （3分）

故椭圆E的标准方程为；                      （4分）

（2）由题知，，，               （5分）

直线，与椭圆方程联立、化简得：，

则，，               （7分）

同理得，，              （8分）

，           （9分）

直线，         （11分）

故直线ST过定点．                  （12分）

22．（1）曲线的直角坐标方程为，即，           （2分）

当时，曲线与曲线有两个交点，符合题意，            （3分）

当时，曲线的直角坐标方程为：，设到曲线的距离为d，则，得或，                （4分）

又∵，∴；                    （5分）

（2）将代入的极坐标方程得：，           （6分）

设P，Q两点对应的极径分别为，则，            （7分）

由（1）知，则．            （10分）

23．（1），               （1分）

∵与x轴交点坐标分别为，顶点坐标为，         （3分）

∴，即；                  （5分）

（2）对于，不等式左边恒成立，        （6分）

即对于，恒成立                （7分）

∵                   （8分）

∴，即或，                   （9分）

又∵，∴．               （10分