2023届山东省“学情空间”区域教研共同体高三上学期10月第一次阶段性测试数学试题（解析版）

2023届山东省“学情空间”区域教研共同体高三上学期10月第一次阶段性测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则中元素的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据并集运算求出，进而得到结果.

【详解】因为，

所以，所以中元素的个数有4个.

故选：C.

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】从充分性和必要性两方面进行讨论即可.

【详解】充分性：当，时充分性不成立；

必要性：由可得，即，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本题主要考查充要条件的判定，涉及到不等式的性质，属于基础题.

3．已知，则在上的最大值为（    ）

A． B． C． D．0

【答案】B

【分析】对求导得，令其为0，得到其单调性，最后得到最大值.

【详解】，且，

，令，（负舍），

，，，，

所以在上单调递减，在到上单调递增，又，所以在上的最大值是.

故选：B.

4．现有如下信息：

（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为

（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．

（3）有一个内角为的等腰三角形为黄金三角形，

由上述信息可求得（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】如图作三角形，先求出，再求出的值.

【详解】如图，等腰三角形，,，取中点连接.

，

由题意可得，

所以，

所以，

所以.

故选：D

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造一个恰当的三角形，再解三角形求解.

5．已知函数是R上的奇函数，且，且当时，，则的值是（    ）

A．1 B． C．0 D．

【答案】A

【分析】利用奇函数性质可知，由可知函数的周期性，从而可得结果.

【详解】解：因为函数是R上的奇函数，所以，

由得，，所以

所以函数为周期函数，周期为6，所以，

又，所以.

故选：A

6．已知函数，图象向左平移个单位后关于直线对称，则下列说法正确的是（    ）

A．在区间上有一个零点 B．关于对称

C．在区间上单调递增 D．在区间上的最大值为2

【答案】A

【分析】通过函数的平移变换后图象关于直线对称可求得值，从而可求出函数解析式，然后使用换元法画出函数图象，再逐项判断即可.

【详解】函数，图象向左平移个单位后的图象对应的解析式为：；

而图象关于直线对称，且，于是，；

；

，所以不关于对称，故B错误；

当时，则，令，则，此时函数图象如图:

结合图象可知，当时，即，与坐标轴只有一个交点，即只有一个零点，故A正确；

当时，则，结合图象可知，此时有增有减，故C错误；

 当时，则，结合图象可知，此时单调递增，所以，当时，即，函数取最大值，，故D错误；

故选：A.

7．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据，判断的大小，由，构造函数，利用导数判断单调性，即可得到.

【详解】由不等式可得，即；，

设，

因为，所以在上单调递增，

所以当，所以，即.

所以.

故选：C

8．若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，将原不等式转化为求解函数的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到，再利用基本不等式进行求解即可．

【详解】解：设，则对一切正实数恒成立，即，

由，令，则恒成立，

所以在上为增函数，

当时，，当时，，

则在上，存在使得，

当时，，当时，，

故函数在上单调递减，在，上单调递增，

所以函数在处取得最小值为，

因为，即，

所以恒成立，即，

又，当且仅当，即时取等号，

故，所以．

故选：C．

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.

二、多选题

9．已知命题p：关于x的不等式的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】求出命题p成立时的取值范围，再根据必要不充分条件的定义逐个判断选项，得出答案．

【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，

则，解得

又，且，

故选：CD

10．给出下列结论，其中正确的结论是（    ）

A．函数的最大值为

B．已知函数（且）在（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2]

C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称

D．若，则的值为1

【答案】BCD

【解析】直接利用复合函数的性质判定的结论，利用对数的运算判断、的结论，利用函数的对称性判断的结论．

【详解】解：对于：函数的最小值为，故错误；

对于：已知函数且在上是减函数，

所以，解得，故正确．

对于：同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的的图象关于直线对称，故正确；

对于：由于，则，则，同理，

所以，故正确．

故选：．

【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，复合函数的单调性由“同增异减”的法则判断即可；

11．如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．的长度为

B．扇形的面积为

C．当与重合时，

D．当时，四边形面积的最大值为

【答案】ACD

【分析】利用弧长公式判断A，利用扇形面积公式判断B，利用锐角三角函数判断C，根据、三角形面积公式及三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的性质计算出面积最大值，即可判断D.

【详解】解：依题意圆的半径，，，，

所以的长度为，故A正确；

因为，所以扇形的面积，故B错误；

当与重合时，即，则，则，故C正确；

因为，所以

所以当，即时，故D正确；

故选：ACD

12．已知函数，下列说法不正确的是（    ）

A．当时，函数仅有一个零点

B．对于，函数都存在极值点

C．当时，函数不存在极值点

D．，使函数都存在3个极值点

【答案】ABD

【分析】由时，即可判断A选项；当时，求导确定函数的单调性即可判断C选项；由C选项即可判断B选项；由的零点个数即可判断D选项.

【详解】，，令，则，

对于A，当时，，函数无零点，则A错误；

对于C，当时，，，，，

当时，，即单增，当时，，即单减，

则，即函数单增，不存在极值点，C正确；

对于B，由C选项知错误；

对于D，假设，使函数都存在3个极值点，即存在3个变号零点，又由上知，

当时，，即单增，最多只有1个零点；当时，当时，，即单增，

当时，，即单减，最多只有2个零点，和存在3个变号零点矛盾，

则不存在，使函数都存在3个极值点，D错误.

故选：ABD.

【点睛】解决极值点问题，关键在于求导后由导数的正负确定函数的单调性，对于导数的正负不好直接确定的，可以通过构造函数，再次求导，进而确定导数的正负，使问题得到解决.

三、填空题

13．若，则___________.

【答案】

【分析】利用诱导公式化简，再次化简得，则得.

【详解】因为，

所以，

所以，又，所以.

故答案为：.

14．方程的解为___________．

【答案】

【分析】结合对数运算以及指数运算，解方程求得的值.

【详解】依题意，

，

，

，

，

即或，

解得或，

当时，，不符合题意，舍去.

所以.

故答案为：

15．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】利用奇函数的性质得到，再根据不等式构造函数，分析函数在时的单调性，根据单调性、奇偶性和解不等式即可.

【详解】因为为奇函数，定义域为，所以，，

又因为时，，所以，

构造函数，所以，

所以当时，，在上单调递增，

又因为，所以，在上大于零，在上小于零，

又因为，所以当时，在上大于零，在上小于零，因为为奇函数，所以当时，在上小于零，在上大于零，

综上所述：的解集为.

故答案为：.

【点睛】常见的函数构造形式：

①，；

②，.

16．已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】首先利用导函数求的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．

【详解】解：因为，则，

当或时，，

当时，，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

且当时，，，

故的大致图像如图所示：

关于的方程等价于，

即或，

由图可得，方程有且仅有一解，则有两解，

所以，解得，

故答案为：

四、解答题

17．已知，若，解关于x的不等式；

【答案】答案见解析

【分析】根据题意求出，用把表示出来，然后对分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，又因，所以，所以，

则不等式即为，即，

若，则不等式的解集为；

若，则不等式的解集为；

若，当时，则不等式的解集为；

当时，则不等式的解集为；

当时，则不等式的解集为；

18．已知函数.

(1)求的最小正周期;

(2)若，求出的单调递减区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简函数为的形式, 再利用周期公式求函数的最小正周期,

(2)根据 ,令 ，则可求出的范围,从而得出的单调递减区间.

【详解】(1)

.

的最小正周期为 .

(2)令 ，则 ，

又函数 在 上单调递减，即 时，的单调递减，

当 时，的单调减区间为.

19．已知函数，为函数的导函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)详见解析；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数化简得，分类讨论求函数的单调区间即可；

（2）由恒等式化简可得，分离参数可得当时，，当时，，利用导数研究的单调性及最值即可求解.

【详解】(1)由题可得，

①当时，时，，单调递减；

时，，单调递增；

②当时，时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，单调递增；

③当时，时，，单调递增；

④当时，时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，单调递增.

(2)由恒成立，即，

，

当时，恒成立，

当时，，当时，，

令，则，

当时，，单调递减且，

所以

当时，得，

时，，单调递减，时，，单调递增；

，故

综上，m的取值范围为.

20．定义域为的函数，部分x与y的对应关系如下表：

（1）求；

（2）若，其中，，求此函数的解析式，并求．

【答案】（1）2；（2），当时，原式；当时，原式．

【分析】（1）根据复合函数的性质，由内往外计算可得答案.

（2）根据最大值域最小值可求，利用周期求出，根据特殊点求出，即求出解析式，由解析式即可求出.

【详解】（1）由表中数据可得.

（2）由表中数据可得，，

从最大值到最小值为半个周期，所以周期，，

所以，

又，即，解得，

且，所以，

所以，

由，，

，

①当 ，

，

②当时，

 .

21．已知函数

(1)求在处的切线方程；

(2)求在上的最小值（参考数据：）

【答案】(1)；

(2)1.

【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.

（2）利用导数探讨函数的单调性，再求出其最小值作答.

【详解】(1)函数求导得：，

而，，由，得，

所以在处的切线方程为.

(2)，由（1）知，令，，

当时，，当时，，则函数，即在上递增，在上递减，

则有，即当时，，而，

使，当时，，当时，，

因此当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，

令，当时，求导得，即函数在上单调递增，

则，即，，于是得，而，则，

所以在上的最小值是1.

【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.

22．已知函数.

(1)若是的极值点，求的单调区间；

(2)若关于的方程恰有一个解，求a的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，再利用导数求出函数的单调区间；

（2）求出函数的导函数，令，，利用导数说明的单调性，由零点存在性定理可得存在使得，即可得到的单调性，从而求出的最小值，依题意可得，即可求出的值，从而得解.

【详解】(1)解：因为，所以，

因为是的极值点，所以，解得，经检验符合题意，

所以，，又与在上单调递增，

所以在上单调递增，又，

所以当时，当时，

即的单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)解：显然，又，

令，，则恒成立，所以在上单调递增，

且，，

所以存在使得，

当时，即，当时，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时取得最小值，

由，可得，即，则，

因为关于的方程恰有一个解，

所以，即，

所以，当时等号成立，

由，可得，即的取值范围为；

【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．