2023届上海市复兴高级中学高三上学期开学考数学试题（解析版）

2023届上海市复兴高级中学高三上学期开学考数学试题

一、单选题

1．在平面上，到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是（    ）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线

【答案】D

【分析】根据抛物线的定义判断即可.

【详解】解：因为点不在直线上，

则到点的距离等于到直线的距离的动点的轨迹是以为焦点，

直线为准线的抛物线；

故选：D

2．已知函数的导数是，那么“函数在R上单调递增”是“”的（    ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用定义法直接判断.

【详解】充分性：因为函数在R上单调递增，所以.即充分性成立；

必要性：取特殊函数，有符合“”，但是不符合“函数在R上单调递增”.即必要性不满足.

所以已知函数的导数是，那么“函数在R上单调递增”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．在棱长为1的正方体中，为棱上的定点，动点在正方体表面上运动，满足，如果动点的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能

【答案】A

【分析】在平面中过点作交于点，在平面中过作，连接、，即可证明平面，从而得到在

的边上，即可判断轨迹三角形的形状.

【详解】解：如图，在平面中过点作交于点，

（当在时恰为点，当在点时点也恰为点，满足点（即）使得），

在平面中过作，连接、，

由正方体的性质可得，平面，平面，所以，

，平面，所以平面，

平面，所以，所以，

，平面，所以平面，

因为，所以，又动点在正方体表面上运动，所以在

的边上，

显然，所以，所以为等腰三角形，

又，所以不可能为直角三角形或钝角三角形；

故选：A

4．已知函数f(x)=，函数g(x)=b-f(3-x)，其中b∈R，若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，则实数b的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．(-3，0)

【答案】B

【分析】函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，即y=b与h(x)=f(x)+f(3-x)的图象有4个不同的交点，求出并化简的解析式，画出图象可得实数b的取值范围．

【详解】因为f(x)= ，

所以f(3-x)= ，

由y=f(x)-g(x)=f(x)+f(3-x)-b=0.

得b=f(x)+f(3-x)，

令h(x)=f(x)+f(3-x)=，

函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，即y=b与h(x)=f(x)+f(3-x)的图象有4个不同的交点，

作出函数图形如图：

结合函数的图象可得，

当-3<b<-时，函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，

所以实数b的取值范围是

故选：B

【点睛】本题考查函数零点问题的应用，考查函数的图象，考查函数与方程思想和数形结合思想，属于中档题．

二、填空题

5．已知，则____________．

【答案】

【分析】由共轭复数和复数模的定义计算．

【详解】因为，所以．

故答案为：．

6．已知集合，，则____________．

【答案】

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得结果.

【详解】由可得，解得，

所以，，因此，.

故答案为：.

7．已知，那么____________．

【答案】

【分析】利用诱导公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.

【详解】由诱导公式可得，，

因此，.

故答案为：.

8．已知二项式展开式中，项的系数为80，则______.

【答案】2

【分析】根据二项展开式的通项公式，将项的系数表达式求出等于 ，

再求解关于的方程即可．

【详解】的展开式的通项为，

令，得，

则项的系数，解得；

故答案为：．

9．函数的定义域为____________．

【答案】

【分析】根据式子有意义得到不等式组，解得即可.

【详解】解：依题意，解得，所以函数的定义域为；

故答案为：

10．关于排列组合的方程的解是____________．

【答案】

【分析】根据组合数的性质及排列数转化为的方程，解得即可.

【详解】解：因为，所以，即为，

解得；

故答案为：

11．已知函数的最小值为，则实数____________．

【答案】

【分析】利用参变量分离法可知，再利用基本不等式可得出关于的等式，即可得解.

【详解】由题意可知对任意的恒成立，即，

另一方面，

当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，

另一方面，由基本不等式可得，可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，故.

故答案为：.

12．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________．

【答案】

【分析】由条件概率公式计算．

【详解】记第一次闭合后出现红灯为事件，则第一次出现绿灯为事件，第二次闭合后出现红灯为事件，出现绿灯为，

，，，

所以．

故答案为：．

13．已知函数，，若对任意，都存在，使得等式，则实数的取值范围是____________．

【答案】

【分析】分析可知函数在上的值域是函数在上值域的子集，分、、三种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.

【详解】由题意可知，函数在上的值域是函数在上值域的子集.

当时，，当时，.

（i）若，则，

由题意可得，解得，此时；

（ii）当时，，不合乎题意；

（iii）当时，，

由题意可得，此时.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

14．在中，，则的取值范围是____________．

【答案】

【分析】由向量数量积的定义及正弦定理、两角差的正弦公式变形得，由等腰三角形的性质及向量的加法法则得边上的中线长，这样可用角表示出边，然后由数量积的定义求得数量积，利用二倍角公式，余弦函数的性质得其范围．

【详解】记，

，，由正弦定理得，，

，所以，，

设是边上的中线，如图，则，，

，，

，

，

，则，，，

所以．

故答案为：．

15．已知双曲线的右焦点为，若的左支上存在点，使得直线是线段的垂直平分线，则____________．

【答案】

【分析】作出图形，设直线交于点，连接，计算出、，利用勾股定理可得出、的等量关系，即可求得的值.

【详解】设直线交于点，连接，

由题意可知，由双曲线的定义可得，

、分别为、的中点，则，因为，则，

由勾股定理可得，即，，

故，.

故答案为：.

16．抛物线()的焦点为，准线为，､是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________.

【答案】

【分析】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，设､，把MN用a、b表示，在中用余弦定理把AB表示出来，就可以表示出并求最值.

【详解】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，

设､，如图所示，根据抛物线的定义，

可知､，

在梯形中，有，

在中，，

又∵，∴，

∴，故的最大值是.

故答案为：1.

【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．

三、解答题

17．如图，在圆柱中，它的轴截面是一个边长为2的正方形，点C为棱的中点，点为弧的中点．

(1)求异面直线OC与所成角的大小；

(2)求直线与圆柱底面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用向量法求解即可；

（2）用向量法求解即可；

【详解】(1)以为原点，直线分别为轴，建立如图所示的坐标系，

则，，

于是，

所以，

所以异面直线OC与所成角的大小为；

(2)是圆柱底面的一个法向量，

又，

设直线与圆柱底面所成角的大小为，

则，

直线与圆柱底面所成角的正弦值为；

18．如图，矩形是一个历史文物展览厅的俯视图，点在边上，在梯形内展示文物，游客只能在区域内参观，在上点处安装可旋转的监控摄像头，为监控角，其中在线段上(含端点)，经测量知：米，米，，记(弧度)，监控可视区的面积为S．

(1)求线段的长度关于的函数关系式，并写出的取值范围；（参考数据

(2)求S与的函数关系式，并求S的最小值．

【答案】(1)，，；

(2)，最小值为.

【分析】（1）利用正弦定理表达出段的长度关于的函数关系式，并结合图形求出的取值范围；

（2）在第一问的基础上，利用三角形面积公式表达出S与的函数关系式，并用整体法求解面积的最小值.

【详解】(1)由题意得：，，，

则，

在中，由正弦定理可得：，

即，所以；

因为，，

所以，

，

在中，由正弦定理可知：，

即，

解得：，

当点与点重合时，取得最小值，最小值为0，

当点与点重合时，取得最大值，如图，，

所以，

此时，

所以.

(2)由面积公式可得：

，

因为，所以，

则当时，取得最大值，最大值为，

此时取得最小值，最小值为.

19．已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程．

【答案】(1)

(2)，，直线的方程为.

【分析】（1）利用题干条件列出方程，求出，进而计算出，写出椭圆方程；

（2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用韦达定理求出弦长，进而求出点到直线距离，表达出面积，并用导函数求解最大值及面积取得最大值时直线的方程.

【详解】(1)由题意得：，且，

解得：，

所以，

所以椭圆方程为；

(2)联立与椭圆方程可得：

，

由，解得：；

设，

则，，

由弦长公式可得：，

点到直线的距离为，

则的面积为，

其中，

令，，

则，

由于，所以，,

令得：，

令得：，

即在上单调递增，

在上单调递减，

所以在处取得极大值，也是最大值，

，

所以当时，面积取得最大值，此时直线的方程为．

【点睛】直线与圆锥曲线结合，求解面积最值问题，要将直线方程与圆锥方程联立，得到两根之和，两根之积，从而利用弦长公式求出弦长，表达出面积，利用基本不等式，配方或导函数求解面积最值.

20．已知焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆的离心率为，且过点．直线与圆(其中)相切于点A．

(1)求椭圆的方程；

(2)若，直线与椭圆交于两点，求的最大值；

(3)若直线与椭圆有且只有一个交点，且交点为，求的最大值．

【答案】(1)；

(2)；

(3)2．

【分析】（1）由离心率得，可得，再代入已知点坐标求得得椭圆方程；

（2）直线斜率不存在时，求得，斜率存在时，设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径得，直线方程代入椭圆方程，由可得的取值范围，设，，由韦达定理得，，由弦长公式求得弦长，由然后表示为的函数，换元后利用不等式的知识可得最大值；

（3）确定直线斜率一定存在，同（2）设直线方程为，利用（2）中结论首先得，并得出点坐标，由直线与圆相切于点得，把表示为的函数，由基本不等式得最大值．

【详解】(1)设椭圆方程为，

由得，则，

椭圆过点，则，解得，所以，

所以椭圆方程为；

(2)，圆方程为，

①当直线斜率不存在时，直线方程为或，

直线椭圆交点为，，同理直线与椭圆交点为为，三角形面积也为，

②当直线斜率存在时，设直线方程为，

由得，

由，得，

，，

设，，则，，

，

，

令，，则，

令，，

所以，从而，

由①②得的最大值为；

(3)由题意直线的斜率显然存在，与（2）相同设方程为，

由直线与圆相切得，即，（）

由（2）得直线与椭圆相切时，，即（）,且，

，

，，

由（）（）两式可得，，

所以，当且仅当，即时等号成立．

综上，的最大值为2．

【点睛】方法点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与圆相切，直线与椭圆的位置关系，计算量非常大，属于困难题．直线与椭圆相交中面积问题，一般设直线方程，设交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理，弦长公式求得弦长，从而得三角形面积，而最值问题，就是把面积、弦长表示为一个参数的函数，利用函数性质或基本不等式等求得最值、范围．

21．已知．

(1)当时，求在上的最大值；

(2)当时，讨论函数的单调性；

(3)当时，求恒成立，求正整数的最大值．

【答案】(1)0；

(2)答案见解析；

(3)3．

【分析】（1）求出导函数，确定函数的单调性得最大值；

（2）求出导函数，利用二次方程的根确定与的解得单调性；

（3）不等式参数分离法转化为求新函数的最小值，在确定极值点时，注意满足的关系，以便化简的表达式，从而求得其范围，得结论．

【详解】(1)，定义域是，，

时，，递增，时，，递减，

所以时，取得极大值也是最大值．

(2)，定义域是，

，

，

若，则，恒成立，即恒成立，所以在上单调递减，

当时，

由得，，

所以或时，，时，，

所以在和上是减函数，在上是增函数；

时，，在上是增函数，在上是减函数．

综上，若，在上单调递减；时，在和上是减函数，在上是增函数；时，在上是增函数，在上是减函数．

(3)时，求恒成立，即，

，

设，，

，

设，则，所以在上单调递减，

又，，所以存在唯一的，使得，，

时，，时，，

所以，，时，，

在上是减函数，在上是增函数，

，显然，

由得，

设，在时恒成立

在上递减，，

，所以，

所以，

则满足的最大的正整数的值为3．

【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，求函数的最值，考查不等式恒成立问题．对学生的逻辑思维能力，运算求解能要求高，属于困难题．对恒成立问题，首先分离参数转化为求函数的最小值，关键点是在确定函数的最小值时，需要确定导函数的零点，这是利用单调性与零点存在定理确定，并由极值点的定义得出满足的等式，目的是为估值时化简的表达式．通过估值得出参数的最大整数值．