2023届上海市向明中学高三上学期开学考试数学试题（解析版）

2023届上海市向明中学高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】探讨给定函数的性质，结合当时函数值的符号即可判断作答.

【详解】函数定义域为，，

则有函数是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；

当时，，即，因此，选项A不满足，D符合条件.

故选：D

2．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ）

A．当，时，二氧化碳处于液态

B．当，时，二氧化碳处于气态

C．当，时，二氧化碳处于超临界状态

D．当，时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【分析】根据与的关系图可得正确的选项.

【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.

当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

3．设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（    ）

A．当时，的值为6

B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为

C．的最小值为3

D．的最大值为

【答案】B

【分析】由焦半径求出的值判断A，利用导数的几何意义可得切线方程判断B，利用抛物线定义结合图象可判断CD.

【详解】当时，，故，故A正确；

当时，，由可得，所以，

所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，故B错误；

如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：，

则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，故C正确；

由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P，

此点即为取最大值的点，此时，

其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，

故的最大值为，故D正确.

故选：B.

4．直线与函数的图像在y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，下列结论：①；②在上是减函数；③为等差数列；④．其中正确的个数是（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【分析】利用图像的平移变换、诱导公式、三角函数的整体代换技巧以及正弦函数的图像与性质、等差数列的概念进行判断求解.

【详解】因为函数，所以，

故①错误；

当，，因为在上不单调，故②错误；

因为与的图像在y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，

即，解得或，，

因为，所以，不是等差数列，

故③错误；

因为，

所以

，故④正确.故A，B，D错误.

故选：C.

二、填空题

5．已知集合，则_________．

【答案】

【分析】利用集合的并集运算求解.

【详解】因为集合，

所以.

故答案为：.

6．已知，则“”是“”的___________条件.

【答案】充分不必要

【分析】根据题意解出，通过逻辑推理得到答案.

【详解】因为或a<0，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

7．复数（是虚数单位）的虚部是_______．

【答案】

【详解】试题分析：因，故其虚部为，应填．

【解析】复数的有关概念和运算．

8．已知向量与的夹角为，，，则________________.

【答案】4

【详解】试题分析：向量与的夹角为， ，则， .所以，则 （舍去）或.

【解析】平面向量的数量积.

9．若为等差数列的前n项和，且，则数列的通项公式是______________．

【答案】，

【分析】根据已知，利用等差数列的性质以及通项公式求解.

【详解】因为等差数列满足，

所以，所以，

又因为，

所以，即，所以，

所以，.

故答案为：，.

10．过点作圆的切线，则切线方程是_____________．

【答案】或

【分析】对斜率是否存在进行分类讨论，利用待定系数法，根据切线的性质进行求解.

【详解】当切线的斜率存在时，设切线方程为，

即，

又圆的圆心为，半径，

所以，解得，

所以切线的方程为，

当切线的斜率不存在时，切线方程为，

与圆相切，满足题意，所以切线的方程为.

故答案为：或.

11．某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为_________________．

【答案】550

【分析】分选派的主任医师只有一名男主任，只有一名女主任，男，女主任医师均选派，三种情况，结合组合知识进行求解，再相加即可.

【详解】若选派的主任医师只有一名男主任，此时再从剩余的6名男医生选派3名男医生，从5名女医生（主任医师除外）选派3名医生，有种，

若选派的主任医师只有一名女主任，此时再从剩余的6名男医生（主任医师除外）中选派4名男医生，从5名女医生中选派2名医生，有种，

若男，女主任医师均选派，此时再从剩余的6名男医生中选派3名，5名女医生中选派2名，有种，

综上：不同的选派方案有200+150+200=550种.

故答案为：550

12．某地区教研部门开展高三教师座谈会，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，已知某校共有8名教师参加座谈会，记X为该校教师中被抽到发言的人数，若，且，则_____.

【答案】

【分析】根据题意得到随机变量，结合二项分布的期望与方差的计算公式，求得，进而求得的值.

【详解】由题意，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，

所以随机变量，

因为，可得，解得或，

又因为，可得，所以，

所以.

故答案为：.

13．在三棱锥中，，且两两互相垂直，则三棱锥的外接球的体积为__________．

【答案】

【分析】根据题意，将三棱锥补形为立方体，从而求出立方体的体对角线即为外接球的直径，求出半径，进而求出外接球的体积.

【详解】因为，且两两互相垂直，

所以三棱锥可补形为立方体，三棱锥的外接球即为立方体的外接球，

则立方体的体对角线为其外接球的直径，设三棱锥的外接球的半径为，

则，

所以，则外接球体积为.

故答案为：

14．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，其中发现两个歧义点和偏差过大，去除这两点后，得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归直线方程为______________．

【答案】

【分析】由题可得，进而可得新的平均数，根据回归直线方程过样本中心结合条件即得.

【详解】因为，且，

所以，

去除两个歧义点和后新的平均数为：

，，又新的回归直线的斜率为3，

所以，

所以新的回归直线方程为.

故答案为：.

15．已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________.

【答案】4

【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得、，进而可得，再利用，结合基本不等式即可得解.

【详解】对求导得，

因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，

所以即，

所以，所以切点为，

由切点在切线y=x－a上可得即，

所以，

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.

16．已知函数满足，函数恰有5个零点，则实数a的取值范围为____________．

【答案】

【分析】把函数零点问题转化为两函数交点问题，再结合函数图像，利用导数求切线进行求解.

【详解】因为函数满足，

所以，，

因为函数恰有5个零点，

所以函数与恰有5个交点，如图，

因为与交于原点，要恰有5个交点，

与必有2个交点，

设与相切，切点为，

此时切线斜率为，解得，

解得，所以切点为，所以，解得，

所以要使函数恰有5个零点，则.

故答案为：.

三、解答题

17．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，分式不等式化为，结合分式不等式解法的结论，即可得到解．

（2）由含绝对值不等式的解法，得，并且集合是的子集，由此建立不等式关系，即可得到的取值范围．

【详解】(1)当时，，即，化简得，即，所以， 所以不等式的解集为，由此可得．

(2)，可得,

，得，再解，即

①当时，无解，，满足；

②当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是．

③当时，解得，此时，由此可得，即a的取值范围是．

综上所述，a的取值范围是

18．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.

（1）写出年利涧L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【答案】（1）L(x)＝  （2）100

【分析】（1）分别求出0<x<80、x≥80时L(x)的解析式，最后用分段函数表示即得解；

（2）分别借助二次函数的最值和均值不等式求出0<x<80、x≥80时L(x)的最大值，比较即可得到答案.

【详解】（1）当0<x<80，x∈N时，

L(x)＝x2－10x－250

＝x2＋40x－250，

当x≥80，x∈N时，

L(x)＝－51x－＋1 450－250

＝1 200－，

∴L(x)＝.

（2）当0<x<80，x∈N时，

L(x)＝(x－60)2＋950，

∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950，

当x≥80，x∈N时，

L(x)＝1 200－≤1 200－2

＝1 200－200＝1 000，

∴当x＝，即x＝100时，

L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950，

综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，

即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

19．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等，更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况.某调查中心为了调查中学生在考试中有无作弊现象，随机选取150名男学生和150名女学生进行问卷调查.问卷调查中设置了两个问题：①你是否为男生？②你是否在考试中有作弊现象.调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有3个红球，3个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到同色两球的学生如实回答第一个问题，摸到异色两球的学生如实回答第二个问题.第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）.已知统计问卷中有70张答案为“是”.

(1)根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计中学生在考试中有作弊现象的概率；

(2)据核实，以上的300名学生中有20名学生在考试中有作弊现象，其中男生15人，女生5人，试判断是否有97.5%的把握认为中学生在考试中有无作弊现象与性别有关.

参考公式和数据如下：，.

【答案】(1)；

(2)有97.5%的把握认为中学生在考试中有无作弊现象与性别有关.

【分析】（1）由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式即得；

（2）通过计算，进而即得.

【详解】(1)因为摸到同色两球的概率，

所以回答第一个问题的人数为，回答第二个问题的人数为180.

因为男女人数相等，是等可能的，

所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为，

则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为10，

所以估计中学生在考试中有作弊现象的概率为.

(2)由题知，列联表如下：

因为，

所以有97.5%的把握认为中学生在考试中有无作弊现象与性别有关.

20．设有椭圆方程，直线，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为.

(1)，AM的中点在x轴上，求点M的坐标；

(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求b；

(3)在椭圆上存在一点P到l距离为d，使，随a的变化，求d的最小值.

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标；

（2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可；

（3）设，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得即可确定的最小值．

【详解】(1)解：由题意可得，所以，

的中点在轴上，

的纵坐标为，代入得；

(2)解：由直线方程可知，，

①若，则，即，

，

.

②若，则，

，，

，，即，

，.

综上，或；

(3)解：设，结合已知条件，由椭圆的定义及点到直线距离公式可得，

显然椭圆在直线的左下方，则，即，

，，即，

，整理可得，即，

，即的最小值为．