2023届四川省成都石室中学高三上学期10月月考数学（文）试题（解析版）

2023届四川省成都石室中学高三上学期10月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，复数满足，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算化简可得复数，即可求得答案.

【详解】由题意得，所以，

故选：B

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解对数不等式确定集合，解二次不等式确定集合，然后由并集定义计算．

【详解】由题意，，

所以．

故选：C．

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】分别解出和的范围，依据小范围推大范围的原则判定充分必要条件.

【详解】解：由，解得或，

由，解得或，

故由能够推出，

由不能够推出，

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：A．

4．若等比数列满足：，，，则该数列的公比为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】直接由得到q=2或﹣2，再依据条件进行取舍.

【详解】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q

∵，∴q=2或﹣2，

又当q=2时，满足，

当q=﹣2时，，不满足，

∴q=2．

故选：B

【点睛】本题考查等比数列的通项公式的基本运算，考查了分类讨论思想，属于基础题.

5．已知向量满足，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对两边同时平方可求出.设与的夹角为，由向量的夹角公式代入即可得出答案.

【详解】因为，以.

又，所以.设与的夹角为.

则，所以，

即与的夹角为.

故选：C.

6．（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确选项.

【详解】

.

故选：B

7．某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是

A．16 B．32 C．44 D．64

【答案】B

【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．然后由直角三角形面积公式求解．

【详解】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．

则．

该几何体的表面积．

故选：．

【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．

8．已知抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为．若，（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】过作垂直于准线且垂足为，利用抛物线的定义结合三角形全等可证，再结合可得的长.

【详解】如图，过作垂直于准线且垂足为，连接.

由题得，由抛物线的定义可得：，

而，故所以，所以，

.

又，所以，

所以，即点P是MN的中点，

所以.

故选：B．

【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9．函数在的大致图象是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的奇偶性排除C、D，根据时，函数值的符号排除B，故选A.

【详解】因为，所以，所以为上的奇函数，其图象关于原点对称，故C、D不正确；

当时，，所以，故B不正确;

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用函数的性质排除不正确选项是解题关键.

10．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设椭圆的右焦点为，连接，由可得，可求得，由椭圆的定义可求得，利用之间的关系可求得，即可得到答案

【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，

因为，所以，

所以，

由椭圆的定义可得，则，

又因为，所以，

所以椭圆的方程为，

故选：D

11．已知圆柱的侧面积为，其外接球的表面积为S，则S的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设球的半径为R，圆柱的底面半径和高分别为r，h.由圆柱的侧面积公式可求出，再由均值不等式可求出S的最小值.

【详解】设球的半径为R，圆柱的底面半径和高分别为r，h.

由题意，得，得，

所以，

当且仅当时，等号成立，所以.

故选：A.

12．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数可证明时，，即可证明，即．根据，构造函数，求其导数，判断函数单调性，证明，由此可得答案.

【详解】当时，令，则此时递增，

故，即，得，即．

，

设，则，

因为时，，所以在上单调递增，

所以当时，，所以，所以．

综上所述，，

故选：C

二、填空题

13．计算________.

【答案】

【分析】利用对数、指数的运算性质计算即可得解.

【详解】原式.

故答案为：.

14．已知x，y满足约束条件则的最大值是___________.

【答案】6

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.

将目标函数转化为表示为斜率为-2，纵截距为z的直线

当直线过点时，z取得最大值

显然点，则.

故答案为：6.

15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．

【答案】2.

【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.

【详解】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，

又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．

【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．

16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm-1=2，Sm=0，Sm+1=3，则正整数m的值为___________.

【答案】5

【解析】利用和与项的关系求出，得公差，再由求得，然后利用通项公式可求得．

【详解】由题意知am=Sm=2，am+1=Sm+1-Sm=3，则公差d=am+1am=1.

由Sm=0得，

解得a1=am=2，

则am=+(m)×1=2，解得m=5.

故答案为：5．

【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前项和，掌握等差数列的基本量运算是解题关键．

三、解答题

17．某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文､数学､外语3门必考科目；“1”由考生在物理､历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治､地理､化学､生物学4门中选考2门科目，

(1)为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750名学生中随机抽样调查了100名学生，得到如下部分数据分布：

请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；

(2)已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，求他们恰有一门选择相同学科的概率.

附：.

【答案】(1)填表答案见解析，有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关

(2)

【分析】（1）根据题意完善列联表，计算，即可得出结论.

（2）先求出已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，所有的基本事件的总数，再求出在“4选2”的选科中，他们恰有一门选择相同学科的事件总数，由古典概率的公式代入即可得出答案.

【详解】(1)根据题意可得，列联表如下：

由于的观测值，

所以有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关.

(2)已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，所有的基本事件（记为事件）列举如下：（政，地；政，地），（政，地；政，化），（政，地；政，生），（政，地；化，地），（政，地；生，地），（政，地；生，化），（政，化；政，地），（政，化；政，化），（政，化；政，生），（政，化；化，地），（政，化；生，地），（政，化；生，化），（政，生；政，地），（政，生；政，化），（政，生；政，生），（政，生；化，地），（政，生；生，地），（政，生；生，化），（地，化；政，地），（地，化；政，化），（地，化；政，生），（地，化；化，地），（地，化；生，地），（地，化；生，化），（地，生；政，地），（地，生；政，化），（地，生；政，生），（地，生；化，地），（地，生；生，地），（地，生；生，化），（化，生；政，地），（化，生；政，化），（化，生；政，生），（化，生；化，地），（化，生；生，地），（化，生；生，化），共36种，

设事件在“4选2”的选科中，他们恰有一门选择相同学科，有24种，

则.

18．在中，角所对的边分别为，

；

（1）证明：为等腰三角形；

（2）若为边上的点，，且，，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】(1)根据已有等式，利用正弦定理作角化边，可得，最后再由余弦定理把所有角都化为边的等式得；最后，根据等式可化简出，故可证为等腰三角形.

(2)由，，可得， 然后，就可以根据角的相等关系，根据余弦定理或相似关系列出等式进行求解即可.

【详解】（1），由正弦定理得：，

由余弦定理得：；

化简得：,

所以即，

故为等腰三角形．

（2）如图，

由已知得，，

，

，

又，

，

即，

得，由（1）可知，得．

解法二：取的中点，连接．由（1）知，

由已知得，

，

，

．

解法三：由已知可得，由（1）知，，

又，

，

即，即，

．

【点睛】本题考查解三角形的问题，（1）题的关键就是利用正弦定理和余弦定理作角化边的转化，(2)题的难点在于根据已有关系化简出相应的等式关系求解，难度属于一般题.

19．如图，是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且，点D是的中点，与交于点E，点F为的中点，且.

(1)求证：；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，即可得到；（2）利用几何关系判断出，再求出即可.

【详解】(1)因为点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，

所以平面.

又因为平面，所以.

因为是圆O的直径，所以.

又平面，平面，

所以平面.

又平面，所以.

(2)在中，点D是的中点，点O是的中点，与交于点E，

所以E为的重心，则.

因为点F为的中点，所以，

所以，

所以，即.

在中，，

由勾股定理可得： ,解得：，

所以，则，

所以.

所以.

20．已知函数．

(1)求在处的切线方程；

(2)当时，，的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由导数的几何意义即可求出切线方程；

（2）由，对分类讨论，结合函数的单调性及，讨论是否满足题意，从而得出的取值范围．

【详解】(1)由已知可得，，

，则，

所以在处的切线方程为．

(2)

若，则时，在上单调递减，所以，符合题意；

若，由，得或

若，有，则时，在上单调递减，所以，符合题意；

若，有，则时，在上单调递减，所以，符合题意；

若，有，则时，在上单调递增，所以，不符合题意．

若，有，则时，在上单调递增，所以，不符合题意．

综上所述，的取值范围是．

21．已知椭圆：的离心率为，直线：与椭圆相交于，两点，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线：与椭圆相交于，两点，求证：，，，四点在同一个圆上．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆离心率可得，继而联立方程，利用弦长求得，可得得答案；

（2）求出中点M坐标，说明为的中垂线，联立方程求得中点坐标，继而计算出，即可证明结论.

【详解】(1)解：设，,由，可得，

故椭圆的方程为，

由 ，得，，即，

则，，

所以，解得，

所以椭圆的方程为．

(2)证明：如图，设的中点为，的中点为，连接，，

由（1）可知，，满足：，则为的中垂线，

设，．

由 ，得，

所以，，

所以，．

由于直线为的中垂线，且，

所以，

所以，，，四点在以为直径的圆上．

另解：设的中点为，则．

由（1）可知，．

设直线的参数方程为 （为参数）．

将直线的参数方程代入，得，

则，得，

所以，

所以，，，四点在同一个圆上．

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆的位置关系的应用中证明点共圆问题，综合性较强，计算量大，解答时要注意联立方程，以及根与系数的关系的应用，解答的关键是要能准确的进行相关计算.

22．已知曲线的参数方程为 （为参数），直线的极坐标方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)设点在曲线上，点在直线上，求的最小值及此时点的坐标．

【答案】(1)；.

(2)，点的坐标为.

【分析】（1）根据消参法可得曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式可得直线的直角坐标方程；

（2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式可表示点到直线的距离，结合三角函数的性质可求得答案.

【详解】(1)由曲线的参数方程 （为参数），得，，

所以曲线的普通方程为．

由直线的极坐标方程，得．

将，代入上式，得直线的直角坐标方程为．

(2)由题意，可设点的坐标为，，

则点到直线的距离．

当时，，

所以，此时点的坐标为．

23．已知，，.若函数的最小值为2.

(1)求的值；

(2)证明：.

【答案】(1)2；(2)证明见解析.

【详解】分析：(1)先根据绝对值三角不等式得的最小值为 ，再根据，，得结果.(2)先构造，再利用均值不等式可得结论.

详解：

（1）∵  ，

当且仅当时，等号成立，

∴ 的最小值为，∴ .

（2）由（1）可知，，且，，都是正数，

所以，

当且仅当时，取等号，

所以得证.

点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.